2021年数学八年级上册难点突破32份 北师大版

专题01勾股定理巧解几何图形折叠问题

【专题说明】

折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就

是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律.利用勾股定理解答折叠问题的一般步

骤：

(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角.；

(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x,将此直角三角形的三

边长用数或含有x的代数式表示出来；

(3)利用勾股定理列方程求出x；

(4)进行相关计算解决问题.

一、巧用全等法求折叠中线段的长

1、如图①是一直角三角形纸片，/4=30°,BC=4cm,将其折叠，使点C落在斜边上的

点、C处，折痕为如，如图②，再将图②沿龙折叠，使点4落在加’的延长线上的点

处，如图③，则折痕然的长为()

A

(第1题)

A.|CmB.2"^3cmC.2y[2cmD.3cm

J

【答案】A

二、巧用对称法求折叠中图形的面积

1、如图，将长方形/时沿直线面折叠，使点C落在点C处，BC交.AD千E,4?=8,AB

=4,求△应Z?的面积.

c

AE

_2

解：由题意易知.，.Z2=Z3.

V/XBC〃与△腼关于直线做对称，AZ1=Z2.

.•.Z1=Z3.：.EB^ED.

设EAx,则&9=x,AE=AD-Eg8—x.

在RtAASS'中，应％

4'+(8—x)‘=V.x=5.

工〃£=5.夕•/3=；X5X4=10.

解题策略：解决此题的关键是证得反=旗，然后在口△/龙中，由瑟利用勾

股定理列出方程即可求解..

三、巧用方程思想求折叠中线段的长

1、如图，在边长为6的正方形46(/中，£是边切的中点，将△力〃£沿对折至△斯瓦

延长"交比1于点C,连接旅

(1)求证：XABG^XAFG：

(2)求仇;的长.

⑴证明：在正方形48切中，AD=AB,ND=NB=90：

♦.•将△/!应1沿小对折至△加无

：.AD=AF,ND=NAFE=g0；

:.AB=AF,44NAFGS

又,；AG=AG,

，RtZU而必Rt△"()%).

(2)解：*：XAB哙XAFG,：.BG=FG.

设BG=FG=x,则GC=6—x,.

•:E为缪的中点，

:.CE=DE=EF=3,...位=3+x.

.•.在Rt△龙。中，3「+(6—X)2=(3+X¥,解得x=2.，%=2.

四、巧用折叠探究线段之间的数量关系

1、如图，将长方形465沿直线跖折叠，使点，与点4重合，折痕交力〃于点发交死于

点E连接、位

(1)求证：AE=AF=CE=CF-,

⑴证明：由题意知，AF=CF,AE=CE,NAFE=NCFE,又四边形力比。是长方形，故力〃〃EC,

,NAEF=ZCFE.：,NAFE=NAEF.

：.AE=AF=EC=CF.

(2)解：由题意知，AE=EC=a,Egb,DC=c,由NJ9=90°知，Ea+DG=d即炉

+c~~a.

专题02勾股定理求最短路径长度问题

【专题说明】

求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条

件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将

立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，,然后借助直角三角

形利用勾股定理求出最短路程（距离）.

一、通过计算比较解最短问题

1、如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从4走到且为了避免拐角。走“捷径”，

在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路（假设2步为1加，却踩伤了花

草.

“路”

4m（第1题）

【答案】4［来

2、小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石4坐客车

到武昌客运站8,.现在可以在黄石/坐“武黄一城际列车”到武汉青山站G再从青山站C坐

市内公共汽车到武昌落运站B.设46=80km,比'=20km,120°.请你帮助小明解

决以下问题：

（1）求4C之间的距离.（参考数据：61^4.6）

（2）若客车的平均速度是60初/方，市内的公共汽车的平均速度为40?，“武黄城际

列车”的平均速度为180km/h,为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车

方案？请说明理由.（不计候车时.间）

120：

解：⑴如图，过点C作4?的垂线，交46的延一长线于点笈

：/46C=120°,二/6庞=30°.

