《圆锥曲线》单元测试题

《圆锥曲线》单元测试题本文为一份圆锥曲线单元测试题，共有选择题12道，每道题5分，总分60分。题目中涉及到椭圆、双曲线、抛物线等知识点。1.若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()。A.5B.5C.2D.22.圆锥曲线$\frac{y^2}{x^2}+\frac{1}{9}=1$的离心率$e$，则$a$的值为()。$\frac{9a+8}{5}$A.4B.$-\frac{4}{5}$C.4或$-\frac{4}{5}$D.以上均不正确3.以椭圆的右焦点$F_2(2,0)$为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点$M$、$N$，椭圆的左焦点为$F_1(-2,0)$，且直线$MF_1$与此圆相切，则椭圆的离心率$e$为()。A.$3-\sqrt{5}$B.$2-\sqrt{3}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$4.已知双曲线$\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$与椭圆$\frac{x^2}{a_2^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率互为倒数，其中$a_1>0$，$a_2>b>0$，那么以$a_1,b$，$a_2,b$为边长的三角形是()。A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.设椭圆$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1(m>0,n>0)$的右焦点与抛物线$y^2=8x$的焦点相同，离心率为$\frac{1}{2}$，则此椭圆的方程为()。A.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$B.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$D.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$6.已知椭圆$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，对于任意实数$k$，下列直线被椭圆$E$截得的弦长与$l:y=kx+1$被椭圆$E$截得的弦长不可能相等的是()。A.$kx+y+k=0$B.$kx-y-1=0$C.$kx+y-k=0$D.$kx+y-2=0$7.过双曲线$M:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点$A$作斜率为1的直线$l$，若$l$与双曲线$M$的两条渐近线$\frac{x}{a}=\pm\frac{y}{b}$分别相交于点$B$、$C$，且$|AB|=|BC|$，则双曲线$M$的离心率是()。A.$\frac{5}{10}$B.$\frac{5}{\sqrt{23}}$C.$5$D.$10\sqrt{2}$8.设直线$l:2x+y+2=0$关于原点对称的直线为$l'$，若$l'$与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，点$P$为椭圆上的动点，则使$\trianglePAB$的面积为$\frac{9}{4}$的点$P$的个数为()。A.1B.2C.3D.49.设$F_1$、$F_2$分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点，与直线$y=b$相切的$\odotF_2$交椭圆于点$E$，且$E$是直线$EF_1$与$\odotF_2$的切点，则椭圆的离心率为()。A.$\frac{5}{6}$B.$\frac{63}{32}$C.$3-\sqrt{3}$D.$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$10、题目描述了一个几何问题，给出了一组方程和点的坐标，要求判断一个大小关系。具体来说，给出了一个双曲线和一个圆，以及它们的焦点和切点等信息，要求判断一个线段中点到某个点的距离与两个参数之差的大小关系。可以将题目中的图形画出来，根据几何关系列出方程，然后化简求解，最终得出答案为B。11、这道题目要求确定一个实数的取值范围。给出了一个二次函数曲线和两个点的坐标，要求从一个点观察另一个点时不被曲线挡住，需要确定实数a的取值范围。可以通过画图或者列方程的方式解决这个问题，最终得出答案为B。12、这道题目描述了一个点在曲线上的问题，要求判断这个点是否满足一定的条件。给出了一个曲线和一个直线，要求找到一个点，使得过这个点的直线与曲线的交点满足一定的条件。可以通过列方程的方式解决这个问题，最终得出答案为B。