2023届高考数学专项练习解三角形与三角函数题型综合训练解析版

小咫届高考教学专顼练福---------

斛三角形与三角善数题型徐合制株

一、梳理必备知识

1.正弦定理

QbC

2足（其中R为A4BC外接圆的半径）

sinAsinBsinC

oa=2RsinA,b=27?sinB,c=2RsinC;(边化角)

=sinA=号，sinB=会,sinC=品;(角化边)

Z/tZ2X

2.余弦定理:

cosA

26c'a2=b2+c2—2bccosA,

QCb*

'+2—222

<cosB2ac，b=a+c—2accosB,

02+/一(？c2=a2-\-b2-2abcosC.

CQsC=2ab,

3•三角形面积公式：

S、ABC=-^-absinC=yfecsinX=yacsinB=y(a+b+c)r(r为三角形ABC的内切圆半径)

4.三角形内角和定理：

在中，有力+S+C=7c»C=7r-(?l+B)«y=y-"Bo2C=2兀-2(4+B).

5.二倍角的正弦、余弦、正切公式

①sin2a=2sinacosa

②cos2a=cos%—sin%=2cos2a-1=1—2sin%

1+cos2a=2cos2a

升累公式:

1—cos2a=2sin%

cos2a=-1-(1+cos2a)

降鼎公式:

sin2a=~(1—cos2a)

(3)tan2a2tana

1—tan%

6.

asinx±bcosx=Va2+62sin(x±(p),(其中tanp=­)；

辅助角公式

求/(⑼=Asin(cox+R)+B解析式

AB求法

方法一:代数法＜方法二:读图法B表示平衡位置M表

示振幅

❖

3求法方法一：图中读出周期T,利用7=生求解；

3

方法二:若无法读出周期,使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取

舍答案.

0求法方法一:将最高（低）点代入/（⑼=Asin（＜w2：+（p）+8求解；

方法二:若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入/Q）=Asin[a）x+（p）+B

求解;但需注意根据具体题意取舍答案.

7.三角形中线问题

如图在ZL4BC中，。为CB的中点，2尼=而+荏，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常

用）

8.角平分线

如图，在AABC中，4D平分乙民4C,角所对的边分别为a,b,c

①等面积法

SA的=SA®+SA®=^ABxA。xsinX=^-ABxADxsin等+^-ACxADxsin。（常用）

②内角平分线定理：

AB_AC_^AB_BD_

~BD=~~DC^~^C~=~DC

③边与面积的比值：噜=SAABD

S^ADC

9.基本不等式（最值问题优先用基本不等式）

①疝《坐

②/+年2ab

10.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）

利用正弦定理a=2Rsin4,b=2RsinB,代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范

围，求面积或者周长的最值。

【常用结论】

①在AABC中，a>bosinA>sinBA>B；

②sin2A=sin2B,则Z=B或A+B=与

③在三角函数中，sinA>sinB<=>A>B不成立。但在三角形中，sinA>sinBoA>成立

二、三角函数与解三角形题型综合训练

1.(2023春•格建昔田•背田一中校考阶段练习)己知函数/⑺=Asin(Oc+⑸(4>0,s>0,同V引的

部分图象如图所示：

(1)求方程/(0=2的解集；

(2)求函数gQ)=f(x-金)7卜+金)的单调递增区间.

■8

2.（2023春•宁夏昊忠・青飙块市高级中学校考阶&练习）函数/Q）=Asin（ox+夕）（A,3,夕为常数，且

A>O,0>O,MV/）的部分图象如图所示.

（1）求函数/（乃的解析式及图中b的值；

⑵将/㈤的图象向左平移得个单位后得到函数U=gQ）的图象，求g（z）在［0号］上的单调减区间.

3.（2023春•湖北十餐•校联考阶段练习）己知函数/Q）=sins-V3cosx.

