数字信号处理生试卷第一章

x(n)=x(k)(nk相加标乘y(n)=x(n)*h(n)=

x(k)h(n-k)=

X(ej)=F[x(n)]=x(n)e

（正变换

1[X(ej)]=

Xa( ||设Xa(j=Fxa(t] ||若采样周期Ｔ满足T0 Txa(t=xa(kT)Sa (tkT T aky(nk)=brx(n 其中ak、br稳定的线性时不变系统满足|h(k线性时不变系统的频率响应

H(ej)=h(n)e

对稳定系统级数收敛，y(n)=x(n)*h(n)，则Y(ejX(ejH(ej 00

2n其他 x(n)=x(k)(nk=2k(nk

n⑴ ejnd=2 n证：⑴直接计算复数积分。令n=0，则 ej0d=

2 2 ejnd=1ejn

对n

X(ej=x(n)e

n⑴的结果，积分ejkn)d n右端和式成为2x(k)，两边除以2knx(n)=

X(ejx(r)ejrx(n)=

x(r)ejr]d

11

2 2 x(n)=x(r)

n 2 n⑴⑵X(ej(0))ejkX(ej)X*(ej)X*(ej[X(ej)+X*(ej)-j[X(ej)-X*(ej)Re[X(ej)Im[X(ej)⑶⑷⑸⑹⑺⑻x(n g(n) ⑴F[x(n)ej0n]=x(n)ej0nejn=x(n)ej(0)n=X(ej(0) ⑵F[x(n-k)]=x(nk)ejn m=n- x(nk)ejn x(m)ej(mk)=e x(m)ejm=ejkX(e ⑶F[x*(n)]=x*(n)ejn=x*(n)[ejn]*=[x(n)ej()n]* =[x(n)ej()n]*=X*(ej⑷F[x*(-n)]=x*(n)e

m x*(n)ejn=x*(m)ejm=x*(m)[ejm]* =[x(m)ejm]*=X*(ej F{Re[x(n)]}=[X(ej)+X*(ej) ⑺F{[x(n)+x*(-n)]/2}=[X(ej)+X*(ej)]/2=Re[X(ej)ng(n)0 g(n)ejn=x(r)ej2r=X(ej2 ⑴Re[X(ej)]=Re[X(ej)⑵Im[X(ej)]=-Im[X(ej)⑶|X(ej)|=|X(ej)⑴Re[X(ej)]=Re[X*(ej)]=Re[X(ej)⑵Im[X(ej)]=Im[X*(ej)]=-Im[X(ej)⑶|X(ej)|=|X*(ej)|=|X(ej)⑷arg[X(ej)]=arg[X*(ej)]=-arg[X(ej) n0 0n0x(n)=0

n

其他 y(n)=h(k)x(nk) x(k)h(nk 0kN,nk 0knn0,则 k0若,则 nn0=(n0

1)nn0u(nn00

若y(n)

0(/)k nn0

nn0]u(nn 1-6]e(n)=nn[e(n)x(n)]*[e(n)y(n)]=kx(k)nky(nk=nx(k)y(nk)= 1

X(ej)X*(ejx(n)x*(n)=

1X(ej)ejnd]x*

n2

2

11= X(e

= X(=

)X*(e

2

2本题称为离散序列的帕定理，证明的重要步骤是先将x(n)写成X(ej)的

X(ej)d

Y(ej)d

证： X )Y )d

X

] 2

2

=y(n)

X(ej)

jnd]=y(n)x(-X(ej)Y(ej)d=

X(ej)e2

Y(ej)e2 ⑴ ⑵x2解：(1G(ej=x(2n)ejn=x(n)ejn 1[x(n1)nx(n)]ejn n= x(n)ej(/ x(n)ejn/2+1 = X(ej/22 2

(2)F[

(n)]=

=

[ X(e )2

d

= X(e )[x(n)ej()n]d X )X )2 21-10]H(ej的截止频率为/8,求整个模拟系统xa y0 ⑵解：理想采样信号的模拟／数字域频率转换关系为ω=ΩT，若C=π/8,则模拟系统截止 数表示则为fC=C/2πT=1/16T定 X(z)=x(n)z

x(nZ1X(z= X 2jZ零点_是使X(z)为零的点；极点_是使1/X(z)为零的点。⑴⑵Z[x(n-k)]=zk ⑶Z[andX⑷Z[nx(n)]=-

⑸K =

-

Res[X(z)zn1,zmzk，k=1,2,⋯,Kzm,m=1,2,用回线外极点计算时应满足X(z)zn1分母多项式z的阶次比分子多项式高2阶或2阶以上，或X(z)zn1在z＝∞点有２阶或２阶以上零点。列，X(z)分子分母按z作升幂排列。 Bzn Bzn A/(1zn

计算z变换可利用以下特性：则W(z)= X(v)Y(z/v)vC

⑶

x(n)y*(n)=C2jX(v)Y*(1/v*)vC2

RXRY<1<RXRY线性时不变系统的系统（转移）函数H(z)=h(n)z，则 若系统差分方程为aky(nkbrx(n H(z)=brzrakzk=A(1crz1(1dkz1 cr}零点，dk} 1-11z⑴x(n)= 0< |<⑵x(n)=Arncos(0n+ 0<r<⑶x(n)=

0nN

nn X(z)=x(n)zn=nzn+nzn=(z)n+(z1=1

∵ |<1， |>1> 两个分式的收敛域分别是 z|<1,|z|< |和 /z|<1,|z|> |<|z|< 极点：z1 ，z2 ；零点0cos(n+)=[ej(0n)+ej(0n)0A j(

j(

e

e2

]zn

21

j0

1

rz1z1rej0z2rez=0，zz0rcos(0cosx(n)是因果序列，收敛域为|z|>r。⑶x(n)=RNN1

1z1 1X(z)为有限项级数和，N-1个极点位于z=0处，N-1个零点均布在单位圆上，rc=ej2r/N，r=1,2,⋯，N-r1-12]z

12z

相应有三个可能的收敛域：①0.5|z|2，②|z|2，③|z|0.5，对应三种可能的序列，x(n)=3(0.5nu(n-2(2nu(-n-x(n3(0.5)n+2(2nx(n-[3(0.5n+2(2)nu(-n-limX(z)=limx(n)zn=lim[x(0)+x(1)z1+x(2)z2 z X(z)=x(n)zn=x(n)zn=x(0)+x(1)z+⋯+x(n)zn [例1-14]对应于差分方程y(n-1)-2.5y(n)+y(n+1)=x(n)的系统可以是稳定或不稳定的，也可以是因果性或非因果性的。找出满足上式的每种系统的冲激响应h(n)，并代入方程 3

10.5z

12z0.5|z|2|z|2|z|0.5，对应不稳定非因果系统。分别求出h(n)如下：①n<0，h(n)=-Res[H(z)zn1,2]=-2(2)3n0，h(n)=Res[H(z)zn1,0.5]=-2(0.5)3∴h(n)=-2[(0.5)nu(n)+(2)nu(-n-3②h(n)为因果序列，取回线内极点留数得h(nRes[H(z)zn1,2Res[H(z)zn1,0.5]=

2[3

n-(0.5)n]h(n-22)n(0.5)nu(-n- 3c(n)=x(k)x(nk 解：C(z)=c(n)zn=x(k)x(nk)]zn=x(k)x(nk)z nk =x(k

X(z)=X(z