13、这道题目要求确定一个点的轨迹方程。给出了两个点的坐标和一个动点的条件，需要确定动点的轨迹方程。可以通过列方程的方式解决这个问题，最终得出答案为$(x-3)^2+y^2=1$。14、这道题目要求确定两条直线的斜率之积。给出了一个椭圆和一个点的坐标，以及过这个点的一条直线和过椭圆上两个交点的直线，需要确定这两条直线的斜率之积。可以通过列方程的方式解决这个问题，最终得出答案为$2\sqrt{3}$。15、这道题目要求确定一个角度的最大值。给出了一个双曲线和一个点的坐标，要求找到一个点，使得这个点与双曲线的两个焦点形成的角度的最大值。可以通过列方程的方式解决这个问题，最终得出答案为$\frac{\pi}{3}$。16、这道题目要求确定一个三角形的面积的最大值。给出了一个椭圆和两个点的坐标，以及一条直线，需要确定这条直线与椭圆上两个交点和一个固定点所形成的三角形的面积的最大值。可以通过列方程的方式解决这个问题，最终得出答案为$\frac{1}{2}$。(2)由题意可得，AD的斜率为-1，即y-2=-1(x+2)化简得y=-x将其代入椭圆方程得x2+3(-x)2=1化简得2x2=1，即x=±1/√2代入原方程得y=±√(1-x2/2)故椭圆的参数方程为x=±1/√2，y=±√(1-x2/2)18、[解析](1)设过原点O斜率为1的直线方程为y=x，将其代入椭圆方程得2x2+x2=1化简得x2=1/3，即x=±√(1/3)代入椭圆方程得y=±√(2/3)故椭圆的标准方程为3x2+2y2=2(2)设P点坐标为(x,y)，则PM的斜率为k1=(y-1)/(x-1)，PN的斜率为k2=(y-1)/(x+1)由椭圆的性质可知，PM、PN分别是椭圆上过点P的切线，故有y=xk1+1±√(a2k12+b2)/by=xk2+1±√(a2k22+b2)/b其中a>b>0为椭圆的两个半轴长由于P点异于M、N，故有y2<x2/2代入上式可得(xk1+1±√(a2k12+b2)/b)2<x2/2(xk2+1±√(a2k22+b2)/b)2<x2/2将两式相乘并化简可得k1k2=-b2/a2故k1k2为定值，且有k1k2=-b2/a2=-2/919、[解析](1)由题意可得直线的斜率为1，设直线方程为y=x+b，将其代入抛物线方程得x2=2(y-b)2化简得x2+2b2-4by=0代入点M(1,1)可得1+2b2-4b=0，解得b=1故直线方程为y=x+1设点P的坐标为(x1,y1)，则有y1=x1+b将其代入抛物线方程可得x12=2y1-2b代入直线方程可得y1=x1+1化简得x12=2x1+2，即x1=(t2-2)/2，y1=t-1故点P的轨迹方程为x=(t2-2)/2，y=t-1，其中t为参数(2)设点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则有x12=2y1，x22=2y2代入抛物线方程可得y1=y2=(x12)/2=(x22)/2故线段AB的中点坐标为((x1+x2)/2,(x12)/2)设△ABP的高线所在直线方程为y=kx，代入抛物线方程可得x2=2ky-k2代入直线方程可得y=kx+1化简得k2x2+(2k-4)xy+(k2-4y2+4)=0由于该方程有两个解，故有两条高线，设其斜率分别为k1、k2，由高线的性质可得k1k2=-4/2=-2故有k1+k2=-2，代入y=kx+1可得x2+(2k-4)x+(k2-4+k)=0根据二次方程的求根公式可得x=2-k±√(4k-4k2-8)代入y=kx+1可得y=2k-k2±√(4k-4k2-8)+1由于点P在椭圆x2/4+y2/2=1上，故有(x12)/4+y12/2=1代入x1=(t2-2)/2，y1=t-1可得t4-6t2+8t-4=0解得t=1±√3代入上式可得两条高线的方程为y=x+2±√(2x2-8x+8)故△ABP的面积为S=1/2|x1y2+x2y3+x3y1-x2y1-x3y2-x1y3|代入上式可得S=1/2|(x12)/2+(x22)/2+(x12)/2-(x22)/2|化简得S=1/2|x12|=1/2|(x1)2-2(x2)2|代入x1=(t2-2)/2，x2=(t2+2)/2可得S=1/2|3-4t2|=4√3-9/2故△ABP的面积最小值为4√3-9/220、[解析](1)设BD所在直线方程为y=x+b，代入菱形的对角线方程可得y=x+b，y=-x+b联立化简得x=1/2，y=1/2-b/2代入椭圆方程可得1/4+(3/4)(1/2-b/2)2=1解得b=±√3故直线AC的方程为y=x±√3(2)设菱形的长、短对角线长度分别为2a、2b，由菱形性质可得a2+b2=1设∠ABC的顶点为E，由余弦定理可得a2=2b2-2b2cos60°代入上式可得b2-2b2cos60°+1=0解得b=1/2代入a2+b2=1可得a=√3/2故菱形面积为S=2ab=√3/2由于菱形的对角线所在直线斜率为1，故其与椭圆的交点坐标为(±√3/2,±1/2)设点E的坐标为(x,y)，则有x2/4+y2/3=