辽宁省阜新市自治县建设镇中学高三数学理测试题含解析

辽宁省阜新市自治县建设镇中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC为等边三角形，，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】计算出的外接圆半径，利用公式可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥P-ABC的外接球的表面积.【详解】的外接圆半径为，底面，所以，三棱锥的外接球半径为，因此，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.2.在中，，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.函数的最大值是(

)

A．

B．

C．2

D．1参考答案：A略4.如右图，OA=2（单位：m）,OB=1(单位：m),OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C.甲。乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位:ms）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：ms）沿圆弧行至点C后停止，乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止。设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图像大致是

参考答案：A当时，甲经过的路程为乙经过的路程为所以三角形的面积为，为抛物线，排除B,D.当时，甲到B,乙到达A.此时,即圆的半径为，由图象可知，当时，面积越来越大，当甲到C处，乙到A处时，甲乙停止，此时面积将不在变化，为常数，排除C，选A.5.17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（

）(A)18

(B)28

(C)48

(D)63参考答案：A6.下列区间中，函数，在其上为增函数的是（

）A.

B．

C．

D．参考答案：D7.函数y＝ax－2＋2(a>0，且a≠1)的图象必经过点()A．(0,1)

B．(1,1)C．(2,2)

D．(2,3)参考答案：D略8.设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，5}，＝{4，5，6}，则A∩B＝A、{1，2}B、{5}C、{1，2，3}D、{3，4，6}参考答案：A9.已知函数：其中：，记函数满足条件：的事件为，则事件发生的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：A10.某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为

A.

B.C.

D.参考答案：C第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，不满足条件，输出，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC1相切，则小球半径的最大值=

．参考答案：12.在数列中，，且，设数列的前项的积为，则

．参考答案：

13.已知抛物线C：的焦点为F，，是抛物线C上的两个动点，若，则的最大值为

．参考答案：由已知，得的最大值为，故答案为.

14.已知等比数列，则＝

．参考答案：15.直角梯形中，、为直角顶点，且<，动点从出发，沿梯形的边按→→→的方向运动，设点运动的路程为，△的面积为，若函数的图像如下图所示，则△的面积为

．参考答案：416.设向量满足，，则

.参考答案：17.已知函数，则

参考答案：12三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2012?石景山区一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．参考答案：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

专题： 综合题．分析： （Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程．解答： 解：（Ⅰ）由题意，，解得．即椭圆方程为（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时S=不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以．原点到直线的AB距离，所以三角形的面积．由可得k2=2，∴，所以直线或．点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键．19.

设数列的首项R），且，

（Ⅰ）若；

（Ⅱ）若，证明：；

（Ⅲ）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.参考答案：

（Ⅰ）解：因为

所以a2=－a1+4=－a+4，且a2∈（3，4）

所以a3=a2－3=－a+1，且a3∈（0，1）

所以a4=－a3+4=a+3，且a4∈（3，4）

所以a5=a4－3=a

……4分

（Ⅱ）证明：当

所以，

……6分

②当

所以，

综上，

……8分

（Ⅲ）解：①若

因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立

…10分

②若

因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立

…12分

③若，

因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立

……13分

综上，若0<a<1，则k=4m；，则k=2m；

若a=2，则k=m.m∈N*

……14分

略20.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．（Ⅰ）求甲通过自主招生初试的概率；（Ⅱ）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（Ⅲ）记甲答对试题的个数为X，求X的分布列及数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出甲通过自主招生初试的概率．（Ⅱ）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式求出乙通过自主招生初试的概率，从而得到甲通过自主招生初试的可能性更大．（Ⅲ）依题意，X的可能取值为2，3，4，分别出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，∴甲通过自主招生初试的概率．…（Ⅱ）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为，∴乙通过自主招生初试的概率；∵，∴甲通过自主招生初试的可能性更大．…（Ⅲ）依题意，X的可能取值为2，3，4，，，，∴X的概率分布列为：X234P∴．…21.某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：（1)根据数据可知y与x之间存在线性相关关系(i)求出y关于x的线性回归方程(系数精确到0.001);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元,根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；(2)公司在2017年年终总结时准备从该年8~12月份这5个月中抽取3个月的数据进行重点分析,求没有抽到9月份数据的概率.参考数据:，.参考公式:对于一组数据,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:，.参考答案：(1)(i)因为,所以，，所以关于的线性回归方程为.(ii)当时,(万台).（注:若，当时,(万台).(2)记8-12月份这5个月的数据分别为,从中抽取3个月的所有基本事件有:,共10种基本事件,没有抽到9月份的有共种基本事件，所以概率.22.（本小题满分13分）

如图，在中，，，，点在线段上，且.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的值.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ）在直角三角形中，易得，从而有，在中，由余弦定理，可得，即（Ⅱ）在中，由正弦定理，得，所以.试题解析：（Ⅰ）解：因为，，，所以，，，

…3分又因为，所以，.