2023届高考数学专项练习立体几何资料

2023届高考数学专项练习

立体几何资料

目录

目录

一、直线与平面..................................................................1

1、Desarges定理的空间情形..................................................1

2、平行线定理的证明........................................................1

3、直线与平面垂直的唯•性..................................................1

4、异面直线.................................................................2

5、二面角的平分平面.......................................................11

二、多面角.....................................................................13

1、凸多面角................................................................13

2、三面角..................................................................15

三、平行六面体.................................................................20

四、四面体.....................................................................21

1、射影定理与余弦定理.....................................................21

2、体积....................................................................22

3、二面角及其平分平面.....................................................25

4、外接平行六面体、对棱所成角及距离......................................27

5、重心....................................................................30

6、外接球..................................................................34

7、垂心与十二点球.........................................................39

8、内切球与旁切球.........................................................44

9、棱切球.................................................................48

10、各特殊点重合的情况....................................................56

11、等面四面体与正四面体..................................................62

12、直角四面体............................................................70

五、规则多面体.................................................................75

1、正多面体...............................................................75

2、半正多面体.............................................................88

3、正多面体和半正多面体的对偶多面体.....................................119

4、Kepler-Poinsot多面体...................................................143

六、曲面体....................................................................149

1、球面三角形.............................................................149

2、环与牟合方盖..........................................................151

立体儿何资料

一、直线与平面

1、Desarges定理的空间情形

Desarges定理的空间情形：△/和△/5C不在同一平面内，AA'.BB，、CC交于一

点，设和4夕，8c和夕＜7,C4和（74互不平行，则Z8和/b,8c和9。，O和C4

的交点共线。

证明：因为与8夕相交，所以点/、4、B、夕共面。又

AB和，夕互不平行,所以AB与4夕相交。同理可证BC和B'C,

CA和C4相交。

设4B与4B咬于点E,8c和夕C交于点F,。和CW交

于点G,点/、B、C在平面a内，点4、B\。在平面夕内，那

么a和/不重合，于是a和夕相交。因为点E、F、G在既a内又

在夕内，所以点E、F、G在a和4的交线上，即48和4夕，BC

和夕C,C4和的交点共线。

2、平行线定理的证明

平行线定理：已知b//a,c〃。，则b//Co

证明：如果。、氏c在同一平面，那么结论成立。

现在证明。、6、c不在同一平面的情况。假设6

与c是异面直线，〃和6在平面a内，"和c在平面

夕内。过b和c上一点作一平面/，设/与尸的交线是

I,贝I"与c相交。因为。〃a,所以/与a相交，其

交点。在a与y的交线上。因为a与7的交线是6,所

以。在是a与b的交点，但b〃a,所以这是不可能

的，因此6与c不是异面直线。

假设b与c相交，其交点是。，a和b在平面a内，a

和c在平面〃内。则点D既在a内也在〃内。设点/是。

上一点，连/£»,则/O在a与夕的交线上，即“与4）重

合，于是“与b相交，这与6〃。矛盾。因此b与c不相

交。

综合上面结论，得到6〃c。

3、直线与平面垂直的唯一性

定理1:已知直线a过点儿并且aLa,则直线。是唯一确定的。

证明：如果a不是唯•的，直线6也过点“，且b_La,则a与6确定一个平面，该平

面与c的交线是/,那么a-L/,b1.Io这与在同一平面内过其中一点作平面内直线的垂线

唯•确定矛盾，所以。是唯•确定的。

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推论：过一不与平面a垂直的直线/有唯一平面力垂直于平面a。