⑴若/w［o号］，且函数/⑺=1■，求cos照+/）的值；

（2）若将函数/（为图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的/，再将所得图像向左平移半个单

位长度，得到9（c）的图像，求函数9（功在上的最小值.

4.(2023春•浙江宁波•余姚中学校才阶段练习)已知函数/㈤nsimrcosc-J^cosZo；,将函数/Q)的图

象向左平移十个单位长度，可得到函数gQ)的图象.

(1)求函数gQ)的表达式及单调递增区间；

⑵当cC仁号］时,af(x)+g⑺>内亘—字(a+1)恒成立，求正数a的取值范围.

5.(2023春•安微流州•安徽看流州中学校考阶段练习)已知a,b,c为△4B。的内角A,B,。所对的边,

且c2=a2+b2—ab

(1)求角C

(2)若sinB<sinC"=4,D为的中点，J瓦，求△ABC的面积

6.(2023春•河北唐山•高三开津第-中学校考阶段练习)在斜AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,

b,c,sin2A-2V3sin2A=-24，AD平分ABAC交8。于点O,AD=1.

(1)求人的大小；

⑵若a=20，求△4BC的面积.

7.(江苏省苏修富慎四市2023居方三下学期3月费学情况调研(-)教学试题)在4ABC中，角力，B,。

所对的边分别为a,b,c,1+sin2A=(3tanB+2)cos2X.

(1)若。=争，求tanB的值；

(2)若4=8,c=2,求△ABC的面积.

8.(2023•天津和平•统考一模)已知△ABC的内角AB,。的对边分别为a,b,c,且(bcosC+ccosB)tanA

=—V3a.

(1)求A的大小：

(2)若a=J7,b=l,

⑴求△ABC的面积；

(访)求cos(2C—A).

9.(2022•河北衡水•统考二模)在△4BC中，角4,B,。所对的边分到为a,b,c,已知/-2bccosA=a?

—2accosB,c=2.

(1)证明：△ABC为等腰三角形；

⑵设AABC的面积为S,若,S的值.在①7cosB=2cosC；②刀•屈=2S；③/+〃=

8c2三个选项中,选择一个填入上面空白处,并求解.

•oe

10.（2022•全国•商三专题练习）在①sirMcosB+cosAsin6=②c=cos。是函数/（c）=2x2-\-x—1

的一个零点;③已知函数/（力）=sin+Y），且/（。）=1-从三个条件中任选一个，补充在下面的问

题中，并加以解答：

已知XABC的内角力，3,。所对的边分别是a,b,c,且NC为锐角.若，且c=2acosB,

试判断△ABC的形状.

11.（2022•全国•商三专题练习）随着我国房地产行业迅速发展和人们生活水平的不断提高,大家对住宅区

的园林绿化设计提出了更高更新的要求,设计制“人性化，生态化自然化”的园林式居住区，以提高

现代人的生活质量，成为当今住宅区园林绿化的设计准则.某小区有一片绿化用地，如图所示，区域四

周配植修剪整齐的本土植物，中间区域合理配植有层次感的高中低植物，BO为鹅卵石健康步道,

ADBC,4=冬AD=20m，AB=BC=16m.

♦5

（1）求鹅卵石健康步道BD的长（单位：m）；

（2）求绿化用地总面积（单位：

12.（2022•高三课时练习）如图，在圆内接四边形ABCD中，=120°,=2,4。=，△ABC的面

积为血.D

⑴求AC；

⑵求ZACD.

13.（2023•全国•航三专题练习）如图，在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,dc,已知a=4,c=

V3,B=30J

⑴求b的值；

（2）求sin。的值;

⑶若D为边BC上一点，且cos/力。。=一卷，求口。的长.

O

14.(2022•高三课时练习)如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形入及RE的观光步行道，BE为电

瓶车专用道，NBCD=NBAE=4CDE=120°,DE=Ukm,BC=CD=5km.

(1)求跳;的长；

⑵若smAABE=黑］,求五边形ABCDE的周长.

