2023导数解密通关基础篇汇编

专题01导数的运算

1.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

4x)=c(c为常数)/(x)=0

・小0=犬3£(2，a/))f(x)=oxa~］

火x)=sinx/(x)=cosx

J(x)=cosxf(x)=­sinx

_Ax)=”'(a>0且Wl)/(x)=tflna

A-r)=exf(x)=e

,穴x)=log(K(a>0且存1)了。)-xlna

/(x)=:

7(x)=lnx

2.导数的运算法则

若/Q)，g'(x)存在，则有［cKx)］，=c7(x)；［Ax)±g(x)］，=nx)土g，(x)；［/(x)g(x)Y=F(x)g(x)+火x)g，(x)；［爆)

3.复合函数的定义及其导数

(1)一般地，对于两个函数y=A")和“=g(x),如果通过中间变量小y可以表示成x的函数，那么称这

个函数为函数)=火〃)与〃=g(x)的复合函数，记作y=y(g(x)).

(2)复合函数y=Wg(x))的导数和函数y—,flu'),M=g(x)的导数间的关系为y'.x—y'„-u'x,即y对x的导数等

于y对“的导数与"对x的导数的乘积.

【方法总结】

导数运算的原则和方法

基本原则：先化简、再求导；

具体方法：

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；

(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；

(4)根式形式：先化为分数指数幕的形式，再求导；

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；

(6)复合函数：由外向内，层层求导.

【例题选讲】

［例1］求下列函数的导数：

(l)y=x2sinx；

cosx

(2)y=

(3)y=xsin^2x+^jcos^2x+^J；

(4)y=ln(2r-5).

[例2]⑴(2020.全国HI)设函数段)=£.若/⑴=/贝lja=

(2)已知函数兀v)的导函数为/(x),Xx)=2x2-3V(l)+ln%>则/U)=.

(3)已知力(x)=sinx+cosx,%+i(x)是启x)的导函数，即用x)=//(x),fi(x)=fi'(x),...,fn+i(,x)=fn'(x),n

EN*,则及022。)等于()

A.—sinx-cosxB.sinx-cosxC.—sinx+cosxD.sinx+cosx

(4)(多选)给出定义：若函数./(x)在。上可导，即〃x)存在，且导函数/(x)在。上也可导，则称,/U)在。

上存在二阶导函数，记ra)=ua))'，若尸a)<o在。上恒成立，则称y(x)在。上为凸函数.以下四个函数

在(0,号上是凸函数的是()

A./x)=sinx+cosxB.J(x)=]nx—2xC.J(x)=xi+2x—1D.y(x)=xev

(5)已知/(x)的导函数为/(x),若满足MXr)—“¥)=K2+X,且#1)21,则的解析式可能是()

A.%2—xlnx+xB.x2—xlnx-xC.A^+xlnx+xD.x2+2xlnx+x

【对点训练】

1.下列求导运算正确的是()

A.[+£)'=1+2B.(log2、y=；；2C.(5A)'=5Ylog5JrD.(x2cosx)f=-2xsinx

2.函数y=xcosx—sinx的导数为()

A.xsinxB.—xsinxC.xcosxD.—xcosx

3.(多选)下列求导运算正确的是()

A.(sin〃)'=cosa(a为常数)B.(sin2x),=2cos2x

c

-雨'=七D.(ev—Inx+2x2y=er-4x

sinxI

4.已知函数於)=就+已则.&)=

5./(x),/G)=/(x)，(x)=/i(x)，…,N*),)=*;inx,

己知函数人幻的导函数为记力fn+\(x)=fn(x)(n若於

则及019(%)+我02G)=()

A.—2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sinx

6.fix)=x(2021+lnx),若/(沏)=2022,则向等于()

A.e2B.1C.In2D.e

7.已知函数於)="7^+?十0§羽若，(0)=-1,贝ija=.

8.已知函数於)=ln(2x—3)+。把三若/(2)=1,则。=.