证明：如果/在平面a内，则在/上取两点/、B,过点/、8作平面a的垂线是唯一确

定的，这两垂线确定平面了夕，所以平面力也是唯一确定的。

如果/不在a内，则在/上取一点P(如果/与c相交，则点尸不是/与a的交点)，过

点尸作a的垂线，垂足为0,则点。是唯一确定的，并且不在/上，那么过直线/和点。确

定了平面了夕，所以平面£也是唯一确定的。

定理2：已知平面a过点4,且aLa,则平面。是唯一确定的。

证明：如果a不是唯一的，平面夕也过点/,月/_La。则a和〃相交，设交线为/。如

果点/在。上，则/与a已相交；如果点4不在。上，则点X和a确定一个平面，在该平

面内过点Z作直线。的垂线是唯一存在的，所以/与a相交。过直线。作一平面？不过直线

/,y与a相交于p,y与月相交于4，则在平面/内过/与a的交点有两条不同的直线与a垂

直，矛盾。所以a是唯一确定的。

4、异面直线

例1：过空间一点P,是否存在与两异面直线/”/2均相交的直线？

解：如图4所示，首先过直线八上任意一点作直线/2的

平行线/，由于/1与勿是相交直线，所以它们确定的平面

Q,显然夕1是过直线且与/2平行的平面，而且通过人与

勿只有一个。同样过，2且与"平行的平面只有一个。下面我

们根据点P的不同位置来探讨问题的解。

(1)若点P在平面外内，但尸不在直线人上，则过点为2^/

P的任一直线/,若/与01相交，则/在平面9I内，于是/国彳

与，2不可能相交，故在过点P的直线中，不存在与异面直线

k/2均相交的直线。同样可证若点尸在平面如内，但点尸不在，2上时，过点P的直线中，

不存在与异面直线/1,/2均相交的直线。

(2)若直线在八(或/2)上，则我们在直线/2(或八)上任取一点0，于是P0与异面

直线/”，2均相交，由点Q的任意性可知：过点P的直线中存在无数多条直线与异面直线人,

/2均相交。

(3)若点P不在平面内，也不在平面92内，所以点尸不在直线八上，也不在直线

/2上。因此点尸与/1确定平面G，点P与6确定平面。2。因为P是由与的公共点，所以

可设5与如相交于直线/，而且尸在直线/上。因为/在ai内，所以与/相交或平行。若

1\///＞则因为/在a2内，所以/]〃。2，因此与夕2重合，与P不在平面92内矛盾，故

与/必相交。同理可证，2与/相交。所以/是经过点尸与两异面直线八，均相交的直线。

如果还存在过点。与两异面直线八，/2均相交的直线/'，则/与/'相交于点P，设/与/'确定

平面月，由于与/及/'都相交，并且尸在直线八上，所以人在平面/内，这又与/”，2相矛

盾。故在过点P的直线中，存在唯•的一直线与异面直线i/2均相交。

例2：如图5所示，二面角9小。-夕2的平面角是7,Z8在9I内，在92内，NBAC=

a,Z.ACD=p,AC=a,

(1)如果48与C£)所成角是力求步与a、0、7的关系；

(2)如果向量在叮丽的夹角是&求与-8的公垂线长度"，并确定其位置。

解：(1)过点/作4E〃CD,贝IJ

/CAE=180。—NZC。=180°-优

2

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由三面角的第一余弦定理(在多面角里讨论)得到

cosBAE=sinBACsinCAEcos/+cosBACcosCAE=sinasin6cos/-cosacosp,

因为

cos|cosBAE\,

所以

cosy=|sinasinpcosy-cosacos队。

(2)公垂线的存在性和唯一性在例3里证明。在*2内作力8的射影

如果/与8相交，设其交点是尸，过点/作/1_LS2，则/I与48相交，设交点是E,

作EG_LAC,与AC相交于点G,连FG,作AH//CD,使FH±AH,连EH,作CI//FH,

于AH相交于点/,作E/_LEH,与EH相交于J,作JK//AH,与AB相交于点K,作KL//

FJ,与CD相交于点L,则

FG±AC,FH±CD,CI±AH,EHJ_AH,

所以

CD±平面EF",AH1.平面EF〃，

于是

FJ±CD,AH1FJ,AH1EH,

所以

FJ1.平面RE",KL±CD,

并且NE4F是二面角E-AH-F的平面角。于是

FJ±AB,

因此

FJ=d,KL1AB,

即应是N5与CD的公垂线。因为

CI=asin(l80°-(3)=asinp,

所以

FH=Cl=asin/。

因为

EG=AEsina,

所以

EF=EGsina=AEsinasin八

因为向量方与丽的夹角是NE4"，所以NE4H=&于是

sinEAH=sin0,

所以

EH=AEsinEAH=AEsin/

由此得到

.厂,2SFFHEF•FHAEsinasin/•asinBsinasinBsin/

a=rJ=r——=----------=--------------------------=-------------------

EHEHZEsin6sin，

现在规定在直线AB和CD上的有向线段的符号如下:直线AB上的有向线段当与AB同

向时为正，否则为负。直线CD上的有向线段当与无同向时为正，否则为负。如果直线

HF上的有向线段与近同向则为正，否则为负。那么次与形的符号相同。因为NE4H=

3

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e,由三面角的第一余弦定理(在多面角里讨论)得

cosa-cos(180°-B}cos0cosa+cosBcos6

cosEHF=--------------------------------=-----------------------

sin(180。一6)sin。sin/?sin0

所以

FH_sin2/3sin0冠一""_sin?/?