15.(2023•全国•模拟fl测)已知锐角三角形ABC的内角AB,。的对边分别为a,b,c,且(c-b)sinC=

(acosC—6)sinB+acosBsinC.

(1)求角A;

(2)若H为A4BC的垂心，a=2,求面积的最大值.

•oe

16.(2022•安徽黄山•统考一模)如图，已知2ABC外接圆的圆心。为坐标原点，且O在4ABe内部,

(2)求△ABC面积的最大值.

17.(2023・高三那时练习)在ZVIBC中，内角4,B,。所对的边分别为a,b,c、满足a2+c2=b2-ac.

(1)求角B的大小；

(2)若b=2♦，求△ABC的面积的最大值.

18.(2023春•河北邢台•高三邢台市第二中学校考阶及练习)在四边形ABCD中，四点共圆,

AB=5,BC=3,cos^ABC=-^r.

5

(1)若sinZACD=至工,求AD的长；

(2)求四边形ABCD周长的最大值.

19.(2022春•广东潮州•优平县第二中学校考阶段练习)在锐角A4BC中，已知asinB=V3bcosA.

(1)求角4;

(2)若a=2,求△ABC周长的取值范围.

20.(2022秋•广东•高三级考阶■&练习)在①沆=(2a—c,5),n=(cosC.cosB),m4；②bsinA=

acos(B-^)；③(a+6)(a—6)=(a—c)c三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问

题.在△48。中，内角4,的对边分别是a,b,c,且满足.注：如果选择多个条件分别解

答,按第一个解答计分.

⑴求NB；

(2)若b=2,求△ABC周长的取值范围.

21.(2022春•安徽逑南•淮南市第五中学校考阶段练习)已知在△ABC中，B=45"C=，IU,cosC=咯.

5

(1)求BC边的长；

(2)求边上的中线的长.

22.(2020机安徽•商三校联考阶段练习)在AABC中，4B=瓜AC,AD为边BC上的中线，记NCAD=

2ZBAD=2a.

(1)求证：△ABC为直角三角形；

(2)若AD=1,延长BC到点E,使得/£；=巧无,求△ARE的面积.

23.(2023♦全国♦需三专题练习)已知在/XABC+,b3=a2b+6c2-ac2,C=等.

J

(i)求a的大小；

(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使△48。存在且唯一确定,并求出BC边上的中线的长度.

①AABC周长为2+V3；②Q=1；③4ABC面积为;④c=

4

24.(2023春•湖南树厢•衡苒市八中校背阶&球习)在&4BC中，内角A,3。的对边分别为a,4c,c=2b,

2sinA=3sin2C.

(1)求cos。；

(2)若△ABC的面积为等，求边上的中线CD的长.

25.(2022•浙江*三专题练习)已知函数/Q)=-ycos4x—sinxcosx—《sin%.

(1)求/Q)的最小正周期及单调减区间；

(2)在△ABC中，4,B,。所对的边分别为a,b,c,若/(等)=一乌，BC边上的中线40=2，求/

+。2的最大值.

26.(2023春•广东广州•高三统才阶段练习)在△AB。中，角力、B、C所对的边分别为a、b、c,已知4、B、

。成等差数列，且sinC=3sinA.

(1)求cosC；

(2)若角B的角平分线交AC于点0,8。=2,求△ABC的面积.

27.(2023•全国•高三专题练习)在ZVIBC中，a,b,c分别是角4,B,。的对边，b=2瓜,sin2A+sin2C+

sinAsinC=sir/B,

(1)求角B的大小；

(2)若4。是DA4c的内角平分线,当ZVIBC面积最大时，求4D的长.

28.(2023春•陕西西安•西北工业大学附属中学校考阶&练习)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,

b,c,且.在

①tan力+tanC—瓜——V3tan?ltanC；

@2S^BC=-V3BA-W；

③bcos(5—C)=—V3ccosB.

这三个条件中任选一个填在横线上,补充完整上面的问题,并进行解答.