在Rt△鹿中，V5（7=20km,

:.BE=\0km.

由勾股定理可得g10姨km.

在RtZUS中，：4/=//+正=（48+阑2+/=8100+300=8400,

：.AC=20^2l^20X4.6=92（k而.

OQ1

（2）选择乘“武黄城际列车”.理由如下：乘客车所需时间为而=丐（力），乘“武黄城际

9220111

列车”所需时间约为旃+犷反⑶・••・？,，

选择乘“武黄城际列车”.

二、用平移法求平面中最短问题

1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50cm,30cm,10cm,力和6

是这个台阶的两个相对的端点，力点上有一只壁虎，它想到8点去吃可口的食物，请你想一

想，这只壁虎从4点出发，沿着台阶面爬到6点，至少需爬（）

A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm

【答案】c

点拨：将台阶面展开，连接48如图，线段48即为壁虎所爬的最短路线.因为6C=30X3

+10X3=120(cm),AC=50cm,在RtZX/8C中，根据勾股定理，得麻=〃+小=16900,

所以46=130cm.所以壁虎至少爬行130cm.

B

A1---------'C

2、如图，已知,且49=33,BC=4,DE=EF=2,则〃'的长

是________.

A

【答案】10

三、用对称法求平面中最短问题

1、如图，正方形/凯力的边长为8,点〃在ZT上且〃JU2,1是水?上的一动点，求DN+MN

的最小值.

解：如图所示,

♦.•正方形是轴对称图形，点8与点〃是关于直线4C为对称轴的对称点,

，连接笈V,BD,则直线小即为劭的垂直平分线，妆

：.DN+MN-=BN^MN.

连接BM交4C于点P,

•••点、为〃1上的动点，

二由三角形两边之和大于第三边，

知当点"运动到点〃时，

DN+MN=BP+P*=BM,"触的最小值为阴的长度.

•••四边形/曾为正方形，

:.BC=Cg8,CM=8—2=6,

N反M=90°,

+CM?=、8?+6?=10.

即为V+必V’的最小值为10.

2、高速公路的同一侧有A,8两城镇，如图，它们到高速公路所在直线场’的距离分别为AA'

=2km,BB'=4km,A'B'=8Az.要在高速公路上4',B：之间建一个出口只使46

两城镇到。的距离之和最小.求这个最短距离.

B

MA'B'N（第6题）

解：如图，作点8关于直线秘'的对称点C,连接/JC交也V于点P,则点尸即为所建的出口.此

时A,8两城镇到出口〃的距离之和最小，最短距离为〃、的长.作ADLBB'于点D,在

中，AD=A'B'=8km,DC=6km.

4c=7AD^+DC"=10km,

...这个最短距离为10km.

MA'P''、N

四、用展开法求立体图形中最短问题

类型一、圆柱中的最短问题

2

如图，已知圆柱体底面圆的半径为：，高为2,AB,切分别是两底面的直径.若一只小虫

从1点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留

根号).

【答案】2^2

点拨：将圆柱体的侧面沿4〃剪开并铺平得长方形D'D,连接44如图.线段4c就是

21

小虫爬行的最短路线.根据题意得/)6=：X2"><5=2.在落中，由勾股定理，得姆

=/#+初=2''+22=8,："0=乖=2季.

类型二、圆锥中的最短问题

己知：如图，观察图形回答下面的问题：

(1)此图形的名称为.

(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿4S剪开，铺在桌面上，则它的侧面展

开图是一个.

(3)如果点C是弘的中点，在4处有一只蜗牛，在。处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又

不能直接沿/C爬到「处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬

行的最短路线吗？

(4)%的长为10,侧面展开图的圆心角为90°,请你求出蜗牛爬行的最短路程.

解：(1)圆锥(2)扇形

(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，4C为蜗牛爬行的最短路线.

