2022年山东省临沂市苍山县磨山中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年山东省临沂市苍山县磨山中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（

）

A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：C第一次循环：，；第二次循环：，；

第三次循环：，，因此输出的，故选择C。2.定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D略3.若点P在曲线

（

为参数）上运动，则点P到坐标原点的最大距离为A．5

B．6

C．8

D．10参考答案：答案：D4.设是定义在R上的偶函数，，都有，且当时，，若函数（，）在区间(－1,9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：C试题分析：由得函数的图象关于直线对称，又是偶函数，即图象关于直线对称，因此它还是周期函数，且周期为，函数的零点个数就是函数与曲线的图象交点的个数，如图由奇偶性和周期性作出的图象，作出的图象，由图象知，两图象只有三个交点，则有或，解得或．故选C．考点：函数的零点．【名师点睛】本题考查函数零点，函数的零点，就是方程的解，也是函数的图象与轴交点的横坐标，它们个数是相同的，因此有解决零点个数问题时，常常进行这方面的转化，把函数零点转化为函数图象交点．在转化时在注意较复杂的函数是确定的（没有参数），变化的是比较简单的函数，如基本初等函数，大多数时候是直线，这样变化规律比较明显，易于观察得出结论．本题解法是数形结合思想的应用．5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(

)A、3

B、4

C、5

D、6参考答案：C6.已知定义在区间[0,2]上的函数的图象如图所示，则的图象为参考答案：A当时，,排除B,C,D,选A.7.已知sin2α=，则cos2(α+)=（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略8.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.

B. C.

D.参考答案：A9.已知数列{an-},定直线l:(m+3)x-(2m+4)y-m-9=0,若(n,an)在直线l上，则数列{an}的前13项和为（

）A．10

B．21

C．39

D．78参考答案：C略10.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（

）A．11111；B．01110；C．11111；D．00011参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将正奇数按如下规律填在5列的数表中：则2007排在该表的第

行，第

列（行是从上往下数，列是从左往右数）参考答案：第251行第5列12.已知参考答案：

13.设是锐角，且，则

参考答案：14.已知向量的夹角为，且，若，则实数的值为___________.参考答案：115.已知为常数，函数在区间上的最大值为2，则

．参考答案：解析：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为，下方图像翻到轴上方.由区间[0，3]上的最大值为2，知解得检验时，不符，而时满足题意。16.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连接B1D1∩A1C1=F，证明以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：连接B1D1∩A1C1=F，平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF，因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，连接BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，又根据B1F平行且等于BD，所以=，所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，所以V1=×BB1，而V2=×BB1，所以=．故答案为：．17.已知函数

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在⊿ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)已知函数f(A,C)=cos2A+sin2C,求f(A,C)的最大值。参考答案：略19.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）参考答案：考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值．（II）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．（Ⅲ）求出随机变量X可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．解答：解：（Ⅰ）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．所以x=0.0125．（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12，因为600×0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，，，，，．所以X的分布列为：X01234P．（或）所以X的数学期望为1．点评：本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望等，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，考查了识图的能力．20.已知函数（e为自然对数的底数）.（1）若，，讨论的单调性；（2）若，函数在(－1,+∞)内存在零点，求实数a的范围.参考答案：（Ⅰ）(1)当时，在上单调递减；(2)当时,在上单调递减,在单调递增．（Ⅱ）的取值范围是.解：（I）定义域为

故

则

(1)若，则在上单调递减；…2分(2)若，令.①当时，则，因此在上恒有，即在上单调递减；②当时，，因而在上有，在上有；因此在上单调递减，在单调递增.综上，(1)当时，在上单调递减；(2)当时，在上单调递减，在单调递增．

…5分（Ⅱ）设,，设，则．(1)若,在单调递减，故此时函数无零点，不合题意.

…7分(2)若,①当时，，由（1）知对任意恒成立，故，对任意恒成立，②当时,，因此当时必有零点，记第一个零点为，当时，单调递增，.由①②可知，当时，必存在零点.

…9分(2)当，考察函数，由于在上必存在零点.设在的第一个零点为，则当时，，故在上为减函数，又，所以当时，，从而在上单调递减，故当时恒有.即，令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数在上有零点，符合题意.综上可知，的取值范围是.

…12分（Ⅱ）解法二：设,，(1)若,在单调递减，故此时函数无零点，不合题意.

…7分(2)若,当时,，因此当时必有零点，记第一个零点为，当时，单调递增，又所以，当时，在必存在零点.

…9分(3)当，由于，令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数在上存在零点，符合题意.综上可知，的取值范围是.

…12分21.如图，已知梯形ABCD中，，，，四边形为矩形，，平面平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）求平面ABE与平面BEF所成二面角的正弦值；（3）若点P在线段EF上，且直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，求线段AP的长．参考答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，即，利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出平面与平面所成二面角的余弦值，进而可得出其正弦值；（3）设，，计算出的坐标，结合直线与平面所成角的正弦值为求得实数的值，进而可求得的长.【详解】（1）如下图所示，设，取的中点，连接、，四边形为矩形，，为的中点，为的中点，且，，，且，所以，四边形为平行四边形，则，即，平面，平面，平面；（2）四边形为矩形，则，平面平面，平面平面，平面，平面，取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，由，令，则，，，设平面的法向量为，，，由，令，则，，则，，，因此，平面与平面所成二面角的正弦值为；（3）点在线段上，设，，由题意得，整理得，，解得，此时，则.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．22.（13分）已知椭圆+=1，（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x与椭圆交于A，B两点，C为椭圆的右顶点，（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上存在两点E，F使，λ∈（0，2），求△OEF面积的最大值．

参考答案：考点:直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题:圆锥曲线的定义、性质与方程．分析:（1）设A（t，t）且t＞0，通过，以及椭圆的离心率，A在椭圆上，列出方程求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程．（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），EF中点为M（x0，y0），利用，得到方程组，利用E，F在椭圆上，代入椭圆方程，利用平方差法求出EF的斜率，得到直线EF的方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出|EF|，求出三角形的高，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最值．解：（1）根据题意，不妨设A（t，t）且t＞0，，，∴…①（1分），…②（2分），…③，a2﹣b