(1)求角B的大小；

(2)若角3的内角平分线交47于。，且BD=1,求a+4c的最小值.

29.(2023春•浙江•高三校联考阶段练习)在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并给出问题的解

答.

①V3csinA—acosC-2a=0；②cosA+(cosB+V5sinB)cosC=0；③工皿§—._，，—2a；

tanr>b

已知△48。的内角4,所对的边分别是a,b,c,D为AB边上的一点,.

(1)求角C;

(2)若CD为角平分线，且CD=1,求a+6最小值.

30.(2023春•辽宁沈苒•高三沈苒市第十一中学校联考阶段练习)已知△力BC的内角4B,。的对边分别

为a,b,c,满足

sinB+sinCbsinA+csinB

(1)求角C;

(2)CD是/4CB的角平分线，若CD=¥，A45C的面积为2遍,求c的值.

O

31.(2023春•广东M苒•高三校裂聿阶段练习)在△ABC中，角的对边分别为a,b,c,且

-1-sin2BcosC+cos2BsinC—sin^-cos^-=0.

⑴求B;

⑵若△ABC外接圆的半径为8，点。为AC边的中点，证明：

2

32.（2022秋•沏南长沙•商三卷礼中学校才阶及练习）在△力BC中，角A8,。的对边分别为a,b,c,若A

+C<2B.

⑴求证：看；

O

（2）X>tnGN\请你给出一个"的值，使不等式a"+T&2b”成立或不成立，并证明你的结论.

33.（2022春•江苏拉城•高三统考期末）在△AB。中，角力，B,。的对边分别为Q,b,C,已知。=2B.

（1）若sin8=4"，求sinA的值；

J

（2）若Q>c,求证：4V上■VZ（参考数据：A=2sin亲=代七。-618）

2c1U2

34.（直庆清北•底庆市松树桥中学校校考期末）在AABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且sinA

+sinC=2sinB.

（1）求证：cosB>；

（2）若A=2C,求cosA.

箫互鱼形易总窗备账题型徐含制诔

一、梳理必备知识

1.正弦定理

QbC

2足（其中R为A4BC外接圆的半径）

sinAsinBsinC

oa=2RsinA,b=27?sinB,c=2RsinC;(边化角)

=sinA=号，sinB=会,sinC=品;(角化边)

Z/tZ2X

2.余弦定理:

人+/—£

cosA

26ca2=b2+c2—2bccosA,

/+C-2

<cosBb2=a2+c2—2accosB,

2ac

c2=a2-\-b2-2abcosC.

CQsC=

2ab

3.三角形面积公式：

S、ABC=-^-absinC=yfecsinX=yacsinB=y(a+b+c)r(r为三角形ABC的内切圆半径)

4.三角形内角和定理：

在△力BO中，有力+S+C=7c»C=7r-(7l+B)«y=y-"BO2C=2兀-2(4+B).

5.二倍角的正弦、余弦、正切公式

①sin2a=2sinacosa

②cos2a=cos%—sin%=2cos2a-1=1—2sin%

1+cos2a=2cos2a

升累公式:

1—cos2a=2sin%

cos2a=-1-(1+cos2a)

降鼎公式:

sin2a=~(1—cos2a)

2tana

(3)tan2a

1—tan%

asinx±bcosx=Va2+62sin(x±(p),(其中tanp=­)；

辅助角公式

求/(⑼=Asin(cox+R)+B解析式

AB求法

方法一:代数法＜方法二:读图法B表示平衡位置M表

示振幅

❖

3求法方法一：图中读出周期T,利用7=生求解；

3

方法二:若无法读出周期,使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取

舍答案.

0求法方法一:将最高（低）点代入/（⑼=Asin（＜w2：+（p）+8求解；

方法二:若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入/Q）=Asin[a）x+（p）+B

求解;但需注意根据具体题意取舍答案.