⑷在RSASC中,由勾股定理，得痣=1()2+52=125,

故蜗牛爬行的最短潞程为5^5.

s

c

类型三、正方体中的最短问题

如图.，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角/处沿

着木柜表面爬到柜角6处.

(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.

解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的।和4G.

(2)如图，AC尸AC、(4+4)「+42=47.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4小.

类型四、长方体中的最短问题

如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12c勿，8。R，30cm,在4?的中点。处有一滴蜜糖,

一只小虫从£处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.

解：分为三种情况：

(1)如图①，连接比

在Rt/X&T中，破=12+8=20(cm),30=15(cm).

由勾股定理，得公风4百=25(cm).

⑵如图②，连接比：

根据勾股定理同理可求CE=<673cm>25cm.

⑶如图③，连接和

根据勾股定理同理可求应=，12?+(30+8+15)’=、2953(cm)>25cm.

综上可知，小虫爬行的最短路程是25cm.

专题03二次根式性质解决相关问题

【专题说明】

对于二次根式4^，有两个“非负”：第一个是a20,第二个是雨，0,这两个“非负”在

解二次根式的有关题目中经常用到.二次根式的被开方数和值均为非负数，是常见的隐含条

件.

一、利用被开方数a》0及二次根式的性质解决有关问题

1.若式子月I在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

【答案】X》一1

14

【答案】2点拨：由题意知3x-4=0,x-^y=0,所以x=§,y=4,代入求值即可.

3.【中考・黔南州】实数a在数轴上对应点的位置如图，化简y/(a-l)?+a=

--2a-I0—(第3题)

【答案】1

4.若尸正苧三t,求(x+y)'的值..

解：Vx-4^0,4—x20,

.•・x=4,Ay=-2.

(x+y)z=(4—2)2=*

5.已知x,y为实数，且\/x—5+y/5—x=(x+y):求x—y的值.

x—520,(x25,

解：.由题意，得—一A一L

[5—x20,[x<5.

.,.x=5./.(x+y)=0,即(5+y)=。，y=-5.二x—y=5—(―5)=10・.

二、利用420求代数式的值或平方根

6.若.a+i+5+12a—b+11=0,则(b—a)2""=()

A.-1B.1C.52-018D.-52018

【答案】B

7.若-x—3与9y+2互为相反数,求6x+y的平方根.

解：由题意，得币=0,

/.X—3=0,y+2=0,解得x=3,y=-2,则6x+.y=16,.・・6x+y的平方根为±4.

三、利用420求最值

8.当x取何值时，'9x+l+3的值最小,最小值是多少？

解：,.,—x+l'。,当9x+l=0,即x=一孑寸，式子M9x+l+3.的值最小,最小值

为3.

方法点拨：涉及二次根式的最小(大)值问题，要根据题目的具体情况来决定用什么方

法.一般情况下利用二次根式的非负性求解.

四、利用二次根式的非负性解决代数式化简求值问题

9.设等式[a(x-*a)+#a(y—a)=y]x—a—yla—y=0成立,且x,y,a互不相等，求

3x2+xy—y2

----「的值，

x-xy十y

解：因为y/a(x-a)+y/a(y—a)=0,

所以a(x—a)=0且a(y—a)=0.

又因为x,y,a互不相等，

所以x—aWO,y-aWO,

所以a=0.

代入有三=0,所以#=＜二Q.所以x=—yWO.

3x：+xy-/3x?-x^—x，x，]

1'xJ-xy+y?x'+x^+x3x23,

五、利用被开方数的非负性解与三角形有关的问题.___________________

10.已知实数x,y,a满足：-x/x+y—8+*\/8—x—y=A/3X—y—a+^x—2y+a+3,试问长

度分别为x,y,a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的周长；如果

不能，请说明理由.

x+y—820,

解一：.能.根据二次根式的被开方数的非负性，得'、解得x+y=8,

[8-x-y20,

”x+y=8,

.•.、3x-y-a+Nx—2y+a+3=O根据非负数的性质，得<3x—y—a=0,解得

、x—2y+a+3=0,

x=3,

y=5,

a=4.

