地图学第二章地图的数学基础课件

地图学概论曾永年测绘与国土信息工程系(二)地图是以公式化、符号化、抽象化来反映客观世界的模型第二章地图的数学基础1.地球体

1.1地球上的三个面

1.2坐标系

1.3比例尺

2.地图投影概述

2.1地图投影的概念

2.2地图投影方法

2.3地图投影变形

2.4地图投影分类

3.常用地图投影

3.1方位投影及其应用

3.2圆柱投影及其应用

3.3圆锥投影及其应用

3.4伪投影及其应用3.地图投影的应用

3.1地图投影的选择

3.2我国基本比例尺地图投影

1.1地球上的三个面1.2坐标系1.3比例尺1.地球体1.1地球上的三个面天圆地方——

地圆说——

地扁说——

真实自然形体

通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量等精密测量，发现：

地球并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。

地球自然表面：

地球自然表面上分布：高山、峡谷丘陵、平原1.1地球上的三个面

地球体的自然表面——十分不规则的表面8,848.13m——8844.43m珠穆朗玛峰11,034m玛利亚那海沟70%海洋、30%陆地25.4cmindiameter,Mt.Everestwouldbea0.176mmbumpintheball,Marianatrencha0.218mmscratchintheball,

地球体的自然表面——十分不规则的表面由于地球的自然表面凸凹不平，形态极为复杂，显然不能作为测量与制图的基准面。应该寻求一种与地球自然表面非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的曲面。

该几何体必须满足两个条件:

形状接近地球自然形体；可以用简单的数学公式表示。

地球体的物理表面——大地水准面

水准面：自由静止的水面

处处与铅垂线相垂直；

有无数多个；特性：地心离心力地心引力重力G

假想将静止的平均海水面延伸到大陆内部，形成一个连续不断的，与地球比较接近的形体，其表面称为大地水准面。

它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面

地球体的物理表面——大地水准面大地水准面

陆地大地水准面海洋1.地球形体的一级逼近：

对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。2.起伏波动在制图学中可忽略：

对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图中，均把地球当作正球体。3.重力等位面：

可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。

大地水准面的意义大地体由大地水准面包围的形体——大地体。最能代表地球的形状

地球椭球体面

地球体的数学表面—

大地水准面仍然不是一个规则的曲面。因为重力线方向并非恒指向地心，导致处处与重力线方向正交的大地水准面也不是一个规则的曲面。大地水准面实际上是一个起伏不平的重力等位面。

大地体特点：形状不规则形状接近于绕短轴旋转而成的椭球体大地水准面旋转椭球面旋转椭球体（地球椭球体）——地球的数学表面——对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面

地球椭球体三要素：

长轴a（赤道半径）

短轴b（极半径）椭球扁率：f＝（a－b）/aZYX

数学模型：

对地球形状a，b，f

测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。

通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点垂直的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近。地球椭球体定位——对地球形体的三级逼近。大地水准面参考椭球面P'

中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体；

1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台）；自1980年开始采用IUGG1975（国际大地测量与地球物理学联合会1975推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为大地坐标的起算点。陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点——大地原点。大地原点自然地球自然表面大地体旋转椭球体大地水准面旋转椭球面1.2坐标系大地坐标：

高程（H)经度l

：指参考椭球面上过某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。纬度：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。我国大地坐标系：1954年北京坐标系1980西安坐标系我国高程坐标系：1956年黄海高程系1985国家高程基准

我国坐标系：中国高程起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》其比《黄海平均海水面上升29毫米。

1.3比例尺地图比例尺的含义

当制图区域比较小、景物缩小的比率也比较小时：图上长度与相应地面之间的长度比例。当制图区域相当大、景物缩小的比率也相当大时：对地球半径缩小的比率，为主比例尺。在地图上体现为个别的点或线。因此，用图者不可随意量算。图上也不可绘制直线比例尺。2)地图比例尺的表示