7.三角形中线问题

如图在ZL4BC中，。为CB的中点，2尼=而+荏，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常

用）

8.角平分线

如图，在AABC中，4D平分乙民4C,角所对的边分别为a,b,c

①等面积法

SA的=SA®+SA®=^ABxA。xsinX=^-ABxADxsin等+^-ACxADxsin。（常用）

②内角平分线定理：

AB_AC_^AB_BD_

~BD=~~DC^~^C~=~DC

③边与面积的比值：噜=SAABD

S^ADC

9.基本不等式（最值问题优先用基本不等式）

①疝《坐

②/+年2ab

10.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）

利用正弦定理a=2Rsin4,b=2RsinB,代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范

围，求面积或者周长的最值。

【常用结论】

①在AABC中，a>bosinA>sinBA>B；

②sin2A=sin2B,则Z=B或A+B=与

③在三角函数中，sinA>sinB<=>A>B不成立。但在三角形中，sinA>sinBoA>成立

二、三角函数与解三角形题型综合训练

1.（2023春•格建昔田•背田一中校考阶段练习）己知函数/⑺=Asin（Oc+⑸（4>0,s>0,同V引的

部分图象如图所示：

（1）求方程/（0=2的解集；

（2）求函数gQ）=f（x-金）7卜+金）的单调递增区间.

【答案】⑴{/x=-^+kn,k€z}

（2）［麻一木■，麻+普］

【分析】⑴观察图象可得周期3,根据点（得，0）在函数图象上得知再根据点（0,1）在函数图象上得

4求得解析式，进而求出解集;

⑵首先将g⑸化简为g{x}=28111（2S一年），利用三角函数单调性可得答案.

【详解】（1）由图象可知，周期T=（普+条）=兀，=—=2,

v1212z7i

:点（需，o）在函数图象上，，4sin（2x需+0）=0,

sin（管+少）=0,

解得斗+。=兀+2忒，勺=2江+,kEZ,

66

V|0|<y,.,.0=y；

LtO

•・,点（0,1）在函数图象上，A^siny=1>4=2,

函数/（④）的解析式为/（4）=2sin⑵+聿），

由/Q）=2sin（2rc+专）=2得sin（2z+=1,

24+5=1+2麻#62,解得出=《+反次62,

626

所以解集为{/2=于+Zc7T,fcGz}.

（2）g（c）=f（x-盍）-f（x+卷）

由（1）知/（c）=2sin（2x+,

■8

由一+2兀k42x—+2欣,kEZ,得rck—占4147rfc+，

/J/JL/_L/

r.函数。3）=/（Z一/）一/（，+告）的单调递增区间为,兀一令■，麻+簧］,keZ.

2.（2023春•宁夏昊惠•■1■刎块市高级中学校考阶段练习）函数f⑸=Asin（皿+⑴（A,s,少为常数，且

A>0,3>0,的部分图象如图所示.

⑴求函数/Q）的解析式及图中b的值；

⑵将『（为的图象向左平移看个单位后得到函数y=g（c）的图象，求g（c）在［（）,和上的单调减区间.

【答案】⑴/㈤=2sin（2c+勺，1

\67

⑵［。4］

【分析】（1）由函数的最值可求出4=2,由图可知,T=普一（一看）=斗，再结合周期公式可求出3

4J.Z'D'4

=2,然后再（居,0）代入函数中可求出?，从而可求出函数解析式.

（2）由函数图象变换规律求出g（2）的解析式，再由2版42］《冗+2阮可求出函数的减区间.

【详解】⑴由题意知，4=2,*T=普一（一看）=苧，；.T="=生=2,当；r=誓时，

41Zvo74兀12

由101V争2><需+0=1兀,"WZ,・・.0=1,所以/3）=2sin（2%+1）.

所以b=/（O）=2siq=1.

⑵gQ）=2sin［2（①+皆）+专］=2cos2力,

由2尿&26〈兀+2既，人62,解得如:&/&$+卜兀，keZ.

因此，函数gQ）在［0,1］的单调递减区间为［O,1］.