・・・可以组成三角形，.它的周长为3+5+4=12.

专题04二次根式比较大小的八种方法

【专题说明】

含二次根式的数（或式）的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，

灵活地、有针对性地.采用不同的方法，将会得到一简捷的解法.较常见的比较方法有：平方

法、作商法、分子有理化法、分.母有理化法、作差法，、倒数法、特殊值法等.

一、平方法

1.比较小+5与E+4的大小.

解：因为（m+板）2=17+2弧"，（VM+AJ3）2=17+2^/42,

17.+2A/66>17+2^42-所以（乖+布力川^+小了.又因为乖十小心。,丑.+

木>0,所以乖+小1>虫+木.

二、作商法

2.比较的大小.

巡+].3+2_(g+1)(g+3)_a+4~\/^+3g+]

丁+2,/+3=(垢+2)2=a+4/+41'易划m+2>°

所以髭（耦

方法总结：作商比较两个二次根式的大小的方法：当两个二次根式（均为正数）均由分

母和分子两部分组成时，常通过作商.比较它们的大小,先计算两个二次根式的商，然后比

较商与1的大小关系.已知a>0,b>0,琮>1,则a>b；琮=1，则N=b；若（<1，则

a<b.

三、分子有理化法

3.比较五一4五与四一行的大小.

解：屏一/i

_（行_皿）（标+皿）

标+皿

1

一标+皿，

VM-V13

（皿一仃）（yn+遮）

i

-5+限'

VV15+y/14>VM+V13,标+枷>0,y[14+y/i3>o,

.—I-，—!—

y[15+y/T4y[U+屏'

即标一标〈标一仃.

四、分母有理化法

4.比较小与廿万的大小.

解：；/=2+/，忑，=木+木，

2心循例

五、作差法

A/7Q—19

5.比较与鼻的大小.

解：因为牛一（=牛，虫一3〉。，所以辱现,所以牛＞*

oOOoJJ

六、倒数法

6.已知x=tn+3—^n+l,y--\/n+2—y[n,.试比较x,y的大小.

林1_______1_______Ajn+3+^/n+l

解:广斤_尸=2>0>

I______1______[n+2+g

yyfn+2—yfn2

*/.n+3+.n+l>:n+2+/>0,/.A>~>0,x.<y.

七、特殊值法

7.用连接x,px2,^/x（0<x<l）..

解：取特殊值X=；,则一=4,x2=Ty,5=1,.,.x~<x<j\[x<-,

XID乙X

八、定义法

8.比较45-a与，a—6的大小.

解：V5-a>0,，aW5.，a—6co.

yjn—6<0.

________Q____

又■.•［5-a>0,—a>yja—6.

专题05二次根式化简求值的九种技巧

【专题说明】

在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在运算的最后注意

结果要化成最简形式.在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题

目的特点，选取适当的解题方法.

一、估算法

1.若将三个数一小，木,表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是

-645_,■（第］题）

【答案】于点拨：因为一/vo,2V#V3,3V，TT.V4,所以被墨汁覆盖的数为小.

二、公式法

2.计算:(5+洞X(5/一2m).

解：源式=(5+m)X[54一(乖)々如

=(5+#)X[^X(5—市)]

=*X(5+/)X(5一/)

=/x(25-6)=14.

