导数与三次函数-专题

导数与三次函数—专题导数与三次函数的关系是中学数学中重要的内容，通过导数可以研究三次函数的单调性、极值等性质。三次函数不仅可以整合其他相关知识，还能体现数学思想方法。近年来，全国各省市的高考试卷也越来越注重考查三次函数的性质，例如单调性、极值、最值等，体现了知识网络交汇点的命题理念。例如，对于函数$f(x)=x^3-3x$，可以求出其单调区间和极值。通过导数求解可得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$解得$x_1=1$和$x_2=-1$。根据导数的符号变化可以得到$f(x)$的单调性和极值，如下表所示：|x区间|f'(x)符号|f(x)单调性和极值||------|---------|------------------||(-∞,-1)|+|极大值||(-1,1)|-|极小值||(1,+∞)|+|无极值|同时，可以求出$f(x)$在闭区间$[0,3]$上的最值。由于$f(x)$只有一个极值点$x=1$，因此$f(x)$在$[0,3]$上的最小值为$f(1)=-2$，最大值为$f(3)=18$。对于变式一$f(x)=x^3+3x^2+3x$，通过导数求解可得$f'(x)=3(x+1)$，因此$f(x)$在$(-∞,+∞)$上单调递增，没有极值。$f(x)$在$[0,3]$上的最小值为$f(0)=0$，最大值为$f(3)=63$。对于变式二$f(x)=x^3+x^2+3x$，通过导数求解可得$f'(x)=3x^2+2x+3$，判别式$\Delta=22-4\times3\times3=-20<0$，因此$f'(x)$没有实数根，$f(x)$在$(-∞,+∞)$上单调递增，没有极值。$f(x)$在$[0,3]$上的最小值为$f(0)=0$，最大值为$f(3)=45$。对于变式三$y_1=t,y_2=x^3-3x$，需要求出$t$取何值时，$y_1$和$y_2$的图象有一个、两个、三个交点。观察$y_2$的图象可得，当$t>2$或$t<-2$时，$y_1$和$y_2$只有一个交点；当$t=-2$或$t=2$时，$y_1$和$y_2$有两个交点。∴fx在，1和2，上递增又因为fx在x处取得极大值5，所以x必须是1或2。⑵由题意可知，y=fx的图象经过点1,0，2,0，所以f1f20，即3a2bc012a4bc0解得a2，b9，c6故fx2x39x26。又因为当x=1时，f(x)取得极值-2，所以f'(1)=0，即3a+c=0。代入f(x)中得f(x)=ax^3-3ax+d。由于f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即d=0。所以f(x)=ax^3-3ax。f'(x)=3ax^2-3a=3a(x^2-1)，所以f(x)的单调区间为(-∞,-1)和(1,∞)，极大值为∞。⑵证明：因为x1，x2∈(-1,1)，所以|x1|<1，|x2|<1。由于f(x)是奇函数，所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)，令y=x1-x2，则|y|<1。所以f(x1)-f(x2)=f(y)=ay^3-3ay。因为f'(1)=0，所以3a+c=0，即c=-3a。代入f(y)中得f(y)=-6ay。因为a≠0，所以f(y)的取值范围为(-∞,0)∪(0,∞)。所以f(x1)-f(x2)<0+4=4，即f(x1)-f(x2)<4恒成立。1.首先，我们可以将文章中的一些数学符号和公式进行修正，使其更加规范和准确。例如，将“3acf1”改为“3a+c=f'(1)”，将“fxax3cx”改为“f(x)=ax^3+cx”，等等。2.删除明显有问题的段落，例如第五段中的“f1f1”，因为这个公式并没有任何意义。3.对每段话进行小幅度的改写，使其更加清晰和易懂。例如，将第一段中的“注意：可用fd”改为“我们可以使用f(x)的形式求出d