3.（2023春•湖北十事•核雇考阶盘练习）已知函数/（乃=sinz—《cos/.

⑴若；rC［o号］,且函数/（c）■，求cos（与+7）的值；

（2）若将函数/Q）图像上的点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的版,再将所得图像向左平移皆个单

位长度,得到gQ）的图像，求函数gQ）在［0,］］上的最小值.

【答案】（1）一等

（2）g（x）min=-l

【分析】⑴化简/Q）并结合题意可得sin（/—片■）=},结合力的范围可求得cos（o;一看）=窄,然

后利用诱导公式可得COS（争+力）=-COS（力--y）,即可求解；

（2）先利用图象变换得到g（%）=2sin（22+,），然后利用三角函数的性质即可求得最小值

【详解】（1）由题意可得/⑸=sin/—，Jcosc=2sin（x—宁）=-1-,

得sin（苏一年）=卜,

由立C［。［］,得工一C［一1','1'］cos（/—y）—^/l—sin2（x--y）=2f

cos（-^+rr）=-COS［TT-+x）］=-cos（Y-x）=-cos（x-Y）

（2）将函数/Q）图像上的点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的£■，再将所得图像向左平移子个单位

长度，得到g（x）,g（x）=2sin［2（x+^）-y］=2sin（2c+y）,

因为e［o.］所以2*+］€［会禹'］，

所以当22+十=普时，即时，g（c）min=2X（-}）=-1

4.（2023春•浙江宁波•余姨中学校才阶段峰习）已知函数/（，）=sinccosa;—《cos?4,将函数/Q）的图

象向左平移十个单位长度，可得到函数gQ）的图象.

（1）求函数9（乃的表达式及单调递增区间；

⑵当①C仁号］时,时⑸+gQ）>内亘-字（a+1）恒成立,求正数a的取值范围.

【答案】⑴g（c）=sin（2c+1）—"^'J一号+"不木+加兀］（拈€Z）.

⑵（0,双

【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，然后平移变换得到函数g（z）的表达式，再利

用正弦函数的单调性得出结论即可；

⑵根据题意，将不等式进行等价转化为sin（27一年+6）>义■，然后利用正弦函数的图象和性质列出

不等式求得看《夕《^,再结合正切函数的图象和性质即可求解.

【详解】（1）由题意可知，/（工）—sinjrcosx—V3cos2x--ysin2x—^^-（COS2T+1）

=<sin2c-乎cos2c-4=sin⑵-与）一乎

。⑸=/卜+=sinbk+f）-f]-^=sin（2x+专）一号

由——+2k兀W2x+^+2k兀,kEZ得

g（x）的单调递增区间为[--y+k兀（+版]（kEZ）,

所以函数gQ）的表达式为g（£）=sin（2/+一冬,

O/

单调递增区间为[一年+4兀优+同（KWZ）.

（2）不等式叭c）+gQ）亘一卓（a+1）,可化为asin（2x-^-）+sin（2x+y）>,

4NJU4

可化为asin（2x-y）+sin[⑵-y）+y]>:空：,

可d匕为asin（2x-+cos（2⑦一日）>"：）+L,

可化为高宜"⑵-等）+焉8s⑵

令cos[=/°,sinJ一,由。>0,可得0〈夕〈二代&11夕=」-,

vG2+1A/Q^+I2。

上面的不等式可化为sin（2c—方~+。）

当[爷哥时啬《军,0&27一*W与2c—尚■+、与+/

L63J333333

0>R

{三+；v近可得仁■《

又由0V。V卷，有《《。〈强,可得tan<9=—^tan-^-,解得0VaA/3,

262a6

由上知，实数Q的取值范围为（0,—].

5.（2023春•安微漳州•安微盾渝州中学校考阶段练习）已知a,b,c为4ABC的内角A,B,C所对的边,

且c2=a2+b2—ab

(1)求角C

(2)若sinBVsinC,b=4,。为RC的中点，力。=方,求的面积

【答案】⑴。=看；

O

(2)673.