三、拆项法

3.计算：（丁露林）一.［提示:m+4#+3m=（m+#）+3（#+4）］

的15T（#+小）+3（第+3）

解一原式=（^6+73）（小+业

__________加+镉

一（m+镉）（/+如

3（m+弧

（乖+小）（木+取）

=1+3

73+72邓+小

=力-小+小一小

=小一啦

四、换元法

□+2+1/-4n+2—yjn—4

4.已知n=镜+1,求的值.

n+2-^/n—4n+2+^n—4

解：设x=n+2+*\/n2-4.,

y=n+2—4,

则x+y=2n+4,xy=4n+8.

x2+y2(x+y)2—2xy(x+y)2°(2n+4)2

原式="=—―2-；~~—-2=n.

xyxy4n+8

当n=/+l时，原式=/+L

五、整体代入法

11,求汛-4的值.

5.已知X—3-272>y-3+2^2

解：由已知得：X=3+2A/Ly=3—2镒，所以x+y=6,xy=l,

所以原式=4+y24xy=(x+y)26xy=30

xyxy

六、因式分解法

6.计算：2+m+亚+#?

啦+第

解:

2+4+亚+标

____________一+♦____________=】

木（4+小）+南（4+小）

/+镉=]=m_________=小-由

（^2+^3）（十+小）一木+乖~（乖+乖）（邓一木）~5-2

5-正

31

七、配方法

7.若a,b为实数，且b=d3—5a+45a—3+15,试求的值.

3-5a^0,3

.解.：由二次根式的定义，得厂。、八・・・3-5a=0,・,・a=二.

oa—330,J

3

当a=E，b=15时，

0

-2/3,2

原式=77义\/=X15=-

10\J0□

方法点拨：对于形如^+£+2或b+三一2的代方式一般要变为'或（a[b）一的

a。at）QDaD

形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意a+b和a-b以及ab的符号.

八、辅元法

Rx+y

8.已知x：y：z—1'2:3(x>0,y>.0,z>0)>求的值.

y/x+z+y/x+2y

解：设x=k(k>0),则y=2k,z=3k,

‘原式=需1=号=m—2.

九、先判后算法

9.已知a+b=—6,ab=5,

解：*.*a+b=—6.»ab=5,

.\a<0,b<0.

(a+b)"—2ab36-10

乖

2626^/5

A/55'

点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整

体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解.

专题06平面直角坐标系中图形面积的求法

一、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形直接求面积

1、如图，平面直角坐标系中的面积是()

A.2B.4C.8D.6

【答案】B

2、如图，在平面直角坐标系xa中，已知4(—1,5),6(—1,0),<7(-4,3),则

的面积为

【答案】7.5

二、利用补形法或分割法求图形的面积

3、如图，四边形4?龙的面积为()

A.16.5B.21C.17D.18

【答案】B

解析：由图可知，四边形4%的面积为1个长方形加3个三角形的面积，即SIM-»=3X4

+|xiX3+1x1X3+^X3X4=21.

4、如图所示，在平面直角坐标系中，点4(4,0),6(3,4),C(0,2),则四边形49CO的面

解析：过点6作轴于D,则S四爪谢=S拂监支w，+S典彩.=品(4+2)X3+1x.lX4=9

+2=11.

5、在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,三角形48C的三个顶点恰好

是正方形网格的格点.

(1)写出三角形4%各顶点的坐标；

(2)求出此三角形的面积.

解：⑴4(3,3),庾一2,-2),<7(4,-3)；

(2)如图，分别过点4B,C作坐标釉的平行线，交点分别为"E,F.S:珀场,w=S正方形

=

DEQ：-S.用形砥•-S.角形盘出一S=地形砒=6X6-X6X1-]X5X5-5X6X1~.

E

三、与图形面积相关的点的存在性问题

6、如图，平面直角坐标系中，ABCD为长方形,其中点4C的坐标分别为(-4,2),(1,

-4),且轴交y轴于M点，轴交x轴于N点.

(1)求反〃两点的坐标和长方形18切的面积；

(2)一动点。从4点出发，以;个单位/秒的速度沿48向8点运动，是否存在某一时刻t,

使少的面积等于长方形］腼面积的9?若存在，求出t的值，并求此时点尸的坐标；若

O

不存在，请说明理由.