9.己知函数段)的导函数为/(%),且满足关系式段)=/+34(2)+lnx,则/(2)的值等于()

99

A.-2B.2C.-4D.a

io.已知yu)=£+H(i),则/(o)=.

11.设函数7U)在(0,+oo)内可导，其导函数为/(x),且7Unx)=x+lnx,则/(1)=.

12.已知，(1)是函数7U)的导数，Xx)=/(l)-2r+x2,则/(2)=()

12—8皿224_

A。l-21n2B.—2/2C'l-21n2D，~2

13.(多选)若函数_/U)的导函数/(x)的图象关于y轴对称，则贝x)的解析式可能为()

A.y(x)=3cosxB.於)=3+xC.7U)=x+；D.

3

14.=+其导函数为/(x),贝I」人2020)+4-2020)+/(2019)-/(一2019)的值为()

A.1B.2C.3D.4

15.已知凡2.若/(2020)=6,贝1」/(一2020)=.

16.分别求下列函数的导数：

(一1।1、xx1~~：—xi+2x—x1]nx

(l)y=e'lnx；(2)y=A(x2+-+pJ；(3)y=x-sin5cos5；(4))，=ln,l+2x.(5次x)=-------------------

专题02曲线的切线方程

考点一求切线的方程

【方法总结】

求曲线切线方程的步骤

(1)求曲线在点PS),和)处的切线方程的步骤

第一步，求出函数在点x=xo处的导数值/(Xo),即曲线y=y(x)在点p(xo，凡的)处切线的斜率；

第二步，由点斜式方程求得切线方程为y~fi,xo)=/(xo)-(x-xo).

(2)求曲线过点&冽，泗)的切线方程的步骤

第一步，设出切点坐标P(xi，./(Xi))：

第二步，写出过P(g,人制))的切线方程为卜一次乃)=/(乃)。一制)；

第三步，将点P的坐标(xo,%)代入切线方程，求出xi；

第四步，将xi的值代入方程y-/(xi)=/(xi)(x—xi)可得过点P(xo，州)的切线方程.

注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线

方程，在点尸处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点尸不一定是切

点.

【例题选讲】

9r—1

［例1］(1)(2021.全国甲)曲线在点(一1,一3)处的切线方程为.

(2)(2020.全国I)函数4x)=f-2T的图象在点(1,犬1))处的切线方程为()

A.y——2x—lB.y=-2x+lC.y=2x—3D.y—2x+1

(3)(2018・全国1)设函数兀0=%3+(“-1)炉+以.若兀v)为奇函数，则曲线yfx)在点(0,0)处的切线方

程为()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

(4)(2020・全国I)曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

(5)已知函数兀v)=xlnx,若直线/过点(0,-1),并且与曲线y=/(x)相切，则直线/的方程为.

(6)(2021•新高考［)若过点(小初可以作曲线y=e<的两条切线，贝女)

A.eh<aB.ea<bC.0<«<e*D.0axe"

(7)已知曲线人x)=R—x+3在点P处的切线与直线x+2y-l=0垂直，则P点的坐标为()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(一1,3)D.(1,-3)

(8)(2019•江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=hu•上,且该曲线在点A处的切线经过点(一e,

一l)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.

(9)设函数负x)=V+(a-l)/+or,若_/(x)为奇函数，且函数y=/(x)在点外刈，犬刈))处的切线与直线尤

+y=0垂直，则切点P(x0,«ro))的坐标为.

Y--1

(10)函数y=RY在点(0,—1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为()

111

-D

-一

A.8B.42

(11)曲线>=/一Inx上的点到直线x一厂2=0的最短距离是.

【对点训练】

1.设点尸是曲线y=V—5x+j上的任意一点，则曲线在点尸处切线的倾斜角a的取值范围为()

「2兀

B.■y,

2.函数式x)=e，+：在x=l处的切线方程为.

3.(2019・全国I)曲线y=3a2+x)e，在点(0,0)处的切线方程为.