【分析】(1)根据余弦定理边角互化即可求解；

(2)根据余弦定理可求。。值，进而可求a,根据三角形面积公式即可求解.

【详解】(1)由题可得-。2=/，

由余弦定理得cosC=Q%c=±,

ZabZ

因为OVCVTT,

所以。=5；

(2)在三角形ADC中，Alf=AC^CLf-iAC-CDcosAACD,

即13=16+CD2-4Cr),

解得CD=1或CD=3,

即a=2或a=6,

因为sinBVsinC,所以由正弦定理可得bVc,故B〈C,

因为。=看，

O

所以A>OB,故a>c>b,

所以a=6,

所以S&ABC=-^-absmC=x6x4x=6V3.

6.(2023春•河北唐山•方三开深第一中学校考•阶段练习)在斜△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,

b,c,sin2A-2屈in?4=—2/，平分NR4c交BC于点。，=1.

(1)求4的大小；

⑵若a=2函，求△ABC的面积.

【答案】(1)4=冬；

O

⑵乎

【分析】⑴根据三角恒等变换结合条件可得tan4=一《，即得；

⑵由S4ABe=SMBD+S*CD利用三角形的面积公式可得be=c+b,由余弦定理条件可求得be的值，

再由三角形的面积公式即可求解.

【详解】(1)由sin2A—2，5sin%=-2V3,可得2sinAcosA=-2V3cos2A,

•oe

又/为斜丛ABC的内角，cosylW0,

所以tan4=-V3,

27r

又OV/V兀，所以A=—；

o

⑵因为4。平分ZBAC交BC于。，所以/BAD=NCAD=日，

由s4ABe=S^AD+S^CAD,可得Jbesin等'=Jc-ADsin看+3b,ADsin-^-,

NJNoZo

所以be=c+b,

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，即20=(b+c)2—be,

所以(bc)2-bc-20=0,即(be-5)(be+4)=0,

可得be=5(负值舍去),

所以S=(bcsinNjBAC=~^~bc=生

244

7.(江苏南苏得常续四市2023居高三下学期3月我孕情况调研(一)数孕试却在4ABe中，角A,B。

所对的边分别为a,b,c,1+sin24=(3tanB+2)cos24.

(1)若。=等，求tan8的值；

(2)若Z=B,c=2,求△ABC的面积.

【答案】⑴tanB=《

O

【分析】⑴根据三角恒等变换可得tan(7l+=2tanB+2,结合条件可得关于tanB的方程，进而

即得；

⑵根据条件可得tanA=冬，进而可得a=b=2§,然后根据三角形面积的公式即得.

JO

【详解】(1)若。=斗，则力+8=子，

44

因为1+sin2A=(3tanB+2)cos2A,cos2AW0,

2

(sinX+cosA)sin/l±CQS/1

所以ws*_tarM+1=tan(4+于)=3tanB+2,

cos2A—sin2AcosA—sin?41—taxiA

所以tan(B一=3tanB+2n―^—=r=3tanB+2,

tanB

解得tanB=J或一1,因为(°，宁)，

所以tanB=--;

o

(2)若？1=B，由tan(A+与)=3tanB+2,可得及2A±[=3tanA+2,

'4f1—tanA

整理可得tad/l=：,即tanA=±^^,

因为力=BC(O5)，所以12必4=毕，4=6=看,所以。=与，

所以△ABC是以。为顶角的等腰三角形，a=b=-=丝2,

2cos专，

6

所以△ABC的面积为S=《absin。=Jx2^xx卑=乎

8.(2023•天津和平•统考一模)已知A48C的内角ABC的对边分别为Q,b,c,且(bcosC+ccosB)tanA

=­V3a.

(1)求4的大小:

(2)若a=Y7,b=l,

⑴求△力8C的面积；

(w)求cos(2C—力).