解：(D：点4C的坐标分别为(-4,2),(1,-4),而四边形/应力为长方形，AB//y

轴，/勿*轴，.,.点8的坐标为(一4,一4),点〃的坐标为(1,2),，SK方彩的=(l+4)X(2

+4)=30；

*11111

(2)存在.AM—4,AP='ztt.二九4如=5义4义5方=8,4卬=W5长方形t=30XT=10,

乙乙乙OO

."户=,义10=5.仁2,二一点坐标为(-4,-3).

7、如图，四边形〃仍C各个顶点的坐标分别是0(0,0),/1(2,0),8(4,2),以2,3),过

点C与x轴平行的直线EF与过点、B与y轴平行的直线应/交于点E.

(1)求四边形断的面积；

(2).在线段以/上是否存在点只使四边形力配的面积为7?若不存在，说明理由；若

存在，求点尸的坐标.

解：（1）由题意，得0F=EH=3,0J!=EF=\,CF=0A=2,BI1=2,则（方=///=2,BE=

111

1.S四边形4807=S长方形OH口:lS-fII形AfUi—S-角形CRI-—S用形『4X3一,X2X2-5X2XL-]X3X2

=6；

(2)不存在.理由如下：若点〃在£7/上，设/W=x,则属=3—x,S四边形弧=5长方形的

—SMAPti-S角形.一S用形M=4X3—gx2Xx—；X2义(3—力一；X3X2=6.此时四边形

3%的面积为一定值6,不为7,故不存在.

专题07平面直角坐标系中的新定义与规律

1、在平面直角坐标系X0中，对于点尸(a,6)和点Q(a,b'),给出下列定义：若"=

b(a21),

则称点。为点夕的限变点.例如：点(2,3)的限变点的坐标是(2,3),点(一

—b(a<1),

2,5)的限变点的坐标是(一2,

-5).如果一个点的限变点的坐标是(小，一一1),那么这个点的坐标是()

A.(―1,小)B.(―\/3,—1)

C.(木,-1)D.(小,1)

【答案】C

2、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a,6),若规定以下三种变换：①△(a,8)=(一

a,6)；②O(a,6)=(—a,-6)；③Q(a,⑸=(a,—6),按照以上变换，例如△(0(1,

2))=(1,-2),则0(0(3,4))=.

【答案】(-3,4)解析：0(0(3,4))=0(3,-4)=(-3,4).

3、平面直角坐标系中有两点,"(a,6),Me,d),规定(a,6)㊉(c,d)=(a+c,b+d),则

称点。(a+c,6+中为点机"的“和点”.若以坐标原点。与任意两点及它们的“和点”

为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点4(2,5),3),

若以0,A,B,。四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是.

【答案】(1,8)或(一3,—2)或(3,2)解析：•.•以“A,B,C四点为顶点的四边形是“和

点四边形"，①当C为46的“和点”时，「点的坐标为(2—1,5+3),即。(1,8)；②当

8为4c的“和点”时，设C点的坐标为(小，珀，则L一解得C(一3,-2)；③

3=5+必,

(2=—1+X2,

当/为8,「的”和点”时，设「点的坐标为(版，%),则一解得C(3,2)；...点

5=3+照,

C的坐标为(1,8)或(-3,—2)或(3,2).

二、规律探究

4、.一个质点。在第一象限及坐标轴上运动.，在第1秒钟，从原点运动到(0,1),然后按箭

头的方向运动[即：(0,0)~>(0,1)-(1,1)-(1,0)-…],每秒移动一个单位，则点一

运动到(7,7)位置时共运动了秒.

01123x

【答案】56解析：质点。每秒移动一个单位，(0,0)-(0,1)-(1,1)-(1,0)用的秒数

分别是1秒，2秒，3秒，到(1,1)用2秒，至以2,2)用6秒，到(3,3)用12秒，至4(4,

4)用20秒，依此类推,点〃运动到(7,7)位置时共运动了2+4+6+8+10+12+14=56(秒).