4.曲线y(x)=—在点P(I,火1))处的切线/的方程为()

A.x+y-2=0B.2x+y-3=0C.3x+y+2=0D.3x+>-4=0

5.(2019•全国H)曲线y=2sinx+cosx在点(兀，-1)处的切线方程为()

A.x—y—兀-1=0B.2v—y—2兀-1=0

C.2x+y—2兀+1=0D.x+y—兀+1=0

X

6.(2019.天津)曲线y=cosx—^在点(0,1)处的切线方程为.

7.已知4x)=G*+3为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线y=/(x)在x=0处的切线方程为.

8.己知曲线尸53上一点《2,1),则过点P的切线方程为.

9.已知函数次x)=xlnx,若直线/过点(0,-1),并且与曲线y=/(x)相切，则直线/的方程为.

10.设函数火x)=/(J)x2-2x+；(l)lnx,曲线人x)在(1,犬1))处的切线方程是()

A.5x~y—4=0B.3x—y—2=0C.x—y=0D.x=1

II.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施"以直代曲”的近似计算，用正〃边形进行“内外夹逼”

的办法求出了圆周率兀的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”

的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设40

=ln(l+x),则曲线尸危)在点(0,0)处的切线方程为，用此结论计算ln2022-ln2021=

12.曲线火x)=x+hu在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()

311

2-C--

A.B.22D.4

14

13.已知曲线了=科+不

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.

14.设函数曲线y=/(x)在点(2,7(2))处的切线方程为7x—4y—12=0.

(1)求贝x)的解析式；

(2)证明曲线兀r)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

15.(2021•全国乙)已知函数/(》)=%3—/+以+].

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)求曲线尸危)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.

考点二求参数的值(范围)

【方法总结】

处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①

切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上.

【例题选讲】

[例1](1)已知曲线负x)=/+lnx在(1,7U))处的切线的斜率为2,则实数a的值是.

(2)若函数火》)=1酸+2^—ar的图象上存在与直线2x—y=0平行的切线，则实数a的取值范围

是.

(3)设函数兀＜)="1m+芯的图象在点(1,—1)处的切线经过点(0,1),则的值为.

(4)(2019・全国III)已知曲线y=B+xlnx在点(1,优)处的切线方程为y=2x+b,则()

A.a=e,b=—\B.a=e,b=1C.a=er，b=lD.a=e1,b=~\

(5)设曲线尸昼在点(1,一2)处的切线与直线ax+力+c=0垂直，则5=()

A.1B.—1C.3D.—3

(6)已知直线丫=气一2与曲线y=xlnx相切，则实数左的值为.

(7)已知函数｛x)=x+祗，若曲线y=«r)存在两条过(1,0)点的切线，则。的取值范围是.

(8)关于x的方程2仅+3=-有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为.

【对点训练】

1.若曲线y=xhu•在x=l与x一处的切线互相垂直，则正数，的值为.

2.设曲线>=产一山。+1)在x=0处的切线方程为2x—y+l=0,则“=()

A.0B.1C.2D.3

3.若曲线J(x)=V—x+3在点尸处的切线平行于直线y=2x-l,则P点的坐标为()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(一1,3)D.(1,一3)

4.函数y(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x—)，=0平行的切线，则实数a的取值范围是.

5.己知函数/(x)=xcosx+asinx在x=0处的切线与直线3x—y+1=0平行，则实数a的值为.

6.已知函数危尸如+以+方的图象在点(1,川))处的切线方程为2r—y—5=0,则a=；b=.

7.若函数次x)=ar-(的图象在点(1,41))处的切线过点(2,4),贝lja=.

8.若曲线y=F在x=0处的切线也是曲线y=lnx+b的切线，则。=()

A.—1B.1C.2D.e

9.曲线y=3+l)e*在点(0,1)处的切线与x轴交于点(一/0),贝ija=；

10.过点M(—1,0)引曲线C：丫=2/+以+“的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A、B两点,若|M4|

=|M8|,则4=.

11.已知曲线C：y(x)=x3—3x,直线/：y=ax—yf3a,则。=6是直线/与曲线C相切的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.己知点仞是曲线—2^+3%+1上任意一点，曲线在M处的切线为/,求：

(1)斜率最小的切线方程；

(2)切线/的倾斜角a的取值范围.

