2019年高考全国II卷文科数学真题(含答案)

2019年高考全国II卷文科数学真题(含答案)2019年高考全国II卷文科数学真题（含答案）一、选择题1.设集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=()A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.ϕ2.设z=i(2+i)，则z=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i3.已知向量a=(2,3)，b=(3,2)，则a-b=（）A.2B.2C.5√2D.54.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A.23/21B.3/5C.1/5D.ϕ5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。甲：我的成绩比乙高。乙：丙的成绩比我和甲的都高。丙：我的成绩比乙高。成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex-1，则当x<0时，f(x)=（）A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+17.设α,β为两个平面，则α//β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面8.若x1=π/4，x2=3π/4，f(x)=sinωx(ω>0)是函数y=x2y2+1的一个相邻的极值点，则ω=A.2B.31/22C.1D.2/39.若抛物线y=2px(p>0)的焦点是椭圆x2y2/4-2x+y=1的一个焦点，则p=（）A.2B.3C.4D.810.曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为()A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=011.已知α∈(0,π/2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）A.π/15B.5/3C.√3/2D.√5/212.设F为双曲线的右焦点，以O为坐标原点的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点，若PQ=OF，则双曲线的离心率为:（）A.2B.3C.√2D.5二、填空题13.若变量x,y满足约束条件{2x+3y-6≥0{x+y-3≤0则目标函数f(x,y)=x+y的最大值为__________。14.已知函数f(x)=x3-3x2+bx+c在x=1处取得极小值0，在x=2处取得极大值1，则f(x)的解析式为f(x)=__________。15.已知函数f(x)=a|x-1|-b|x+1|在区间[-2,2]上的最小值为2，则a+b=__________。16.已知向量a=(2,1)，向量b=(1,k)，且a⊥b，则k=__________。17.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d，在区间[-1,1]上的最大值为2，在区间[0,1]上的最小值为1，则f(2)=__________。18.已知函数f(x)=sinx+cosx，g(x)=sinx-cosx，则f(x)g(x)的最小值为__________。19.已知函数f(x)=x2-2x+1，g(x)=2x2-4x+3，则f(x)g(x)的最小值为__________。20.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d，在区间[0,1]上的最大值为1，在区间[1,2]上的最大值为2，则f(3)=__________。14.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为多少？15.已知$\triangleABC$的内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，且$bsinA+acosB=$，求角$B$的度数。16.印信是中国金石文化的代表之一，形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有多少个面，其棱长为多少？17.如图，长方体$ABCD-A'B'C'D'$的底面$ABCD$是正方形，点$E$在棱$AA'$上，$BE\perpEC'$.（1）证明：$BE\perp$平面$EBC'D'$;（2）若$AE=AE',AB=3$，求四棱锥$E-BB'C'D'$的体积。18.已知$\{a_n\}$是各项均为正数的等比数列，$a_1=2,a_3=2a_2+16$。(1)求$\{a_n\}$的通项公式；(2)设$b_n=\log_2a_n$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和。19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率$y$的频数分布表。$y$的分组为$[-0.20,0),[0,0.20),[0.20,0.40),[0.40,0.60),[0.60,0.80)$，对应的企业数为$2,4,5,3,1$。(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。（精确到0.01）20.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的两个焦点，$P$为$C$上的点，$O$为坐标原点。$AB$是以$O$为圆心的单位圆上的一条弧，且$\angleAPB=\frac{\pi}{2}$。