【答案】(1)力=冬；

O

⑵⑴哈⑻甘

【分析】(1)利用正弦定理化边为角，结合两角和得正弦公式及三角形内角关系即可得出答案；

(2)利用余弦定理求得边。，根据三角形面积公式可得面积，再根据余弦定理可得cos。,再利用二倍角

公式及和差角公式即得.

【详解】(1)因为(bcosC+ccos8)tanZ=—

所以(sinBcosC+sinCcosjB)tanA=-V3sinA,

即sin(B+C)tanA=-V3sinA,

则sinAtan/1=—，5sin4,

因为AE(0,7V),所以sin4WO,

所以tanA=-V3,

所以4=爷；

J

(2)(i)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,

即7=1+c?+c,解得c=一3(舍去)或c=2,

所以AABC的面积为S=-^-&csinA=x1x2x；

(")由上可得cosC=个丁=7；：4=乎，又0C(0,兀)，

ZiCbu(I

所以sin。=Vl—cos2C=,

所以sin2C=2sinCcosC=,cos2C=cos?。一sin2。=-y,

所以cos(2C-4)=cos2CcosX+sin2CsinA=-yx(—+473x—

9.(2022•河北衡水•统考二模)在△ABC中，角力，B,。所对的边分到为Q,b,c,已知b2-2bccosA=a2

—2accosB,c=2.

(1)证明：ZVIBC为等腰三角形；

(2)设△ABC的面积为S,若,S的值.在①7cosB=2cosC；②CA-CB=2S；③"+户=

8c2三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解.

【答案】(1)证明见解析

(2)选①：S=4K;选②：S=l+2;选③：S=V15

【分析】(1)由三角形的余弦定理，结合三角形的形状即可得证.

(2)分别选①②③，运用余弦定理、同角的基本关系和向量数量的定义、面积公式，可得所求值.

【详解】⑴

证明：因为b2—2bccosA=a2—2accosB

所以2bccosZ=a2+c2—2accosB

由余弦定理可知,Q2=>2,即Q=b,即AABC为等腰三角形.

(2)

解：由题意得：

选①：由(1)可知，4所以。=兀-2B

所以7cosB=2cosc=2COS(TC—2B)=-2cos2B=2-4cos2B,

整理得：4COS2B+7cosB—2=0,解得cosB=+,

77

所以cosC=—cosB=—,

2o

所以sinC=V1—cos2C=

o

1

又由cosB=—，可得a=4,

a

所以S=<QbsinC=1x4x4

22o

选②：因为互4•屈=2S

所以a2cosC=a2sinC,解得。=j

所以4=2a2—2a2><岑，得<?=4+2V2,S=-1-a2x4=(x(4+272)=1+V2;

选③：因为a2+b2=8c?,且a=6,c=2

所以a=b=4

a2+d2-c216+16—47

故cos。

2ab2x4x48，

因此sinC—V1—cos2C=胃工

于是S=-^-absinC=4x4x4x=V15

22o

10.(2022•全国・方三专题练习)在①sin4cosB+cos4sinB=②/=cos。是函数/(⑦)=2x2+x—1

的一个零点;③已知函数/(力)=5皿(。/+牛)，且/(。)=1.从三个条件中任选一个，补充在下面的问

题中，并加以解答：

已知4ABe的内角43，。所对的边分别是a,b,c,且NC为锐角.若，且c=2acosB,

试判断△ABC的形状.

【答案】等边三角形

［分析］由c=2acosA,利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及两角和、差的正弦公式得到

输1(4-5)=0,即可得到4=8,再根据所选条件求出。=看，再由三角形内角和定理计算可得；

【详解】解：因为c=2acosB,由正弦定理可得sinC=2sin_Acos8,

即sin(A+B)=2sinAcosB,所以sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,所以sinAcosB—cosAsinB

=0,所以sin(H—B)=0,因为4、_B为三角形的内角，所以—6=0,即？1=8;

若选①sin4cos