cosEHFcosa+cospcos0sin8cosa+cos/?cos0

另外，因为

/XFHJsXEHF,

所以

JHFH

丽一丽’

于是

FH2cosa+cosBcos6

JH—=------------------------

EHsin0

因为屋〃所以

~AKJH

AE~EH"

于是得到

_AE-JH_cosa+cos夕cos0(

~EHsin20

同理可得

-cosB+cosacos0

CL=------------；------------ao

sin'0

如果/与CD平行，则在N8上取一点E,作ML如，与92相交于点尸，作FH工CD,

与CD相交于点H,过点/作_LCD,则

FH上AF,平面以，

所以

FH1.平面4E7f,

于是

FH工AB,

因此

FH=d=asin(180°一0=Qsin夕。

而且是与C。的公垂线。由三面角的正弦定理（在多面角里讨论）得

sin0sina

———=-.........=sma,

sinysin90°

于是

,sinasin£siny

a-----------------------a

sin，

仍然成立。由三面角的第一余弦定理，得到

cosa=cos(180。一0cos6=-cos-cos8。

所以

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cosa+cos夕cos。cosP+cosacos0

=0,=COSPO

sin2,sin20

/与。。平行时的结论仍成立。

综合得到：

与。口的距离是喂祥3点/到公垂线在AB上的垂足的有向距离是

cosa+cos/7cos6cosp+cosacos0

•a;点。到公垂线在CD上的垂足的有向距离是•a,

sin20sin2。

至于夕的值可以利用三面角第一余弦定理得到cos8=sinasin/3cosy-cosacos/。

例3：与异面直线公，2均相交的直线/满足以下条件：/】与/的夹角为a（0°<a<90°）,

b与/的夹角为/（0。</490。）。问直线/是否存在？如果存在，则a,万需要满足什么条件,

满足条件的直线有多少条？并确定每条直线的位置。

解：L首先证明当a=4=90。，即/为公垂线时，/存在,并且/唯一确定。

过，2作平面。2使/1〃。2,在平面。2中作/1的射影”,

Pi

设”与，2的交点为3（见图6）。

C

由于“是1\在02中的射影，则人与“确定一个平面°。

在夕中作N5_L/1，与/］的交点是4,则48,92，因此

48

AB1/2,于是所在直线为一条所求的直线。

现在假设/i，D£Z2,连接CQ。假设。也是/1

与b的公垂线，那么过点。作"'〃/］，则“〃/J,因此

“，,，2都在92内,于是有

CD±/2,AB1/2,CD±“'，AB1”，h”

即

图6

AB_L(p2,CD±°2,

于是得力3〃8,即/1与/2共面，这和/1与，2是异面直线矛盾。因此，异面直线的公垂线

是唯一确定的。

2.假设/1与/2的公垂线是力-4在/］上，B在，2上,AB=d,/1与/2所成角为e（0°v

但90。），并且假设/存在，与/的交点是C,b与/的交点是。，设二面角4CO-8的平面

角为力作BE〃AC,连CE,DE,使45〃CE（见图7）,

则有（请参考例1）

cos0=|sinasinpcos7±cosacosp\(I)

其中0。</<180。。当N4C0=a,/BDC=。或/ACD=

180。—a,N8DC=180。—夕时，(I)式取“+”号；当NACD

=a,NBOC=180。一/或N4CD=180。一。，ZBDC=p

时，(I)式取”号。

由于0。v90°,0°<>5<90°,那么sina>0,sinp>

0,cosa>0,cos/3>0,由(I)得

cos。士cosacosp

|cos/|=

sinasin/3

由于

cos0-cosacos/3|cos0\+1|<cosacos(i\cos8+cosacosp

<|cos/I<1,

sinasinp|sinasin(3\sinasinp

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因此必须更受*8皿<1,即

sinasinJ3

I<cos0-cosacos{3<1

sinasin/3

上式可化为cosacosp-sinasin/?<cos0<cosacos/?+sinasin仇即

cos(a+(J)<cos0<cos(a—0。

由于0。<。+夕W180。，0°<6><90°,-90°<a-^<90°,所以由上面的不等式得到

\a-伙<8<a+(II)

