期末模拟考试（一）-2025-2026学年高二下学期人教A版数学（含解析）

第2页，共17页2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（一）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（） A. B. C. D.2.复数对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知，若的展开式中，常数项等于240，则（） A.3 B.2 C.6 D.44.已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（） A.0.46 B.0.22 C.0.18 D.0.045.已知点在曲线上，点在直线上，则两点距离最小值为（） A. B. C. D.6.在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（） A.1450种 B.1480种 C.1520种 D.1560种7.等差数列的前项和为，且，则为（） A.45 B.81 C.90 D.1628.已知，则的大小关系为（） A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.假设其坐公交车用时和骑自行车用时均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则（） A. B. C.如果某天有34min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择坐公交车 D.如果某天有38min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择骑自行车10.已知函数，则下列结论正确的是（） A.函数存在三个不同零点 B.函数既存在极大值又存在极小值 C.若时，，则的最大值为2 D.当时，方程有且只有两个实根11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（） A.第一次球传出后恰好传给丙的概率为 B.第二次球传出后恰好传给丙的概率为 C.第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率为 D.球第次传出后恰好传给丙的概率为第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.13.若把满足的正整数组称为“勾股数组”，则在不大于14的正整数中，随机选取3个不同的数，能组成“勾股数组”的概率为＿＿＿＿＿＿.14.已知定义域为的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则＿＿＿＿＿＿.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则诊断为患病，若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡方检验的方法检验该试剂盒的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患病的血样进行检验，试验结果显示，100份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血样，95份阴性血样.（1）填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为，求的估计值；检测结果患病不患病合计阳性阴性合计（2）根据小概率值α=0.001附：χ2=nα0.0500.0100.001x3.8416.63510.82816.已知数列中，，且数列为等差数列．（1）求的通项公式；（2）记为数列的前项和，证明：．

17.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与相交于点.（i）证明：点在定直线上；（ii）求的最大值.18.编号为的小球随机放入编号为的盒子中，记表示个盒子中空盒子的个数.（1）当时，求编号为1的盒子中有球的概率；（2）求并证明关于单调递增；（3）求证：.注：若随机变量满足，则.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求实数的取值范围；（3）若函数有且仅有两个零点，且，证明：.2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（一）数学（解析卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）答案速查表12345DABBB678910DBDACDBCD1112131415ABD3x32n（1）列联表见解析，181916171819（1）an=（1）x24+y（1）1927（2）E(X（1）见解析（2）[0,第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={0,1,2 A.{x∣-1≤x≤3} B.{0,【答案】D【解析】由A={0,又1+∴A∩【点拨】本题考查集合的交集运算，正确估算无理数的大小是解题的关键.2.复数2i1 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由题意，复数2i1+i【点拨】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题.3.已知a>0，若x2+a A.3 B.2 C.6 D.4【答案】B【解析】由二项展开式的通项公式可得Tr令12-3r=0即常数项为T5=a4故选：B【点拨】本题考查二项式定理中特定项的求解，掌握通项公式是解题的关键.4.已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（） A.0.46 B.0.22 C.0.18 D.0.04【答案】B【解析】设“解出第一问”为事件A，“解出第二问”为事件B，由题意可得：P(则P(∴P(故选：B【点拨】本题考查全概率公式的应用，正确识别事件并套用公式是解题的关键.5.已知点P在曲线E:xy=1(x>0)上，点Q A.105 B.2105 C.55【答案】B【解析】E:y=1x,x>0,y'=-1x2,x>0，设Qx0,1x0，过Q【点拨】本题考查利用导数求曲线上一点到直线距离的最小值，利用平行线间的距离求解是常用技巧.6.在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（） A.1450种 B.1480种 C.1520种 D.1560种【答案】D【解析】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法，然后涂5区域，若1和5区域同色，一共的涂法种数为A6若1和5区不同色，一共的涂法种数为A6故一共的涂色总数为480+故选：D.【点拨】本题考查排列组合在涂色问题中的应用，采用分步与分类相结合的方法是解题的关键.7.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 A.45 B.81 C.90 D.162【答案】B【解析】∵等差数列{an}的前n项和为∴S3,S6-S∴2×故选：B.