2022年高三数学下半期网上在线做题

选择题

已知集合月={135},B=<1,2.3},c={2,3,4,5},则(dea*()

A.0.2,3,5}B.{1.2.3.4}C.Q345}D.0.2.3,4,5)

【答案】D

【解析】

根据集合的基本运算即可求解.

解：：，={135},5={1.2.3),-5),

则(dc3)uC={L3}u{2.345}={12345}

故选：D.

选择题

1-i

已知复数厂二73为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）

A.15'5JB.15'5JC.l515jD.l5,5j

【答案】A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得二的坐标得出答案.

1-Z_(l-i)(2+D=31_.

解：'~"(2-0(2+0~5-5，,

(In

二二在复平面内对应的点的坐标是15,5上

故选：A.

选择题

已知向量。=(2,7),6=(匕3),且2与1的夹角为135,，则1t=()

A.-9B.lC.-9或1D.-]或9

【答案】C

【解析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求k的值.

.ab2k-\l-Jl

cos135=­-----=,_--------=-------

解：由题后、可得0|b|J4+16dk，+92,

求得k=-9,或k=],

故选：C.

选择题

已知双曲线c力＞°）的一条渐近线的倾斜角为e,且

杆或

C05,则该双曲线的离心率为（）

「更

A.V5B.2C.2D.4

【答案】A

【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即。上的关系，求出双曲线的离心

率.

解：设双曲线的半个焦距为一由题意。©。幻

道275—

又3丁，则加百一，,『，所以离心率

e=-=Jl+|—|=若

aV'•Q）,

故选：A.

选择题

为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六

大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测

验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是

()

教学油农

理现蛔象

A.乙的数据分析素养优于甲

B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养

C.甲的六大素养整体水平优于乙

D.甲的六大素养中数据分析最差

【答案】C

【解析】

根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.

根据雷达图得到如下数据：

数学抽象

逻辑推理

数学建模

直观想象

数学运算

数据分析

甲

4

5

4

5

4

5

乙

3

4

3

3

5

4

由数据可知选C.

选择题

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

俯栈用

16"432i+816乃+8

A.-3~B.16^+4C.-3~D.-T~

【答案】A

【解析】

首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积.

解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为下面为一个半

球，上面为一个直三棱锥体构成的组合体.

如图所示：

下面的球的半径为2,直三棱锥的底面为腰长为2的等腰直角三角形,

高为2,

1411…、16兀+4

，rz=-x-x^rx25+-x-x2x2x2=------

故+23323.

故选：A.

选择题

若函数/（X）=炉-加必+2.v（we⑷在*=1处有极值，则/（A）在区间［0.2］上

的最大值为（）

14

A.27B.2C.1D.3

【答案】B

【解析】

根据极值点处的导数为零先求出川的值，然后再按照求函数在连续的

闭区间上最值的求法计算即可.

.=5

解：由已知得/(丫)=3/-2%+2,二，(1)=3-2刑+2=0,--5,经检

验满足题意.

.,./(x)=r3--|x2-F2x

/'(r)=3必-5x+2.

由/'(X)<0得3<Y<1;由/⑶>0得X<,或x>】.

>1r->

二1

所以函数3)在「o-3」上递增，在|_3.」上递减，在口.2］上递增.

则“x)3=f［j卜方，%)=2,

由于"2)>/(X)松桢，所以〃为)在区间［0.2］上的最大值为2.

故选：B.

选择题

将函数/(X)=2$in(3x+0)(0<*<”)图象向右平移*个单位长度后，得到

_£_££

函数的图象关于直线'=5'对称，则函数/W在[88」上的值域是()

A.[-1.2]B.L后2]C.L2」D.I-72.2]

【答案】D

【解析】

由题意利用函数J=的图象变换规律，三角函数的图象的对

称性，余弦函数的值域，求得结果.

万

解：把函数〃x)=2sm(3x+e)(0<8<的图象向右平移9个单位长度后,

2sni31---------r&)

可得JI8J的图象;

再根据得到函数的图象关于直线*=9对称,

、乃3丁,it

.3x--——+0=尢?r+—

382keZ,

故/。)=叫―-£”"」],即/⑸的值域是卜万⑵,

故选：D.

选择题

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，

哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的

和，例如：4=2+2,6=3+3,8=3+5,那么在不超过18的素数中随

机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（）

j_j_2.