因此，当/存在时必须满足|a-qvOva+4。

3.设有向线段前的数量是x,其符号选择如下：当NBDE=9时,x为正；当NBDE=

180。-。时，x为负。设8。=/现在对x,y不全为零的情况进行讨论。

由上面的假设，求得如下量：

CD=-Jx2+y2-2xycos0+d2,AD2=y2+d2,8C2=x2+rf2,

另外

AD2=x2+CD2+2xCDcosa

222n~~5--------------(ni)

=2x+y-2盯cos。+d~±2xcosajx+y-2xycos0+dr,

BD2=y2+CD2±2y-CD-cos尸

2.22「~~-------------(IV)

=x+2y-2盯cos6+d~±2ycos+y"-2xycos^+dF~,

于是得到

2x2+y2-2xycos0d2±2xcosa^x2+y2-2xycQsO-\-d2=y24-d2,(V)

x24-2y2-2xycos^+d2±2ycos/iyjx2+y2-2xycos^+d2=x2+J2o(VI)

对(V)、(VI)进行化简。当xwO时，(V)约去2x；当ywO时，(VI)约去29。再把

根式移向右边得

x-ycos0=+cosaJx2+y2-2xycos^+d2,(VII)

-xcos^=+cos/3y]x2+y2-2xycos0+d2。(VIII)

当(III),(V),(VII)式取上方符号时，xcosACD<0i当(III),(V),(VII)式取下方符

号时，xcosACD>0»当(IV),(VI),(VIII)式取上方符号时，cosBDC<0；当(IV),

(VI),(VIII)式取下方符号时，cosBDCNO。

(VII),(VIII)两边平方，得

x2sin2a+^cos20-cos2a)-2xysin2acos9=#cos2a,(IX)

x2(cos20-cos2P)+y2sin2/3-2xysin20cos0=d2cos26。(X)

其中当x=0时，(X)仍然成立；当y=0时，(IX)仍然成立。

由(IX)、(X)消去d,得

x2(cos2(i-cos2acos29)+2Ay(cos2a-cos2/0COS^-^(cos-a-cos2Pcos2仞=0,

即

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[(cosp+cosacos6)x-(cosa+cos°cos①][(cos/?-cosacos0)x+(cosa-cos[3cos0)y\

=0,

于是得到

x=(cosa+cos/cos份/或1=—(cosa-cos/?cos0)t(XI)

y=(cosf3+cosacos例，或y=(cos/}-cosacos0)10(XII)

(XI)、(XII)式同时取前式或同时取后式。根据歹之0,f的符号如下选取当取：当(XI)、

(XII)同时取“+”号，或同时取“-”并且cos/7-cosacos82(^j,，取“+”号；当(XI)、

(XII)同时取“-”并且cos^-cosacos0时一取“-”号。

由(IX)、(X)消去个项，得至IJ

2.22-2nsin2a-sin2B

xsin"a-ysin"/?=-----------------—d12~。(/AXZTITITIX)

sin-0

以下先讨论a*£时的情况。此时由于0°<a<90°,0°<^<90°,所以sin2a-sin26H0。

把(XI)、(XII)代入(XIII)并且两边除以sir?a-sii?/得

(1-cos2a-cos2p+2cosacos/?cos0)z2=—^；—,(XIV)

sin~0

(XI)、(XII),(XIV)同时取上方符号或同时取下方符号。若(XIV)中有一方程中『的系

数为正，则(XIV)有解。此时有

(一1)"(cosa±cospcosO')

(XV)

sin0y]\一cos2a-cos2(5+2cosacospcos。

Icosp±cosacos

y=-------1；2_d°(XVI)

sin0y]\-cosa-cos2+2cosacos/?cos6

当(XI)、(XII)取前式时，(XV)、(XVI)同时取上方符号；当(XI)、(XII)取后式时，

(XV)、(XVI)同时取下方符号。根据方的符号选取情况，得到当(XV)取上方符号时〃=

0；当(XV)取下方符号并且cos/-cosacos0时，〃=0；当(XV)取下方符号并且

cos/3-cosacos时，〃=1。

当月C=8O=0H寸，a=〃=90。，代入(XV)和(XVI),得x=y=0,即此时(XV)