若$PF_1$交$AB$于点$M$，$PF_2$交$AB$于点$N$，求证：$MN=2a\cos\angleAOB$。（1）已知等边三角形ABC，求C的离心率。解：由于等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分线重合，且交于三角形的垂心、重心、外心，所以C的离心率为1，即E为C所在的圆心，且EC=AC=BC。（2）已知存在点P，使得PF1⊥PF2，且三角形F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围。解：根据垂线定理，有PF1^2+PF2^2=F1F2^2，即b^2+(a-2)^2=16。又因为三角形F1PF2的面积为16，所以PF1×PF2=16/2=8，即b(a-2)=8。将b^2+(a-2)^2=16和b(a-2)=8联立解得b=2，a∈(-∞,0)∪(6,∞)。21.已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1，证明：（1）f(x)存在唯一的极值点；（2）f(x)有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数。解：（1）f'(x)=lnx，令f'(x)=0得x=1，因此x=1是f(x)的唯一极值点。（2）令y=x-1，则f(x)=(y+1)ln(y+1)-y，f'(x)=ln(y+1)，因此f(x)在区间(-∞,0)单调递增，在区间(0,+∞)单调递减。当x→0+时，f(x)→-∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，因此f(x)有且仅有两个实根。设这两个实根为x1和x2，则有f(x1)=f(x2)=0，即(x1-1)lnx1-x1-1=(x2-1)lnx2-x2-1=0。由于x1和x2是f(x)的实根，因此x1和x2均不等于0和1。将x2代入第一个等式得(x1-1)lnx1=(x2-1)lnx2，即ln(x1-1)+lnlnx1=ln(x2-1)+lnlnx2，移项得ln(x1-1)/lnx1=ln(x2-1)/lnx2，即(x1-1)/x1=(x2-1)/x2，因此x1x2=x1+x2-1，即x1x2-1=x1+x2，即x1x2=1。因此x1和x2互为倒数。这类企业的产值增长率方差为0.0296，因此标准差为0.17。（1）若$\DeltaPOF$为等边三角形，则$P$的坐标为$(\frac{c\sqrt{2}}{3},\pm\frac{c}{3}\sqrt{\frac{2}{3}})$，代入方程$x^2+y^2=1$可得。（2）由题意可得$PF_1+PF_2=2a$，因为$PF_1\perpPF_2$，所以$PF_1+PF_2=4c^2$，所以$PF_1PF_2=\frac{b^2}{4}=16$，解得$b=4$。因此$PF_1PF_2=2b^2$，所以$S_{\DeltaPF_1F_2}=\frac{1}{2}PF_1PF_2\geq\frac{1}{2}\cdot2a\cdot\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}\geq\frac{1}{2}\cdot2a\cdot\sqrt{b^2-c^2}=2b\sqrt{a^2-c^2}=8\sqrt{3}$。因为$PF_1+PF_2\geq2\sqrt{PF_1PF_2}$，即$2a\geq4b$，所以$a^2\geqPF_1PF_2=16$，因此$a\geq4$。$f'(x)=\lnx-1(x>0)$，设$g(x)=\lnx-\frac{1}{2x^2}$，则$g(x)$在$(0,+\infty)$上递增，$g(1)=-1<0$，$g(2)=\ln2-\frac{1}{2}<0$，因此存在唯一$x\in(1,2)$，使得$f'(x)=g(x)=0$。当$0<x<x$时，$g(x)<g(x)=0$，当$x>x$时，$g(x)>g(x)=0$，因此$f(x)$在$(0,x)$上递减，在$(x,+\infty)$上递增，因此$f(x)$存在唯一的极值点。由（1）知存在唯一$x\in(1,2)$，使得$f'(x)=0$，即$\lnx=\frac{1}{x}$，解得$x=e^{\frac{1}{e}}$。因此$f(e^{\frac{1}{e}})=2(e^{\frac{1}{e}}-1)-e^{\frac{1}{e}}+1=e^{\frac{1}{e}}-3<0$，又$f(1)=-2<0$，因此$f(x)$在$(0,x)$上有一个零点，$(x,+\infty)$上有一个零点。设$f(x_1)=f(x_2)=0$，则$x_1<x<x_2$，有$(x_1-1)\lnx_1-x_1=(x_2-1)\lnx_2-x_2=0$，因此$(x-1)\lnx-x=0$，解得$x=1$或$x=e$，舍去$x=1$，因此$f(x)$在$(0,+\infty)$上有两个零点。lnx/(x-1)=1/(x+1)，(x^2-1)lnx2-x^2+1=0，设h(x)=lnx-(x+1)/(x-1)，当x1≠x2时，有h(x1)+h(x2)=0，且x1x2=1。（1）当θ=π/3时，ρ=4sinθ=4sin(π/3)=2√3，以O为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有点M(3,3)和点A(4,0)，则k=-3/(3-x)为直线l的斜率，化成极坐标方程为y=-(3/3)ρsin(θ+π/2)=2/3；（2）由于l⊥OM，所以∠OPA=π/2，则点P的轨迹为以OA为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为(x-2)^2+y^2=4，化成极坐标方程为ρ=4cosθ，又P点在线段OM上，由极坐标方