湖南省长沙市天心区第一中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省长沙市天心区第一中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.经过圆的圆心，且与直线平行的直线方程为（

）A.B.

C.

D.参考答案：A2.已知集合，，则A∪B=（

）A.{1} B.{－1,0,1,2} C.{0,1} D.(－2,2)参考答案：B【分析】先求解集合再求并集即可.【详解】,.故.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与绝对值不等式的求解.属于基础题型.3.设a＝20.3，b＝0.32，c＝logx(x2＋0.3)(x＞1)，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c

B．b＜a＜cC．c＜b＜a

D．b＜c＜a参考答案：B略4.已知函数，若的图象与的图象重合，记的最大值为，函数的单调递增区间为（

）A.

B.C.

D.参考答案：A,的图象与的图象重合，说明函数的周期，由于，，，,，，则，，选

5.（5分）（2015?嘉峪关校级三模）在锐角△ABC中，若A=2B，则的范围是（）A．（，）B．（，2）C．（0，2）D．（，2）参考答案：A【考点】：三角形中的几何计算．【专题】：解三角形．【分析】：利用正弦定理列出关系式，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的范围，进而确定出cosB的范围，即可得出所求式子的范围．解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：=═=2cosB，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B，∵C为锐角，∴30°＜B＜60°，又0°＜A=2B＜90°，∴30°＜B＜45°，∴＜cosB＜，即＜2cosB＜，则的取值范围是（，）．故选：A．【点评】：本题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6.如图，已知平面，、是上的两个

点，、在平面内，且

，，在平面上有一个

动点，使得，则体积

的最大值是（

）

A．B．C．D．参考答案：C因为，所以在直角三角形PAD,PBC中，,即,即,设，过点P做AB的垂线，设高为，如图，在三角形中有，整理得，所以，所以的最大值为4，底面积为，此时体积最大为选C.7.定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.已知是函数f(x)=的两个零点则

（

）A.

B.1<

C.e<

D.2e<参考答案：A9.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，则

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D10.若函数在上有最小值－5，（，为常数），则函数在上（

）．有最大值5

．有最小值5

．有最大值3

．有最大值9参考答案：【知识点】函数的奇偶性与最值；B3，B4【答案解析】D解析：解：设可知函数为奇函数，由题意可知在有最大值7，，所以在有最大值9，所以D正确.【思路点拨】把已知条件可转化成奇函数，然后根据函数的性质进行求解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在边长为3的等边三角形ABC中，=2，2+=3，则||=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，以BC边所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求出D、B、C、A的坐标，设出E的坐标，由已知列式求得E的坐标，进一步求出的坐标，代入向量模的公式得答案．【解答】解：如图，以BC边所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则D（﹣，0），B（，0），C（），A（0，），设E（x，y），则由2+=3，得（6，0）+（）=（，3y），即，解得E（1，），∴，则．故答案为：．12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则

。参考答案：略13.设满足约束条件，则的最大值为

.参考答案：314.若，则=

。参考答案：略15.若lgx＋lgy＝2，则＋的最小值是

．

参考答案：16.已知，则=____________.参考答案：略17.数列{an}的前n项和Sn，满足，，则

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知：函数．（Ⅰ）求函数的对称轴方程；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．参考答案：解：（Ⅰ）

……………5分

……………7分

函数关于直线

对称

所以对称轴方程为

……………9分

（Ⅱ）当时，

由函数图象可知，的最大值为1，最小值为……12分所以函数的最大值为，最小值为 ………13分

略19.（本题共14分）某社区有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x).（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？参考答案：(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x).(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？(1)f(x)=5x(15≤x≤40),………2分g(x)=………4分(2)由f(x)=g(x)得即x=18或x=10(舍).………

6分当15≤x<18时，f(x)-g(x)=5x-90<0,∴f(x)<g(x),即选甲家.………

8分当x=18时，f(x)=g(x),即选甲家和乙家都可以.…9分当18<x≤30时，f(x)-g(x)=5x-90>0, ∴f(x)>g(x),即选乙家.………

11分当30<x≤40时，f(x)-g(x)=5x-(2x+30)=3x-30>0,∴f(x)>g(x),即选乙家.………

13分综上所述:当15≤x<18时，选甲家;当x=18时，选甲家和乙家都可以；当18<x≤40时，选乙家.

………

14分

略20.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值．参考答案：解：（Ⅰ）

.……………3分

所以．……………4分

由，得．故函数的单调递减区间是（）．…7分（Ⅱ）因为，所以．所以．…………10分因为函数在上的最大值与最小值的和，所以．…………13分21.等比数列{an}的各项均为正数，且.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列的前n项和Tn.参考答案：（1）

（2）试题分析：（1）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（2）把（1）求出数列{an}的通项公式代入设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和试题解析：（1）设数列{an}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝．由条件可知q＞0,故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝．故数列{an}的通项公式为an＝．（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－．故．所以数列的前n项和为考点：等比数列的通项公式；数列的求和22.(14分)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点.

（1）如果点A在圆（c为椭圆的半焦距）上，且|F1A|=c，求椭圆的离心率；

（2）若函数的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a），求的取值范围。参考答案：

解析：（1）∵点A在圆，

由椭圆的定义知：|AF1|