13.已知函数/(jOnj?+a—a)/—a(a+2)x+〃(a,/>GR).

(1)若函数4X)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3,求4,人的值;

(2)若曲线y=/(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.

14.已知函数段)=|ri-2x2+3x(xeR)的图象为曲线C.

(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.

专题03曲线的公切线方程

【方法总结】

解决此类问题通常有两种方法

(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；

(2)设公切线/在产危)上的切点P,U1，加|))，在尸g(X)上的切点尸2(X2,g(X2)),则/(Xl)=g'(X2)=四三3

X\—X2

注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，

一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛

物线相切可用判别式法.

【例题选讲】

[例1]⑴(2020・全国HI)若直线/与曲线产m和圆好+尸料相切，则/的方程为()

A.y=2x+1B.y=2x+^C.y=，r+1D.

(2)已知危)=e'(e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+2,直线/是火x)与g(x)的公切线，则直线1的方程

为.

(3)曲线Ci：y=lnx+x与曲线C2：y=N有条公切线.

(4)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=or2+(“+2)x+l相切，贝!J.

(5)(2016•课标全国II)若直线产fcc+匕是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线尸e，的切线，则b=.

(6)已知曲线,/(x)=lnx+l与虱》)=炉一x+。有公共切线，则实数。的取值范围为.

【对点训练】

1.若直线/与曲线了=8.及y=—%?都相切，则直线/的方程为.

2.已知函数/)=/的图象在x=l处的切线与函数g(x)=$的图象相切，则实数。等于()

A.y[eB.C.坐D.e\/e

3.已知函数«r)=qj+l,g(x)=Har,若在x=(处函数式的与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为(.)

A.；B.；C.1D.4

4.若於)=山与ga)=x2+〃x两个函数的图象有一条与直线y=x平行的公共切线，则〃等于()

A.1B.2C.3D.3或一1

5.若直线是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+l)的切线，则/?=.

17

6.已知yu)=inx,双元)=>2+〃?%+/(加〈0),直线/与函数g(无)的图象都相切，与yu)图象的切点为

(1,11))，则m=.

7.已知定义在区间(0,+co)上的函数於)=—g(x)=-3hir-x,若以上两函数的图象有公共点,

且在公共点处切线相同，则m的值为()

A.2B.5C.1D.0

8.若直线是曲线y=*的切线，也是曲线>=3'—1的切线，则Z+b等于()

In2l-ln2-ln2~lIn2

A.yB.—2—C.-2—D.~2~

9.设曲线在点(0,1)处的切线与曲线y=&x>0)在点尸处的切线垂直，则P的坐标为.

10.已知曲线火x)=%3+ax+］在x=0处的切线与曲线g(x)=—ku相切，则”的值为.

11.已知曲线y=e".在点(xi，e")处的切线与曲线y=lru在点3，】诈)处的切线相同，则(制+1)3—1)=(

A.-1B.-2C.1D.2

12.曲线G：>=/与曲线C2：y="e，(a>0)存在公切线，则a的取值范围是.

13.若存在过点。(0,0)的直线/与曲线旷=如一3/+2x和y=/+“都相切，求a的值.

14.已知函数6ax—11,8(》)=3炉+6匹+12和直线/n：y=fcv+9,且7(一1)=0.

(1)求。的值;

(2)是否存在k,使直线m既是曲线y=/(x)的切线，又是曲线y=g(x)的切线？如果存在，求出k的值;

如果不存在，请说明理由.

专题04函数的单调性

函数的单调性与导数的关系

已知函数1X)在区间伍，力上可导，

(1)如果/(x)>0,那么函数y=4r)在(a,与内单调递增；

(2)如果/(x)V0,那么函数y=/(x)在3，份内单调递减；

(2)如果/(x)=0,那么函数y=/(x)在(a,份内是常数函数.

注意：1.在某区间内F(x)>0(/Xx)<0)是函数7U)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.