数字比例尺：1:1万、1:25万文字比例尺：万分之一图解比例尺：直线比例尺斜分比例尺复式比例尺直线比例尺：

以直线线段形式标明图上线段长度对所对应的地面距离。斜分比例尺：

微分比例尺，根据相似三角形原理制成。可以量取比例尺基本长度单位的百分之一。

复式比例尺：投影比例尺，小比例尺地图上使用。根据地图主比例尺和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。通常是对每一条纬线单独设计一个直线比例尺，再组合起来。2.1地图投影的概念2.2地图投影方法2.3地图投影变形2.4地图投影分类2.地图投影概述2.1地图投影的概念地图投影不可展曲面平面地图投影

可见,地球椭球面是不可展开的面，不采用一定的方法而直接展为平面时，都会产生褶皱,拉伸或断裂等无规律变形，这种不完整的平面无法绘制科学、准确的地图。因此，解决：球面与平面之间的矛盾——将地球椭球面上的点转换成平面上的点。

地图投影：就是按照一定的数学法则，将椭球面上的地理事物转换到平面上理论与方法。地图投影2.2地图投影方法几何透视投影：按几何透视的法则将球面上的点投影到一定的几何面上。数学解析投影：地图投影变换：(x,y)(x’,y’)2.3地图投影变形

地图投影的任务：

研究和建立球面上点与平面上点一一对应的函数关系：研究地图投影变形：变形的大小；变形的性质；变形的分布规律；

投影变形的概念

地图投影不能保持球面与平面之间在长度（距离）、角度（形状）、面积等方面完全不变。由地图投影造成的变形——投影变形。地球仪上经纬线网格和地图上比较:地图投影变形表现：长度、面积、角度三个方面；地图投影变形规律：变形值是一变量变；不同投影其投影变形值不同；同种投影不同位置投影变形值不同；变形椭圆：变形椭圆：

变形椭圆

取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。为经线长度比为纬线长度比代入：X2+Y2=1，得微小圆→变形椭圆

该方程证明:地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。主方向（底索定律）：无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍然保持其正交关系。在投影后仍保持正交的一对线的方向成为主方向。取主方向为作为微分椭圆的坐标据阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b

长轴方向（极大值）a

短轴方向（极小值）b经线方向m

；纬线方向n主方向特殊方向结论：微分圆长、短半轴的大小，等于该点主方向的长度比。也就是说，如果一点上主方向的长度比（极值长度比）已经确定，则微分圆的大小和形状即可确定。投影变形的性质和大小长度比和长度变形：

投影面上一微小线段和球面上相应微小线段（已按规定的比例缩小）之比。

长度比m

：长度变形Vm:

长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。=0不变>0变大<0变小

面积比和面积变形：

投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。

面积比P

面积变形Vp

=0不变>0变大<0变小P=a·b=m

·

n(=90)（主方向和经向纬向一致）P=m

·

n

·sin(

≠90)（阿波隆尼定理）面积比是变量，随位置的不同而变化。

角度变形：

投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。

最大角度变形可用极值长度比a,b表示实用上常以下公式求得：长度变形：面积变形：角度变形：长度变形是各种变形的基础！2.4地图投影分类

按地图投影的内在条件——变形性质

等角投影：

等积投影：

任意投影：

投影面上的角度与球面上相应角度相等。角度变形为零；用途：要求角度相等的地图,

航海地图、洋流图、风向图等；特点：面积变形较大以牺牲面积保证角度的相等；

按地图投影的内在条件——变形性质

等角投影：

等积投影：

投影面上的面积与球面相应面积相等。面积变形为零用途：要求面积相等的地图：自然地图、经济图；特点：角度变形较大——以牺牲角度保证面积的相等；任意投影：

既不等积也不等角的投影特点：各种变形都存在，变形值较小等距投影：要求沿某一主方向的长度变形为零。orRobinson’sProjection等角投影等距投影等积投影面积变形增大角度变形增大角度变形不大的任意投影面积变形不大的任意投影