【点拨】本题考查等差数列前n项和的性质，利用片段和成等差数列可快速求解.8.已知a=20222024,b A.b>c>a B.b>a>c 【答案】D【解析】∵lna构造函数f(x)=令g(x)=(x∴g(x)在∴g(故f'(x)<0，∴f(∴f（∵lnb构造函数h(x)=令t(x)=(x∴t(x)在∴t(故h'(x)<0，∴h(∴h（故a>故选：D.【点拨】本题考查利用导数构造函数比较大小，通过取对数并构造合适的函数是解决此类问题的通法.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.假设其坐公交车用时X和骑自行车用时Y均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则（） A.E B.D C.如果某天有34min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择坐公交车 D.如果某天有38min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择骑自行车【答案】ACD【解析】对于A，E(X)=30对于B，X的密度曲线矮胖，数据分散，Y的密度曲线瘦高，数据集中，∴D(对于C，显然P(对于D，显然P(故选：ACD.【点拨】本题考查正态分布密度曲线的性质，理解均值决定对称轴位置、方差决定曲线形状是解题的关键.10.已知函数f( A.函数f(x B.函数f(x C.若x∈[t,+∞)时，f(x D.当-e<k<0【答案】BCD【解析】由函数f(x)=x令f'(x)=0，解得x当x<-1时，f'(x)<0；当-1<x∴函数f(x)在(-∞,-1),(2当x=-1，函数f(x)当x=2，函数f(x)当x→-∞时，f(x)→+∞，当x作出函数f(x对于A中，函数f(x对于B中，函数f(x对于C中，当x∈[t,+∞)时，f(x)max=对于D中，若方程f(x即y=f(x)与y故选：BCD.【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与零点问题，数形结合是解决此类综合问题的有效方法.11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（） A.第一次球传出后恰好传给丙的概率为1 B.第二次球传出后恰好传给丙的概率为2 C.第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率为1 D.球第n(n∈N【答案】ABD【解析】对于A，第一次球传出后恰好传给丙的概率为13对于B，第二次球传出后恰好传给丙，分为两种情况：甲传给乙，乙传给丙，概率为13×13=19对于C，第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率为13对于D，设球第n次传出后恰好传给丙的概率为Pn，则第n次传出后没有传给丙的概率为1∵每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，∴Pn∴Pn又P1=13∴数列Pn-14是以112∴Pn-14故选：ABD.【点拨】本题考查离散型随机变量的概率及概率递推数列模型，构造等比数列求通项是解决递推概率问题的核心技巧.第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线f(x)=lnx+2x【答案】3x【解析】由f(x)=lnx∴f'（1）=∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为【点拨】本题考查利用导数求曲线的切线方程，熟练掌握导数的几何意义是解题的关键.13.若把满足a2+b2=c【答案】3【解析】由题意可知基本事件的总数为C14能组成“勾股数组”的有(3故所求概率为3364【点拨】本题考查古典概型的概率计算，列举出符合条件的勾股数组是解题的关键.14.已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(1-2x)=f(1+2x)，且当x【答案】2n【解析】∵f(1-2x)=f(1+又f(x)是偶函数，∴∴f(∴f(x当x∈[0,1∵logn+1(n+1在[0,n+1]上，f(x)又f(x)与y=logn∴在[-(n+1),0)∴实数解的个数an【点拨】本题考查函数的奇偶性、周期性及函数零点个数问题，利用数形结合思想画出草图是解题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则诊断为患病，若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡方检验的方法检验该试剂盒的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患病的血样进行检验，试验结果显示，100份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血样，95份阴性血样.（1）填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为P，求P的估计值；检测结果患病不患病合计阳性90595阴性1095105合计100100200…………………………3分检测结果为阳性的共95人，其中患病的为90人，∴P的估计值为9095(2)零假设为H0…………………………8分根据列联表数据计算得χ2因为144.5>10.828=x根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H即认为某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病有关……13分【点拨】本题考查列联表的完善及独立性检验，熟练套用卡方公式是解题的关键。16.已知数列{an}中，a1=（1）求{an（2）记Sn为数列1an的前n【答案】（1）an=【解析】解：（1）∵数列ann为等差数列，设该数列的公差为依题意则有2d=a已知a1=3,a∴数列annann即an=（2）由（1）可得1anS=12=12=34∵n∈N*，∴2n+3【点拨】本题考查等差数列的通项公式及裂项相消法求和，掌握裂项技巧是解题的关键.17.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b（1）求椭圆的标准方程；（2）过点E(1,0)作斜率不为0的直线交椭圆于M,N两点，直线MA与（i）证明：点P在定直线上；（ii）求∠APB【答案】（1）x24+y【解析】解：（1）由题意知，CA=(-∴CA⋅CB=-a2又e=ca=3∴椭圆的标准方程为x24（2）（i）由于直线MN过点E(1,0)且斜率不为0，∴可设直线MN由x=my+1x设M(x1,∴my1∵椭圆的左，右顶点分别为A(-∴直线MA的方程为y=直线NB的方程为y=y∴x+2解得x=4，∴点P在定直线x=4（ii）设直线MA,NB的倾斜角分别为α,β由（i）知tanβtan∴tanβ∴tan∠APB=|tan(=21当且仅当|tanα|=33时取等号，∴∠APB【点拨】本题考查椭圆标准方程的求解及直线与椭圆的综合应用，利用韦达定理和斜率关系转化为定点定线问题是解题的关键.18.编号为1∼n的小球随机放入编号为1∼n的盒子中，记Xn（1）当