2.可导函数次x)在(a,份上是增(减)函数的充要条件是b),都有/(x)K)(fQ)W0)且/(x)在(a,b)

上的任何子区间内都不恒为零.

(1)在函数定义域内讨论导数的符号.

(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“U”,可用“，”或用“和”.

考点一不含参数的函数的单调性

【方法总结】

利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数/(x)的零点；

第3步，用/(x)的零点将段)的定义域划分为若干个区间，列表给出了(x)在各区间上的正负，由此得出

函数、=段)在定义域内的单调性.

【例题选讲】

［例1］(1)定义在［-2,2］上的函数人均与其导函数/(x)的图象如图所示，设。为坐标原点，A,B,C,D

四点的横坐标依次为一；，T1,则函数y岑的单调递减区间是()

D.(1,2)

(2)已知函数)，=/(x)的导函数y=/(x)的图象如图所示，则函数y=/(x)的图象可以是()

(3)函数人力二/+居瓜丫的图象大致为()

(4)函数以x)=x+2在*的单调递增区间是；单调递减区间是.

(5)设函数式x)=x(e，-1)一%2,则人外的单调递增区间是,单调递减区间是.

(6)函数y=*—Inx的单调递减区间为()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(1,+°°)D.(0,+°°)

(7)设函数./(x)=2(/—x)lnx-/+2x,则函数的单调递减区间为()

A.(0,£)B.&1)C.(1,+8)D.(0,+°°)

(8)已知定义在区间(0,兀)上的函数式x)=x+2cosx,则./(X)的单调递增区间为.

(9)函数兀r)=2kiar|+cos2x在[一],市上的单调递增区间为()

A.[-5和[0，1]B.[-1,0]和/,与C.[一3一泵和有f]D.L看,1]

(10)下列函数中，在(0,+8)上为增函数的是()

A.y(x)=sin2jcB.J(x)—xexC.fi,x)—xi—xD.式x)=—x+lnx

Inv--I—k

［例2］已知函数於)=—^^为常数)，曲线y=/(x)在点(1,贝I))处的切线与x轴平行.

(1)求实数4的值；

(2)求函数_/(x)的单调区间.

【对点训练】

1.如图是函数yfx)的导函数y=『(x)的图象，则下列判断正确的是()

y=r(x)

书yf一

A.在区间(-2,1)上7(x)单调递增B.在区间(1,3)上y(x)单调递减

C.在区间(4,5)上/U)单调递增D.在区间(3,5)上火X)单调递增

2.函数y=/(x)的导函数y=/(x)的图象如图所示,则函数y=/U)的图象可能是()

3.(多选)已知函数7U)的导函数/(x)的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数兀v)的图象的是()

4.函数火x)的导函数/(x)有下列信息：

◎(x)>0时，一1令<2；黝(x)<0时，尤<一1或x>2；酗(x)=0时，x=-l或x=2.

则函数/U)的大致图象是()

5.函数y=y（x）的图象如图所示，则y=/（x）的图象可能是（）

A.(0,+oo)B.+00C.(-00,-1)

8.函数式尢）=（九一2把。的单调递增区间为

9.函数40=。一1把"一/的单调递增区间为,单调递减区间为

10.函数/U）=x2—2hu的单调递减区间是（）

A.（0,1）B.（1,+oo）C.（-00,1）D.(-1,1)

3

11.函数y=x+：+21nx的单调递减区间是（）

A.(-3,1)B.(0,1)C.(-1,3)D.(0,3)

12.函数yu）=xlll¥+x的单调递增区间是（）

A.&+oo）B.（0,C.隹,+[

13.已知函数/（x）=/—5x+21nx,则函数次1）的单调递增区间是（）

B.(0,1)和(2,+oo)C.(0,

和(2,+oo)D.(1,2)

14.函数大幻=自的单调递减区间是.

15.函数,/（x）=etcosx的单调递增区间为.

16.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间上单调递增（）

A(it3ii\

-GTjB.(7t,2TI)C.(2，2JD.(2K,3兀)

17.己知定义在区间(一兀，兀)上的函数八元)=xsinx+cosx,则J(x)的单调递增区间为.