按地图投影的外在条件——投影构成方法

几何投影

条件投影

几何投影：按一定的法则将球面上的点投影到一定的几何面上

方位投影圆柱投影圆锥投影

方位投影：以平面为投影面，将球面上的经纬网投影到平面上

种类：正轴横轴斜轴

经纬线形状：

圆柱投影：

种类：正轴横轴斜轴

圆锥投影：

种类：

条件投影：不借助于一定的投影面，而根据某种条件构成的投影

伪方位投影伪圆柱投影伪圆锥投影3.1方位投影及其应用3.2圆柱投影及其应用3.3圆锥投影及其应用3.4伪投影及其应用3.常用的地图投影3.1方位投影及其应用

方位投影的概念及一般公式方位投影变形公式方位投影的种类方位投影的变形规律方位投影的应用

以平面为投影面，将球面上的经纬网投影到平面上

种类：正轴横轴斜轴

经纬线形状：

方位投影的概念及一般公式

方位投影一般公式垂直圈

方位投影一般公式

方位投影变形公式QQ’ABCDZRdZA’B’ddC’D’d

透视方位投影

球心投影球面投影正射投影

方位投影种类

球心投影公式

球心投影变形——任意投影

球面投影公式

球面投影变形——等角投影

正射投影公式

正射投影变形——任意投影正射方位投影斜轴方位投影横轴方位投影

方位投影变形规律：

等变形线是以投影中心为圆心的同心圆；变形增大的方向沿同心圆的半径方向；正轴横轴斜轴斜轴等距方位投影斜轴等积方位投影

方位投影应用范围：

制图区域——圆形或近似于圆形地理位置——

正轴：两极地区横轴：赤道地区斜轴：其他地区AzimuthalEquidistant3.2圆柱投影及其应用

圆柱投影的概念及一般公式圆柱投影变形公式圆柱投影的种类圆柱投影的变形规律与应用

以圆柱面为投影面，将球面上的经纬网投影到圆柱面上，然后将圆柱面沿某一母线展开而成。

种类：正轴横轴斜轴

圆柱投影的概念及一般公式

圆柱投影一般公式

圆柱投影变形公式

圆柱投影的种类等角圆柱投影——墨卡托投影

条件：m=n

投影公式：应用：航海地图

圆柱投影的变形规律与应用

变形规律：等变形线与纬线一致——平行直线变形增大的方向和经线一致

应用范围：东西方向延伸的制图区域赤道附近及赤道两侧分布的区域等积圆柱投影墨卡托投影：正轴等角切圆柱投影编制世界时区图3.3圆锥投影及其应用

圆锥投影的概念及一般公式圆锥投影变形公式圆锥投影的变形规律与应用以圆锥面为投影面，将球面上的经纬网投影到圆锥面上，然后将圆锥面沿某一母线展开而成。

种类：

圆锥投影的概念及一般公式

圆锥投影一般公式

圆锥投影变形公式圆锥投影的变形规律与应用

变形规律：等变形线与纬线一致——一组同心圆弧；变形增大的方向和经线一致；

应用范围：东西方向延伸的制图区域中纬度区域Lambert’sConformalConicProjectionAlbers’Equal-areaConicProjectionSimpleConicProjection

伪方位投影伪圆柱投影伪圆锥投影3.4伪投影及其应用

伪方位投影：在正轴方位投影的基础上，纬线仍投影为同心圆，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。且交于纬线的共同圆心。特点：

可设计等变形线与制图区域轮廓近似一致。如：椭圆形、卵形、三角形、三叶玫瑰形和方形等规则几何图形。全国疆域全图的经纬网略图及角度等变形线伪圆柱投影：

在正轴圆柱投影基础上，规定纬线仍为平行线，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

以等面积投影较多桑逊投影：（Sanson-Flamsteed)等面积中央经线和纬线无长度变形纬线越高之处变形越大适合沿赤道和沿中央经线伸展方向的地区摩尔维特（Mollweide）投影等面积伪圆柱投影，常用于编制小比例尺世界地图伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，规定纬线仍为同心圆弧，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。彭纳等面积伪圆锥投影：图彭纳投影04-2360708014013012011010090504030205040302010514030151020304016051020304050151020300807060607080多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。PolyconicProjectionCondensingGoode’sHomolosineProjectionRobinson’sProjection“TheRobinsonprojectionisneitherconformalnorequal-areabutacompromisebetweenthetwo”.4.1地图投影的选择4.2我国基本比例尺地形图投影4