A.21B.21C.15D.15

【答案】B

【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果,

然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.

解：不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个，从中随机

选取两个不同的数共有C=21,

其和等于16的结果Q13）,（5.11）共2种等可能的结果，

2

故概率尸=主

故选：B.

选择题

甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙

年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是

真话，则年纪最大的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】C

【解析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个

说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.

①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，

而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话,

年纪最大的不是甲；

②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，

丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的

也不是乙；

③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，

丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最

大的也不是乙；

④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说

的是真话,那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，

说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年

纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.

综上所述，年纪最大的是丙

故选：C.

选择题

已知三棱锥的体积为2,是边长为2的等边三角形，且

三棱锥。-月3c的外接球的球心。恰好是CD中点，则球。的表面积为

()

52*40725不

A.丁B.丁C.~TD.24JT

【答案】A

【解析】

根据。是。。中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，

即可用勾股定理求解.

解：设Z)点到平面.西。的距离为〃，因为。是CQ中点，

h

所以。到平面.sc的距离为3，

二棱锥£>-48c的体积3•32，解得

h=2'Ji,

，—2后

作。。1平面.西。，垂足。为A/LBC的外心，所以“*=亍，且

OO=—=y/S

2，

所以曲4。。中，。叫,此为球的半径，

故选：A.

D

C

选择题

已知函数"x）=MNx-21nx）g>0）,〃=17］若所有点（$j⑺），（5/eO）

所构成的平面区域面积为e：l,贝〜=（）

1e

A.eB.c—2C.lD.9—2

【答案】D

【解析】

依题意，可得/3>o,3）在［h］上单调递增,于是可得〃不）在GW

1T=/T,解之即

上的值域为,（e+2）"a］,继而可得"‘一5’

可.

（,2、0（。4-2）「11

解：""）"四;二尸、，因为一，

a>0，

所以八、）>0,/⑴在［，,］上单调递增，

因为所有点GJS）（印e0所构成的平面区域面积为

所以“AT）

e

解得0-2,

故选：D.

填空题

若、1ng-202。叱g,则8tM

【答案】

【解析】

直接利用诱导公式和三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果.

&刀suit672020a)=-匚L［、［4ina=—

解：5，所以5,

.cos2a=1-2sin*a=1-2f-l=-

故\5)25.

23

故答案为：25.

填空题

x-；(x+2/的展开式中的常数项为.

【答案】160

【解析】

先求(12)，的展开式中通项，令、的指数为3即可求解结论.

解：因为(12)，的展开式的通项公式为：C；C7/“；

令6-r=3,可得r=3;

丁(/2)，的展开式中的常数项为：PC=160.

故答案为：160.

填空题

已知F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为C上一点，M(-4,3),则

团PMF周长的最小值是.

【答案】5+旧

【解析】

国PMF的周长最小，即求|PM|十|P尸|最小，过P做抛物线准线的垂线，

垂足为。，转化为求d”|+|P0|最小，数形结合即可求解.

如图，F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为C上一点，M(-4,3),

抛物线C：x2=8y的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2.

过尸作准线的垂线，垂足为0,则有|P产|=|尸。|

|PA/|+|?F|=|PM\+|尸。闫1=5,

当且仅当M/.Q三点共线时，等号成立，

所以即MF的周长最小值为5+J(7)、G-2>=5+历.

故答案为：5+J7.

填空题

在中，角从旦C的对边分别为c.b.c,且2bcosB=acosC+ccosH,

若AABC外接圆的半径为一丁，则△ABC面积的最大值是.

【答案】拒

【解析】

由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围

86(0”)可求8的值，利用正弦定理可求方的值，进而根据余弦定理,

基本不等式可求成的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

解：26cosB=acosC+ccosA>

由正弦定理可得：=sindcosC+$inCco$J=&m(X+C),

；/+8+C?=/r,

sin(J+C)=smB,

1n

又二8毛(0㈤，sin5*0?.'.2COSJB=1?即2,可得：3,

2再

•••A.ABC外接圆的半径为~T~,

:工e正

■-3

，解得b=2,由余弦定理b，=a，+c，-2accosB，可得

a2+c2-ac=4>又+，

4=^'+c:-ac^lac-ac=ac(当且仅当a=c时取等号)，即ac最大值为

4,

：MABC面积的最大值为丁4S"'“=百.