和(XVI)仍然成立。

下面讨论xw0并且y=0时的情况，对于x=0并且歹w0时的情况可以用相同的方法讨

论。由于xwO并且y=0,从(XV)和(XVI)式得

cos/7±cosacos0=0,cosa±cos/cos0。

由于当cosa=0并且cos0=0时，cosa±cos0cos0=0,因此cosa和cos。不能同时为

零。又由于由va490。,0°<fJ<90°,0°<0<90°,因此cosaNO,cos(3>0,cos0>0o

由上面结果得，当cosa=0时cos6>0,此时lv90。(否则a=/7=90。)，由此得到cos/7+

cosacos0>0；当cosa>0时cos0>0,仍然得到cos13+cosacos0>0。因此当满足cos0

>0时要^=0成立，必须

cos>5-cosacos0=0,亦即cos{3=cosacos仇

此时

1-cos2a-cos2p-cos28+2cosacos/cos0

=1-cos2a-cos2'aco2s。-cos29+2cos2acos20

=1-cos2a+cos2acos20-cos20

八

=si.n?a-si.n2acos2'u

=sin2asin20>0。

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当cos0=0时,无论cos夕+cosacos0=0或cos(3-cosacos0=0都得到cos0=0,因此

cos夕+cosacos0=0和cos夕一cosacos0=0同时成立,且此时1一cos2a-cos2/?-cos26+

2cosacos0cos0=1-cos2a=sin2a>0。

由于cos/?-cosacos6=0,因此(XV)式取卜.方符号时〃的取值为0或1均可，于是

把cos(3=cosacos。代入(XV),得到

,cosa-cosacos20.1,

x=±-------------------------a=±actga。

sinasin~，

另外，由于歹=0时，(IX)仍然成立，把y=0代入(IX),并解出

x=±dcotaQ

因此(XV)、(XVI)仍然成立。

现在讨论a=/7时的情况。当2=夕=90。时的情况已经讨论过，现在假设a=/<90。。当

xwO,yw(HI寸此时由(XI),(XII)得至I」

x=±yo(XVII)

把上式代入(XI)或(X),得

(cos20-cos2a+sin2a+2sin2acos0)^2=d2cos2a,(XVIII)

于是得到

±cosa,

x=­d

Vcos20-cos2a+sin2a+2sin2acos0,、

(XIX)

±cosa,

——/—ci,

vcos20+2sin2a+2sin2acos0-1

cosa.

,2_।do(XX)

“cos"®+2sina+2sin~acos0-1

(xvn)、(xvni)、(xix)、(xx)同时取上方符号或同时取下方符号，由于

(cos2<9+2sin2a+2sin2acos0-1)(1±cos0)2

=cos20+2sin2a+2sin2acos0-1±2cos'<9±4sin2acos^-4sin2acos20

+2cos^+cos40+2sin2acos20+2sin2acos36-cos?0

=2sin2a±2sin2tzcos^-(l-cos28)(1+cos?0)

+2cos6(l-cos20)-2sin2cos20+2sin2acos，6

=2sin2cr±2sin2acos0-sin20(1+cos2ff)

+2cos^sin20-2sin2acos2^+2sin2acos30

=2sin2cr(l-cos20)±2sin2crcos^(l-cos20)-sin20(1+cos20)+2sin26cos6

=2sin2crsin2±2sin2acos6sin2-sin26(1+cos20)+2sin20cos0

=sin20(2sin2a±2sin2acos^-l-cos20+2cos0)

=sin20[2-2cos2a+2cos6^(1-sin2a)-1-cos20]

=sin20(\-2cos2a-cos20+2cos2acos6),

以上等式同时取上方符号或同时取下方符号。于是得到

cosa_cosa±cosacos0

A/COS2^+2sin2a+2sin2acos0-lsin0yj\-2cos2a-cos2^+2cos2acosO

上式同时取上方符号或同时取下方符号。由于cosa-cosacos处0,因此当(XV)式取下

方符号时〃=1,于是(XV)、(XVI)在。=/且xwO,时仍然成立。而当xwO,

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y=0或a=£,x=0,yw0时的情况实际上在上面xw0,y=0或x=0,ywO时已经包含了。

于是当a=4时(XV)、(XVI)仍然成立。

现在讨论(XIV)成立的条件，也就是(XV)和(XVI)有解的条件。由于

1-cos2a-cos2/?-cos22cosacos/?cos0

(XXI/

=[cos0-cos(a+0][cos(a—0-cos6],

1-cos2a-cos2/?-cos20-2cosacos/Jcos0

\XXII)