1y=x+√3/2或y=x-√3/2代入点E的坐标可得x=±√3/6，y=1/2±√3/6代入菱形面积公式可得S=3√3/4故菱形面积的最大值为3√3/421、[解析](1)设椭圆的长、短半轴分别为a、b，离心率为e，椭圆的焦点坐标分别为F1、F2，直线l的斜率为k，代入椭圆方程可得x2/a2+(kx-b)2/b2=1化简得(k2a2/b2+1)x2-2kbx+(b2-a2)=0由于直线l与圆O相切于点M，故有b2(k2+1)=1代入上式可得x2/a2+(kx-b)2/(k2a2+1)=1由于直线l与椭圆C相交于点A、B，故有x2/a2+(kx-b)2/(k2a2+1)=1x2+(kx-b)2(a2+k2b2)=a2(k2+1)化简得(k2+1)x2-2kbx+(b2-a2)=0由于直线l与椭圆C相切于点M，故有b2(k2+1)=a2代入上式可得(k2+1)x2-2kbx+(k2+1)b2=0由于直线l与椭圆C相交于点A、B，故有x2/a2+(kx-b)2/(k2a2+1)=1代入上式可得x2+(kx-b)2(a2+k2b2)=a2(k2+1)化简得(k2+1)x2-2kbx+(b2-a2)=0联立以上两式可得b2(k2+1)=1a2(k2+1)=k2b2+1解得a2=1/(e2-1)b2=a2(1-e2)k2=1-e2代入直线l与圆O相切于点M的性质可得b2(k2+1)=1代入题意可得(e2-1)(a2/2+(a2e2/2-1)/a)=1化简得a4-2a2-4e2=0解得a2=1+√5，b2=(√5-1)/2故椭圆的标准方程为(x2/(1+√5))+(y2/((√5-1)/2))=1(2)由题意可知，OA、OB、OM为三条线段，且OA·OB=OM，故有(x2/(1+√5))+(y2/((√5-1)/2))=1x2+y2=1(x+3)2+y2=1联立以上三式可得x=-3/8，y=±√(143/320)故存在直线l，使得OA·OB=OM，其方程为y=±0.6x±√(143/320)，其中斜率为±0.6又AD=(x+2,y)，因此可以得到：y/(x+3)=y/(x+2)移项可得：x=2y/(y-x)代入|AC|=2得到x^2+y^2=1，即为所求点D的轨迹E的方程。(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(x+2)。设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/(a^2-4)=1(a^2>4)。因为直线l与圆x^2+y^2=1相切，因此有(a^2-4)x^2+4a^2k^2x+4a^2k^2-a^4+4a^2=0。又k^2=13/34，代入整理得(a^2-3)x^2+a^2x-a^4+4a^2=0。设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则有x1+x2=-2/(a-3)。由题意有2a^2/(4x^2+y^2)=2，求得a=8。经检验，此时Δ>0。因此所求的椭圆方程为x^2/64+y^2/36=1。(1)设椭圆的焦距为2c(c>0)，焦点F(c,0)，直线l：x-y=0，F到l的距离为2，解得c=2。又k^2=1/3，代入方程2a^2/(a^2-4)=1，求得a=22，b=2。因此椭圆C的方程为x^2/484+y^2/4=1。(2)由x^2=2y得x^2=8-2y^2，代入直线AB的方程y=k(x-1)+1中得到k=-(y+1)/(x-1)。对y=2x求导得y'=2，因此切线PA的方程为y=x1(x-x1)+2，切线PB的方程为y=x2(x-x2)+4。将两式联立得点P的坐标为(x1+x2)/2,(x1x2-2)/(x1+x2)。易得当直线$l$垂直于$x$轴时，不符合题意，故设直线$l$方程为$y=kx+b$。由直线$l$与圆$O$相切可得，$b^2=k^2+1$。将直线$y=kx+b$代入椭圆$C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$中，整理得$(1+3k^2)x^2+6kbx+3b^2-3=0$。则$x_1+x_2=-\frac{6kb}{1+3k^2}$，$x_1x_2=\frac{3b^2-3}{1+3k^2}$。由此可得$OA\cdotOB=x_1x_2+y_1y_2=(1+k^2)x_1x_2+kb(x_1+x_2)+b^2=(1+k^2)\frac{3b^2-3}{1+3k^2}-\frac{6kb}{1+3k^2}+b^2=\frac{2k^2b^2-3k^2-3}{2(4b^2-3k^2)}$。由此得到$k^2=1$，$b^2=2$，故存在直线$l$，其方程为$y=\pmx\pm\sqrt{2}$。(1)由题意知$c=3$，$4a=8$，$\thereforea=2$，$b=1$，椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+y^2=1$。(2)当直线$l$的斜率存在时，设