故答案为：VI.

解答题

_7

已知公比为正数的等比数列的前”项和为其，且q=2,'=£

(1)求数列的通项公式；

⑶-IX

(2)设3—2—，求数列间的前八项和乙

【答案】⑴…出⑵端「

【解析】

（1）判断公比，不为1,运用等比数列的求和公式，解方程可得公比

q,进而得到所求通项公式；

（2）求得"2［一'（2），运用数列的错位相减法求和,

以及等比数列的求和公式，计算可得所求和.

解：（1）设公比4为正数的等比数列的前”项和为学,且弓=2,

可得。=1时，*=孙=6.，不成立；

_2（1-95）_7,7

当"】时，下丁=5,即,+"1=鼠

_13

解得好』（一亍舍去），

优=包产=（2…愕1

=］+2口（.（£）

l~2,

化简可得

解答题

为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文

科生与理科生人数之比为14,且成绩分布在［0.60］的范围内，规定分

数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文"，按文理科用分层抽

样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图,

如图所示.其中she构成以2为公比的等比数列.

102<»3040506<>氤纯R

（1）求ab.c的值；

（2）填写下面2x2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况

下认为“获得优秀作文”与"学生的文理科"有关？

文科生

理科生

合计

获奖

6

不获奖

合计

400

（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意

抽取2名学生，记"获得优秀作文”的学生人数为X，求丫的分布列及

数学期望.

-朦比）,

附：（a+0）（，4d）m+c）@+d）,其中〃=q+b+c+d.

P体训

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

【答案】(1)a=0005,b=001,c=002.(2)填表见解析；在犯错

误的概率不超过0.01的情况下，不能认为"获得优秀作文”与“学生的

文理科"有关(3)详见解析

【解析】

(1)根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列，即可

得解；

(2)由频率分步直方图算出相应的频数即可填写2x2列联表，再用K

的计算公式运算即可；

w_1x-B'2

(3)获奖的概率为40。-20,随机变量「'20,!,再根据二项分布

即可求出其分布列与期望.

解：(1)由频率分布直方图可知，

10x(a+&+c)=1-10x(0018+00224-0025)=035,

因为6b.e构成以2为公比的等比数列，所以042。+4口=0035,解得

a=0005,

所以b=2o=001,c=4a-002.

故4=0005,b=001,c=002.

(2)获奖的人数为0005x10x400=20人,

因为参考的文科生与理科生人数之比为14,所以400人中文科生的

数量为40°X§=80,理科生的数量为如0_go_320.

由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有20-6=14人,

不获奖的文科生有80-6=74人.

于是可以得到2“2列联表如下：

文科生

理科生

合计

获奖

6

14

20

不获奖

74

306

380

合计

80

320

400

400x(6x506-14x74)J,

A-=----------------------------—«132<6635

20x380x80x320

所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为"获得优秀作文”

与“学生的文理科〃有关.

20_1

(3)由(2)可知，获奖的概率为赤=方,

X的可能取值为0,1,2,

分布列如下：

X

0

1

2

P

361

400

19

200

1

400

…、3611911

蝌T*甘目用*E(X)=OAx+1x2x=一

数学期望为40020040010.

解答题

如图，在四棱锥产78CQ中，底面.ISCQ为菱形，2」底面.1SCD,

/.BAD=60*AB=4-

（1）求证：8Q_L平面上4C7;

（2）若直线PC与平面,4CD所成的角为30’,求平面尸*3与平面尸CD

所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）7

【解析】

(1)由底面•业CD为菱形，^BDLAC,再由A4_L底面，"UD,可得

PA1BD,结合线面垂直的判定可得平面H4C1;

(2)以点H为坐标原点，以."所在直线及过点/且垂直于平面

PAD的直线分别为*二F轴建立空间直角坐标系,分别求出平面

力协与平面户8的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面

P.43与平面产。)所成锐二面角的余弦值.

(1)证明：•底面.MCQ为菱形，BD1AC,

•••尸＜1底面4ffs，月。u平面dffCD,.PA1BD

又ACcPA=A,，2/工U平面以C,

8DJ.平面P.4C;

(2)解：vAB=AD^^D=60',二“m为等边三角形，

r.AC=_4D.sin6CT•2=4x正x2=4百

2.

PA1底面,"CQ,：.^PCA是直线尸。与平面,18675所成的角为30',

tan乙PCA=-==—

在中，由4C初3,解得月7.