=[cos0+cos(cr-y?)][-cos0-cos(cr+0]。

当(II)成立时，则必然有

cos(a+P)<cos0<cos(cr-侨,

因此(XXI)必为正，也就是说(II)成立时，(XIV)必然成立，也是/必然存在。现在讨

论(XXII)为正的条件。由于0。<々490。，0°<^<90°,所以-90。Va-#<90。，亦即此时

cos(a-0>0。因此当(XXII)为正是只需要-cos6-cos(a+/7)>0即可。此时

cos0<-cos(a+P)=cos(180°-a~p),

由于0。<0490。，0°<180°-a-^<180°,因此上式成立时必须满足，

180°-a-^<90°,且e>180°-a-/，

即

a+夕>90。，且a+-+，>180。,

现在确定(XV)和(XVI)不同数值的个数。在|a-用<(9va+〃，a+夕>90。，a+0

+夕>180。的情况下考察(XV)和(XVI)取上方符号和取下方符号绝对值相等的情况，此

时得到等式

)

|cosa+cos?Scos6||cosa-coscos

■yjl-cos2a-cos2p-2cosacos/?cos0Jl-cos2a-cos2p+2cosacos^cos^

|cosp+cosacos|cosp-cosacos<?|

I=/,

Jl-cos2a-cos2/3-2cosacos°cos0Jl-cos2a-cos2/7+2cosacospcos，

亦即

|cosa+cos/3cos⑷|cos°一cosacos0\

y11-cos2a-cos2p-2coscrcos(3cos^-cos2a-cos2/3+2costrcospcos/9

|cosa-cos°cos|cosp-cosacos0\

^/1-cos2cr-cos2/J+2costzcos/ycos^/1-cos2a-cos2-2cosacosj3cos0

进一步简化上式，得到

|(cosa+cospcos⑨(cos/J-cosacos0)\=|(cosa-cospcos⑨(cosP+cosacos划,

于是得到

(cosa+cospcos⑨(cos夕一cosacos0)

(XXIII)

+(cosa-cos/cos⑨(cos/7+cosacos0)=0,

或

(cosa+cospcos仞(cos/?-cosacos0)

(XXIV)

-(cosa-cos/cos⑨(cos/+cosacos0)=0,

(XXIII)可化简为

2cosacosy0sin20=0,(XXV)

(XIV)可化简为

2(cos2a-cos20cos8=0,(XXVI)

9

立体儿何资料

当（XXV）成立时，必须有a=90。或#=90。。现在讨论£=90。的情况，而a=90。的情

况可用相同的方法讨论。当£=90。时，cos夕-cosacos640,因此（XV）和（XVI）取下

方符号时”=0。代入（XV）和（XVI）式得到（XV）和（XVI）同时取上方符号和取下方

符号时值是相等的

cosa,cosacos0,

x=-------]=a,y=---------/二a。

sin-cos2a-cos20sin，Jl-cos2a-cos20

当（XXVI）成立时，有1=/或＜9=90。。当°=/并且。＜90。时，由上面讨论a=/时的

情况有

cosacosa±cosacos0

A/COS2+2sin2a+2sin2acos0-1sinGy/\-2cos2a-cos2。干2cos?acos。

由等式的左边知道（XV）和（XVI）同时取上方符号和取下方符号值不相等。另外当。=90。,

由于cos夕-cosacos故（XV）和（XVI）同时取上面符号时〃=1,代入（XV）和

（XVI）,得到

±cosa.

I-----.d,(XXVII)

Jl-cos2a-cos2p

cosa.

y=1-----^=do

Jl-cos2a-cos20

(XV)与(XXVII)的符号选取相同。

现在讨论如何确定NOBE,/ACD以及NBDC。

先来确定NDBE。因为cosQ8E与x同号，而且x又与(cosa士cos夕cos仞(cosacos。土

cos为同号，因此得到如下结果：如果(cosa±cospcos⑨(cosacos0±cos0为非负时，

4DBE=8,如果(cosa±cos0cos⑨(cosacos0±cos为为非正时，/DBE=180°-

由于

22*12

CD?=AC+BD?-2AC•BD•cosDBE+屋,AD=BD+d9Bd=Ad+#,

因此

2AC-CDcosACD=AC2+CD1-AD2=2AC(AC-BDcosDBE),

2BD-CDcosBDC=B0+3-Bd=2BD(