北师大版八年级下册数学《14-角平分线(第1课时)》课件

数学导入新课讲授新课当堂练习课堂小结北师大版·八年级下册1.4角平分线第1课时角平分线第一章三角形的证明1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．学习目标情境引入如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.O导入新课1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的

任意一点猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质一讲授新课验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等

性质定理：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：

证明线段相等.应用格式：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC(2)∵

如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.BACPMDE4温馨提示：存在两条垂线段———直接应用ABCP变式：如

图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.D4温馨提示：存在一条垂线段———构造应用ABCP变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面积.D（3）求∆PDB的周长.·AB·PD=28.由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，=1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件知识与方法利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解角平分线的判定二PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.思考：这个结论正确吗？逆命题已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.证明：作射线OP，

∴点P在∠AOB

角的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的对应角相等）.

OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP证明猜想判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.知识总结例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.

GHMABCFED┑┑┑例4如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)ONMABONMABP方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.解：如图所示：归纳总结图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定角的平分线的性质当堂练习2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是

.ABCD3E1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？AOBMNP解：在RT△MOP和RT△NOP中，

OM=ON，

OP=OP，∴RT△MOP≌RT△NOP（HL）.∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.课堂小结角平分线性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段判定定理在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上谢谢！数学北师大版·八年级下册小结与复习第一章三角形的证明(4)___________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.顶角平分线(3)两个_______相等，简称“等边对等角”;底角(2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴;一、等腰三角形的性质及判定1.性质(1)两腰相等;要点梳理2.判定(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“____________”）.等角对等边二、等边三角形的性质及判定1.性质⑴等边三角形的三边都相等;⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于________;⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.60°2.判定⑴三条边都相等的三角形是等边三角形.⑵三个角都相等的三角形是等边三角形.⑶有一个角是60°的___________是等边三角形.等腰三角形(5)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.直角三角形的性质定理1

直角三角形的两个锐角______.互余直角三角形的判定定理1

有两个角______的三角形是直角三角形.互余三、直角三角形

勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2,b2＝c2－a2，.勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a,b(且a＞b)，那么，当第三边c是斜边时，c＝_________；当a是斜边时，第三边c＝_________.四、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的

.即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c

，那么一定有

.平方

[注意]只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边．a2＋b2＝c2五、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝

，那么这个三角形是直角三角形．利用此定理判定直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另两边的

；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是

三角形．到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)说明三角形中有一个角是

；(2)说明三角形中有两边互相

；(3)用勾股定理的逆定理．平方和直角直角垂直

[注意]运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出a2＋b2＝c2之类的错误．c21．互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的

，而第一个命题的结论是第二个命题的

，那么这两个命题叫做互逆命题．2．逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成

，并将结论改成

，便可以得到原命题的逆命题．结论条件结论条件六、逆命题和互逆命题3．逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的

定理．[注意]每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．逆1.线段垂直平分线的性质定理：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等.2.逆定理：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.七、线段的垂直平分线3．常见的基本作图(1)过已知点作已知直线的

；(2)作已知线段的垂直

线．垂线平分4.三角形的三边的垂直平分线的性质：三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等.1.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2.判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线.3.三角形的三条内角平分线的性质：三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的距离相等.八、角平分线的性质与判定考点一等腰（等边）三角形的性质与判定例1

如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证：∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.考点讲练ABCD))12E证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍份关系的重要手段.方法总结1.如图，在△ABC中，AB=AC时，(1)∵AD⊥BC，∴∠____=∠_____;____=____.(2)∵AD是中线，∴____⊥____;∠_____=∠_____.(3)∵AD是角平分线，∴____⊥____;_____=____.BACDBADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD针对训练例2

在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，则在Rt△ABC中，由勾股定理，得又∵S△ABC＝b•BD＝ac，考点二勾股定理在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．方法总结2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25 B.14 C.7 D.7或25针对训练D例3已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．考点三勾股定理的逆定理解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，

c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，

从而a2＋b2＝c2，

故可以判定△ABC是直角三角形．

运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)；③判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．方法总结3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．针对训练

(2)(4)例4判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假．(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上．解：(1)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假．(2)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．其逆命题也是真命题．考点四命题与逆命题针对训练4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.解：（1）逆命题：若x2=1，则x=1．是假命题.（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|．是真命题.解：∵AD

是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD.∵点C在AE

的垂直平分线上，∴AC=CE,∴AB=AC=CE,∴AB+BD=DE.例5

如图，AD是BC的垂直平分线，点C

在AE

的垂直平分线上，AB，AC，CE

的长度有什么关系？AB+BD与DE

有什么关系？ABCDE考点五线段的垂直平分线5.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是

.ABDEC18厘米常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.方法总结针对训练6.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有

（填序号）.①②③例6如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF【分析】先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE

≌Rt△CDF.考点六角平分线的性质与判定ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，

DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.8.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是

.ABCD3E7.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG针对训练9.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

考点七本章的数学思想与解题方法例7

等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为