如图，以点X为坐标原点，以eX在所在直线及过点.4且垂直于平面

PAD的直线分别为x二卜轴

建立空间直角坐标系乂-邛。

则P(0O4),.4(000),8(2.2"。,D(4,0,0),0(6,2710).

二方=(0.Q,-4),而=(2,2出.一4),而=(44-4),丽=(6.25.一4).

设平面PAB与平面尸。。的一个法向量分别为a=(x」，G,”=(•%»；】).

［>itPA=-4==0

由［天PB=2x+2^3y-4-=0,取了=-1,得晟=(QT.O)；

fn-PC=6x1+2TA.ij-4二1=0

由匕-而=4丹-4二］=0,取(=-1,得［=(❷・L6).

--;»n］币

cos<m.n>=-=s——=-----

|m|mi7.

平面产凡8与平面尸CQ所成锐二面角的余弦值为7.

解答题

已知椭圆'.十*@小①的上顶点为8，圆CZ+.F=4与J轴的

3L.

正半轴交于点/,与C有且仅有两个交点且都在C轴上，|Qd|2(。

为坐标原点).

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知点'-1封，不过。点且斜率为一5的直线，与椭圆C交于

，以N两点，证明：直线0时与直线AW的斜率互为相反数.

X"丁

【答案】(1)T=1(2)证明见解析

【解析】

(1)根据条件可得4=2,进而得到6=将，即可得到椭圆方程；

11

•V——2丁+〃？

(

]F

(2)设直线MV的方程为I-?'"",联立工+=为，分别表示出

直线D时和直线。.V斜率，相加利用根与系数关系即可得到.

解：(工)丫圆C:/+/=4与C有且仅有两个交点且都在x轴上，所以

32

..II=班_bxL,v

又,1。山一7,一厂三，解得b=右，故椭圆c的方程为丁一H；

V=-X+冽

•2

1X2V2

（2）设直线MV的方程为尸联立1丁+==1,整理可得

4x2-4"L*+47"：-12=0,

2:

则△=（-4W）-4X4（4OT-12）=48（4-W-）>0>解得一2<,„<2,

设点N（%J4）,

2

则Xj+x2=m,xyx2=w-3,

所以M3

xjl方］+1

+（rn-2）（七十工J+2m一33-w24-m2-2m+2加一3.

’C）区；）----7----c----:----=0

（Xj+l）（x2+l）

故直线D.M与直线QN的斜率互为相反数.

解答题

已知函数"')=7二I.

(1)求函数/⑸的单调区间;

ln(x+1)

(2)若x>0,证明一T

【答案】(1)单调递减区间为(-00),9+8),无单调递增区间(2)

证明见解析

【解析】

(1)求导，根据导数的正负判断单调性，

ln(x+】)、”、ln(x+l)出(。-1+1)“、ln(.v4-l)

(2)整理^>"'),化简为,令"㈤=—

求,心)的单调性，以及即证.

解：(1)函数八')一11定义域为(F、0)U(0.+8),

贝(1\e,令g(x)=e"(l-x)-1,(X*0),贝ljg(x)=re',

当x>0,g'(x)<0,g(x)单调递减；当x<0,g与D>0,g(x)单调递增；

故g(x)<g(0)=0，XHO，

f(^')<0,x=0,

故函数/⑴的单调递减区间为(-8.0),(0.y)，无单调递增区间.

(2)证明一^>八戈)，即为一R，

rL储T+l)

因为/-i-/-I--

ln(x+l)皿9-1+1)

即证一T—>『7,

如(x+1)——一ln(r+1)

令山)则34三一

X

X/、11X

令g(M77r皿⑺)，贝严止--77r-17TF,

当x>0时，gr(x)<0,所以g(x)在(0.+8)上单调递减，

则g(x)<g(0)=0,XHO,

则/⑸<0在(0.M)上恒成立，

所以/i(x)在(0.+8)上单调递减，

所以要证原不等式成立，只需证当x>0时，x</-1,

令力(x)=e'-丫-1,*>0,???(.r)=/-l,可知何<x)>0对于x>0恒成立,

g[Jm(x)>zn(O)=0,即

ln(x+l)ln(e'-l+l)

故心)<4/7),即证丁—>一―一,

故原不等式得证.

解答题

五二一1一3，

已知