5、如图，正方形4上44,4444,…(每个正方形从第二象限的顶点开始，按J顺

时针方向顺序，依次记为4,4,4,4；4,4,4,A；4,4°,4”4?；…)的中心均在

坐标原点。上，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2,4,6,…，则顶点出

的坐标为.

20

【答案】(5,-5)解析：：7=5,.•.心在第四象限.所在JE方形的边长为2,

的坐标为(1,-1),同理可得足的坐标为(2,-2),上的坐标为(3,-3),.•.血的坐标为

(5,-5).

6、如图，在平面直角坐标系中，将绕点4顺时针旋转到△/8C的位置，点昆。分别

落在点a，G处，点5在x轴上，再将△484绕点5顺时针旋转到△45C的位置，点G

在x轴上，将△45G绕点C顺时针旋转到△4立G的位置，点上在x轴上，依次进行下去….

：.06>

35

=勿+/8+夕0=1+彳+2=6,...点8的横坐标为6,且氏G=2,即点氏的坐标是(6,2),

...点8的横坐标为2X6=12,.•.点国s的横坐标为2016+2X6=6048,点8m的纵坐标为

2,即点晟me的坐标是(6048,2).

7、如图所示，在直角坐标系中，第一次将△物8变换成△〃!山，第二次将△如心变换成

△OAM第三次将△的出变换成△勿3%已知/(I,3),4(2,3),4(4,3),4(8,3),

8(2,0),5(4,0),氏(8,0),笈(16,0).

(2)写出△总山的各个顶点的坐标；

(3)按此图形变化规律，你能写出△》,£,的面积与△而8的面积的大小关系吗？

解：(1)幺“物=；如=gx2X3=3：

(2)根据图示知0的坐标是(0,0)；已知4(1,3),4.(2,3),4(4,3),4(8,3),对

于4,4,…，4的坐标，找规律比较发现4的横坐标为2",而纵坐标都是3；同理B、,&,…，

凡也一样找规律，规律为8,的横坐标为2"、纵坐标为0.由以上规律可知：4的坐标是(16,

3),8的坐标是(32,0).综上所述，0(0,0),4(16,3),⑸(32,0)；

(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是3,如,

=2"',S△〃,£,=gx2"'X3.=3X2"=2"5kM即$△<%£,=2瓦皿

解：(1)加出《=5如•典=5义2X3.=3；

(2)根据图示知。的坐标是(0,0)；已知力(1,3),4(2,3),4(4,3),4(8,3),对

于4,及，…，4的坐标，找规律比较发现4的横坐标为2",而纵坐标都是3；同理B、,Bz,…，

凡也一样找规律，规律为5,的横坐标为2田，纵坐标为0.由以上规律可知：4的坐标是(16,

3),反的坐标是(32,0).综上所述，0(0,0),4(16,3),8(32,0)；

(3)根据规律，后一个三角形的底边是前•一个三角形底边的2倍，高相等都是3,.•.如,

=2"+',S△的点=(><2"+Lx3=3X2"=2"8硼，即必04氏=2"石膜

专题08一次函数中的有关图形面积问题

【模型展示】

一、如何求下列阴影部分三角形的面积

【例题精讲】

1、如图，直线丁=依+6与x轴、y轴分别相交于点昆产，点E的坐标为(一8,0),点A的

坐标为(-6,0).点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点。

(1)求我的值

(2)当点尸运动过程中，试写出AQR4的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取

值范围；

1QO

(3)求当「运动到什么位置(求P的坐标)时，四边形AOEP的面积为丫吆，并说明理

8

3

解：(1)•.•宜线y=履+6与x轴相交于点£(-8,0)，0=—8k+6解得及=一

4

3

(2)对于直线y=2x+6,•.•点—(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点,

4

3

可设P[X,1X+6(-8<x<0),则尸点到x轴得距离为人='x+6,

4

又4(-6,0),二4〃二|-6|=6

3c9c

=-AO-h^-x6x\-x+6S=—x+18(_8<x<0)