18.(多选)若函数g(x)=e7U)(e=2.718…，e为自然对数的底数)在«r)的定义域上单调递增，则称函数次x)

具有M性质.下列函数不具有M性质的为()

A.B.<x)=/+lc.«r)=sinxD.J(x)=x

19.已知函数兀0=%+/.

⑴求曲线於)在点(一小/(一部处的切线方程;

(2)讨论函数y=^的单调性.

20.设函数yu)=xe“r+bx,曲线y=Ax)在点(2,正2))处的切线方程为y=(e—l)x+4.

(1)求a,人的值；

(2)求/(x)的单调区间.

考点二比较大小或解不等式

【方法总结】

利用导数比较大小或解不等式的常用技巧

利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性

问题，再由单调性比较大小或解不等式.

【例题选讲】

[例3](1)在R上可导的函数段)的图象如图所示，则关于x的不等式犷(x)<0的解集为()

A.(-co,-1)U(O,1)B.(-1,O)U(1,+oo)

C.(—2,—1)U(1,2)D.(-oo,—2)U(2,+oo)

(2)已知函数_/(x)=xsinx,xCR,则//)，川)，/(一的大小关系为()

A-B.*)>f(一(M})C./©>XD>/(-f)D./(一为e)次1)

(3)已知奇函数次x)是R上的增函数，g(x)=M(x),贝U()

A-g(log3；)>g(2—於g(2-$B.^(log3^>^(2-1)>^(2-1)

C.g(2-1)>g(2-|)>^log3£)D.g(2-1)>g(2-1)>g(log3£)

1-x

(4)对于R上可导的任意函数兀r),若满足777二°，则必有()

A.AO)+X2)>2/(1)B.XO)W)<2A1)C.A0)+A2)<2ADD.XO)+A2)>2/(1)

(5)已知函数70)=。，-e=-2x+1,则不等式y(2x—3)>1的解集为.

(6)设函数,/(x)为奇函数，且当xK)时，兀0=廿一cosx,则不等式式及-2)>0的解集为()

A.(—00,1)B.(-8,g)C.(；，+oo)D.(1,+oo)

【对点训练】

1.已知函数y=/U)(xdR)的图象如图所示，则不等式的解集为.

2.已知函数y(x)=3x+2cosx,若a=/(3也)，6=犬2),c=/(log27),则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.c<a<hC.b<a<cD.b<c<a

3.已知函数段)=sinx+cosx—2x,。=五一兀)，Z?=/(2e),c=y(ln2),则〃，b,c的大小关系是()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

4.函数./(x)在定义域R内可导，若为x)=J(2—x),且当xG(—8,1)时，(x—l»(x)<0,设。=式0),

c=/(3),则a,b,c的大小关系为()

A.a<h<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

5.已知函数/其中e是自然对数的底数.若火“一劫十心吟处则实数。的取值范围

是.

6.已知函数Hx)=$—4x+2e*—2e",其中e为自然对数的底数，若4〃-1)+负2°2)忘0,则实数”的取

值范围是()

A.(-8,—1]B.+8)c.(-1'J)D.—1.4

7.若函数外)=向+厘一siar,则不等式於一l)Wy(l)的解集为.

8.已知函数次x)=xsinx+cosx+x2,则不等式4nx)+y⑴的解集为.

考点三根据函数的单调性求参数

【方法总结】

利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法

(1)函数,/U)在区间D上存在递增(减)区间.

方法一：转化为，了(用>0(<0)在区间。上有解”；

方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使/(x)>0(<0)成立”.

(2)函数/(X)在区间D上递增(减).

方法一：转化为‘TV巨000)在区间D上恒成立”问题；

方法二：转化为“区间D是函数/(X)的单调递增(减)区间的子集”.

