2022届高考数学提分题

2022年高考数学考前提分题

1.在三棱锥S-ABC中，ZASC=ZABC=90°,ZMSC丝△C8A,AB=SC=y[7,SB=夕,

AC=3.

(1)求证：平面ASC_L平面ABC；

(2)已知M是线段AC上一点，力M=S，求二面角A-SM-8的余弦值大小.

【分析】(1)在△ASC中，作SH_LAC,在△ABC中，作BG_LAC,求解三角形证明SH

LBH,可得S〃_L平面ABC,再由平面与平面垂直的判定可得平面4SC,平面ABC；

(2)以H为坐标原点，分别以HC、"S所在直线为>、z轴建立空间直角坐标系，分别

求出平面ASM的一个法向量与平面SMB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可

得二面角A-SM-B的余弦值大小.

【解答】(1)证明：在三棱锥S-4BC中，•.•/ASC=NABC=90°,

；.AS_LSC,ABLBC,

,:AB=SC=小,AC=3,/XASC^^CDA,:.AS=BC=6,

在△4SC中，作SH_LAC,在中，作8G_LAC,

得SH=BG=粤,4'=CG=J(4不一(孚尸=|,

/.GH=3-2x|=|,BH2=BG2+GH2=笄+等=等=呈

而S"2=等，.•.3//2+5,2=等+等=等=7,

又<SB=巾,.\SH2+BH2=SB2,BPSH1BH,

XSH1AC,S.ACnBH=H,平面ABC,

而SHu平面ASC,；.平面ASCI平面ABC-,

(2)解：以H为坐标原点，分别以“C、HS所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系，

,V145、V145

则S(0,0,-----)>M(0>—,0)»B(------，—,0)>

3633

SM=(0,|,-孚)，届=(学，，：，0)，

平面ASM的一个法向量为蓝=(1,0,0),

设平面SMB的一个法向量为曾=(x,y,z),

(n-SM=|y-^pz=O一

由IT-3,取y=2g,得n=(-5,2V14,5),

jn-MB=—^—x+垓y=0

\5o

.、m-n—557106

..cos<m，n>=~~--======—而定--

|zn卜|兀|1x725+56+25106

由图可知，二面角A-SM-B为钝角，

...二面角A-SM-B的余弦值为-5：

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用

空间向量求解空间角，是中档题.

2.如图，在四棱锥P-ABC。中，AD=2,AB=BC=CD=1,BC//AD,ZPAD=90°,Z

PBA为锐角，平面PBA_L平面PBD.

(1)证明：%_L平面ABC。；

(2)若A。与平面PBD所成角的正弦值为坐，求二面角P-BO-C的余弦值.

4

【分析】(1)在平面以B内过点A作AELPB,垂足为E,过点B,C分别作BM,CN

垂直AO于点M,N,利用线面垂直的判定定理和性质分别证明AEL平面P8D,8O_L平

面物8,从而可得BO_L%,PALAD,由此可证明结论；

(2)首先确定NAQE为AO与平面PBO所成的角，由此求出BE的长，即可求出cos/

PBA=导,再根据二面角P-8。-C的平面角与二面角P-8。-A的平面角互补，即可

得到答案.

【解答】（1）证明：在平面内过点A作垂足为E,

因为平面P8A_L平面PBD,平面PBAA平面PBD=PB,

所以A&L平面PBD,

又8/）u平面PBD,

则AE±BD,

过点8,C分别作BM,CN垂直AO于点M,N,

所以/Q8A=90°,^ABLBD,

因为ABAA£；=A，且AB,AEu平面B4B,

则B£）J_平面PAB,

又B4u平面PAB,

所以又用_LAO,ADC\BD=D,AD,8£>u平面ABC。，

故以，平面ABC£）；

（2）解：二面角P-BD-C的平面角与二面角P-BD-A的平面角互补,

由（1）可知，NPBA为二面角P-8Q-A的平面角，

在RtZ\AE£>中，NACE为A。与平面所成的角，其正弦值为避，

4

所以4E=日，

因为AB=1,则BE=苧

故cosNP8A=竽，

所以二面角P-BD-C的余弦值为一孝.

P

【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，面面垂直的性质定理的应用,

二面角的平面角的定义的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

3.如图，在棱长为1的正方体中，求：

(1)直线4B与BiC所成的角的大小；

(2)直线GB与平面ABCO所成的角的余弦值.

【分析】(1)由题意可知BiC〃A。，所以即为直线48与8C所成的角，由4

AiBD为等边三角形即可求出结果.

(2)因为平面A8CQ,所以力即为直线。18与平面4BC£>所成的角，在

RtADiDfi中即可求出cos/OiBD的值.

【解答】解：(1)连接A。，BD,如图所示，

\"AiBi//CD,A\B\=CD,

二四边形ABiCD为平行四边形，

：.B\C//A\D,

NDAiB即为直线AiB与BiC所成的角，

••.正方体的棱长为1,=

.♦.△AiBO为等边三角形，

：.ZDAiB=60°,

即直线48与BiC所成的角的大小为60°.

(2)•••。山，平面4BCD,

二ZDiBD即为直线D\B与平面ABCD所成的角，

在RtZ\Z)iOB中，BD