2244

3

(3)对于直线y=)x+6,由x=0,得y=6：.F(0,6),则"'=6

元,1x+6

(—8<xV0)到y轴的距离为|x|=-x

SAOQ=gF-O.凶=gx6x(-%)=-3x

••S四边形AO"-S&OPA+SAOFP

••*+18+(—3力=詈

1337137

解得x=—2,符合题意，此时3x+6=，

248T?8

2、如图，直线y=—Jir+4百与X轴相交于点A,与直线丫=后相交于点P.

(1)求点P的坐标.

(2)请判断AO/%的形状并说明理由.

(3)动点E从原点。出发，以每秒1个单位的速度沿着Of尸fA的路线向点A匀速

运动(E不与点O,A重合)，过点E分别作EF_Lx轴于b,硝，)，轴于3,设

运动f秒时，矩形EB。尸与△(?/为重叠部分的面积为S,求：S与t之间的函数关

系式.

(2)勿是等边三角形

(3)当0<£<4时，如图,在RtAEOF中,

〈NEOFQ,OE=t,

31

：.EF=-t,0F=-t,

22

：.S=-OFEF=—t2

28

当4<t<8II寸，如图，设项与8相交于点C,

VCE=PE=t-4,AE=8-t,

13

AF-4--l,EF~—(8—t)

22

：.OF=OA-AF=-t

2

:.S=；(CE+OF)-EF=一^^俨+4®―范

【针对训练】

1、如图，一次函数了=%1户8的图象与y轴交于点8(0,-6),与x轴交于点乙且与正

比例函数y=%x的图象交于点4(1,-4).

(1)分别求出这两个函数的表达式及△力宏的面积；

(2)将正比例函致产=左入的图象沿y轴向下平移3个单位长度后得到直线1,请写出直

线/对应的函数表达式.

解：(1)：一次函数经过点6(0,-6),A(1,-4),

b=-6

得到4

k1+b=-4'

,Jk=2

[b=-6'

Vy=2x-6,

AC(3,0),

•・•正比例函数经过力(1,-4),

:・k尸-4,

1・y=-4x；

的面积=Lx3X4=6；

2

(2)将尸-4x沿着y轴向下平移3个单位长度后得到尸-4x-3.

2、如图，在平面直角坐标系中，把点1(-2,3)向右平移4个单位长度，再向下移2个

单位长度得到点B.

(1)求直线4?的解析式；

(2)直线协与x轴交于点C,将直线如沿为方向从点8开始平移到点/停止，直线

如在平移过程中交46于点区交x轴于点尸，记的面积为S,求S的取值范围.

解：(1)•••把点4(-2,3)向右平移4个单位长度，再向下移2个单位长度得到点以

：.B(2,1),

设直线＜6的解析式为y=k^b,

.卜2k+b=3

,l2k+b=l

解得｛2,

,b=2

...直线的解析式为y=-yx+2；

(2)由直线4层尸一92可知C(4,0),

,：B(2,1),

直线协的解析式为尸千，

设平移后的解析式为尸会〃，

把力(-2,3)代入得3=yX(-2)+〃，

解得〃=4,

直线正经过A时的解析式为y=•^大4,

令y=0,则x=-8,

...此时S有最大值，S=—CF*y,=—(8+4)X3=18,

22

当直线)与仍重合时，S有最小值，4X2=4,

...S的取值范围为4WSW18.

3、如图，在平面直角坐标系中，直线上与x轴交于点4与y轴交于点6(0,4),OA^OB,

点C(-3,〃)在直线入上.

(1)求直线Z和直线8的解析式；

(2)点〃是点/关于y轴的对称点，将直线勿沿y轴向下平移，记为劣，若