【例题选讲】

[例4]⑴若函数/尸源一3/m：2+6x在区间(1,+8)上为增函数，则实数机的取值范围是()

A.(—co,1JB.(—00,1)C.(—00,2]D.(—00,2)

(2)设函数_Ax)=%2—91IW在区间m—1,。+1]上单调递减，则实数”的取值范围是.

(3)若函数应¥)=己6吊犬+4)在区间(0,兀)上单调递减，则实数〃的取值范围是()

—

A.[—y[2f+oo)B.[1,+oo)C.(oo,—也]D.(-oo,1J

(,4a2,八

\x+-;—-4。，0ctsz,

(4)若x+a一是(0,+oo)上的减函数，则实数a的取值范围是()

lx—xlnx,x>a

A.[1,e2]B.[e,e2]C.[e,+oo)D.[e2,+oo)

(5)若函数4幻=一支+++2狈在3，+8)上存在单调递增区间，则。的取值范围是.

(6)若函数兀v)=2x2—Inx在其定义域的一个子区间伙一1,k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围

是.

[例5]已知函数/(x)=hix,g(x)=%x2+2x(q翔).

(1)若函数/7(x)=/(x)—g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围；

(2)若函数〃。)=兀0—g(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围；

(3)若函数〃(x)=Ax)—g(x)在[1,4]上不单调，求〃的取值范围.

[例6]已知函数/(x)=lnx,g(x)=^ax+b.

(1)若7(x)与g(x)的图象在x=l处相切，求g(x)；

(2)若夕(*)=哆秒一次》)在[1,+oo)上是减函数，求实数机的取值范围.

【对点训练】

1.已知函数1x)=^+*若函数y(x)在[2,+8)上单调递增，则实数。的取值范围为()

A.(一8,8)B.(-8,16]C.(一8,—8)0(8,+~)D.(-°°,-16]U[16,+°°)

2.已知函数式》)=/川一N+x在区间(0,2)上是单调增函数，则实数”的取值范围为.

3.若丫=_¥+1(4>0)在[2,+8)上是增函数，则a的取值范围是.

4.若函数4》)=/+丹”在百，+oo)上是增函数，则实数a的取值范围是.

5.已知函数7U)=sin2x+4cosx一办在R上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.[0,3]B.[3,+oo)C.(3,+oo)D.[0,+oo)

6.若函数g(x)=lnx+52—s—I.存在单调递减区间，则实数6的取值范围是()

A.[3,+oo)B.(3,+oo)C.(—8,3)D.(—oo,3]

7.已知函数段)=lnx+a—b)2g£R)在n岳1可上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是.

8.己知函数於)=一宗+以一31nx在[3t+1]上不单调，则I的取值范围是.

9.(多选)若函数/U)=ar3+3/—x+l恰好有三个单调区间，则实数。的取值可以是()

A.-3B.-1C.0D.2

10.已知二次函数力(1)=奴2+以+2,其导函数y=/f(x)的图象如图所示，J(x)=6lnx+h(x).

⑴求函数段)的解析式；

(2)若函数兀<)在区间(1，，”+乡上是单调函数，求实数加的取值范围.

11.已知函数X,

(1)当。=—2时，求函数yu)的单调递减区间；

2

(2)若函数且⑴/⑴+嚏在“，+8)上单调，求实数。的取值范围.

12.己知函数人1)=廿一0¥^一。(〃£2.

(1)若人外在(0,+8)上单调递减，求。的取值范围；

(2)求证：x在(0,2)上任取一个值，不等式:一士•恒成立(注：e为自然对数的底数)

人eIN

专题05含参函数的单调性讨论

【方法总结】

分类讨论思想研究函数的单调性

讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析

式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主.讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数

符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：

(1)最高次基的系数是否为o,即“是不是”；

(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；

(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”：

(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大

牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大

考点一导主一次型

【例题选讲】

［例1］已知函数式X)=X-HlM(4eR),讨论函数/(X)的单调性.

【对点训练】

1.己知函数＜x)=ahu—依一33昼2.讨论函数的单调性.

2.已知函数危)=lax—ax(aeR),讨论函数於)的单调性.

考点二导主二次型

【方法总结】

此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函