广东省揭阳、金中2023年高二数学第二学期期末考试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，，且满足，，，对于，，，四个数的判断，给出下列四个命题：①至少有一个数大于1；②至多有一个数大于1；③至少有一个数小于0；④至多有一个数小于0.其中真命题的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③2．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是.由，，，…，可推出（）A． B． C． D．3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A． B． C． D．4．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：，其中.）附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828则下列选项正确的是（）A．有的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有的把握认为使用智能手机对学习无影响5．如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为（）A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟6．已知圆柱的轴截面的周长为，则圆柱体积的最大值为（）A． B． C． D．7．某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（）A． B． C．1 D．28．已知函数满足，函数.若函数与的图象共有个交点，记作，则的值为A． B． C． D．9．如果把个位数是，且恰有个数字相同的四位数叫做“伪豹子数”那么在由，，，，五个数字组成的有重复数字的四位数中，“伪豹子数”共有（）个A． B． C． D．10．若为纯虚数，则实数的值为A． B． C． D．11．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A． B． C． D．12．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量，且，则__________．14．圆：在矩阵对应的变换作用下得到了曲线，曲线的矩阵对应的变换作用下得到了曲线，则曲线的方程为__________．15．如图,在长方体中,,,则三棱锥的体积为____________.16．设,则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2(sinθ+cosθ)，直线l的参数方程为：（Ⅰ）写出圆C和直线l的普通方程；（Ⅱ）点P为圆C上动点，求点P到直线l的距离的最小值．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.（1）证明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.19．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.20．（12分）函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为空集，求的取值范围．21．（12分）为了解甲、乙两奶粉厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两奶粉厂生产的产品中分别抽取16件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号123451701781661761807480777681（1）已知甲厂生产的产品共有96件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．22．（10分）（1）已知，是虚数单位，若，是纯虚数，写出一个以为其中一根的实系数一元二次方程；（2）求纯虛数的平方根．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据对，，，取特殊值，可得②，④不对，以及使用反证法，可得结果.【详解】当，时，满足条件，故②，④为假命题；假设，由，，得，则，由，所以矛盾，故①为真命题，同理③为真命题．故选：A【点睛】本题主要考查反证法，正所谓“正难则反”，熟练掌握反证法的证明方法，属基础题.2、A【解析】

观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；…根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数．【详解】由图可知，，…故选A.【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当时，3、C【解析】

求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.4、A【解析】分析：根据列联表中数据利用公式求得，与邻界值比较，即可得到结论.详解：根据卡方公式求得，，该研究小组有的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.5、A【解析】

分析：由题意可得：yN=，yM=，计算yM﹣yN=sin，即可得出．详解：由题意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin，令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，1．∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间=1×12+=17.5（分钟）．故选A．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.6、B【解析】

分析:设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圆柱体积的最大值．详解:设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤8π，∴圆柱体积的最大值为8π，点睛:(1)本题主要考查圆柱的体积和基本不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.7、B【解析】

锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案.【详解】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小故答案选B【点睛】本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.8、A【解析】分析：根据题意求解，的对称中心点坐标的关系，即两个图象的交点的关系，即可解得答案详解：函数满足，即函数关于点对称函数即函数关于点对称函数与的图象共有个交点即在两边各有个交点，则共有组，故，故选点睛：本题结合函数的对称性考查了函数交点问题，在解答此类题目时先通过化简求得函数的对称中心，再由交点个数结合图像左右各一半，然后求和，本题有一定难度，解题方法需要掌握。9、A【解析】

分相同数字为1，与不为1，再由分类计数原理求出答案。【详解】相同数不为1时，四位数的个位数是1，其他3个相同的数可能是2,3,4,5共4种相同数为1时，四位数的个位数是1，在2,3,4,5中选一个数放在十位或百位或千位上，共有种则共有种故选A【点睛】本题考查排列组合，分类计数原理，属于基础题。10、D【解析】

由复数为纯虚数，得出实部为零，虚部不为零，可求出实数的值．【详解】为纯虚数，所以，解得，故选D．【点睛】本题考查复数的概念，考查学生对纯虚数概念的理解，属于基础题．11、D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.12、D【解析】

选项A错，并无周期变化，选项B错，并不是不断减弱，中间有增强．C选项错，10月的波动大小11月分，所以方差要大．D选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、128【解析】分析：根据二项分布的期望公式，求得，再根据方差公式求得，再根据相应的方差公式求得结果.详解：随机变量，且，所以，且，解得，所以，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关二项分布的期望和方差的问题，在解题的过程中，注意对二项分布的期望和方差的公式要熟记，正确求解p的值是解题的关键.14、【解析】分析：详解：，设为曲线上任意一点，是圆：上与P对应的点，，得，，是圆上的点，的方程为，即.故答案为：.点睛：本题考查了几种特殊的矩阵变换，体现了方程的数学思想.15、3【解析】分析：等体积转化详解：根据题目条件，在长方体中,==3所以三棱锥的体积为3点睛：在求解三棱锥体积问题时，如果所求椎体高不好确定时，往往要通过等体积转化，找到合适的高所对应的椎体进行计算，体现了数学中的转化与化归思想，要深刻体会.16、【解析】

因为,分别令和,即可求得答案.【详解】令.原式化为.令,得,.故答案为:.【点睛】本题主要考查了多项式展开式系数和,解题关键是掌握求多项式系数和的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）(x-1)2+(y-1)2【解析】试题分析：（Ⅰ）由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ试题解析：（Ⅰ）由已知ρ=2(sinθ+cos所以x2+y2=2y+2x由x=2+t,y=-1+t,得y=-1+(x-2)，所以直线l的普通方程为x-y-3=0（Ⅱ）由圆的几何性质知点P到直线l的距离的最小值为圆心C到直线l的距离减去圆的半径，令圆心C到直线l的距离为d，则d=|-1+1-3|所以最小值为32考点：极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系18、（1）见解析；（2）【解析】

（1）由得平面PAE，进而可得证；（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.【详解】（1）证明：连接，因为，为线段的中点，所以.又，，所以为等边三角形，.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：设，则，因为，所以，同理可证，所以平面.如图，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.易知为二面角的平面角，所以，从而.由，得.又由，，知，.设平面的法向量为，由，，得，不妨设，得.又，，所以.设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由于，计算出再通过正弦定理即得答案；（Ⅱ）可先求出，然后利用和差公式即可求得答案.【详解】（Ⅰ）解：，且，∴，又，∴，由正弦定理,得，∴的值为.（Ⅱ）由题意可知，，∴,.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.20、（1）（2）【解析】

（1）由得，分，，三种情况讨论，即可得出结果；（2）先由的解集为空集，得恒成立，再由绝对值不等式的性质求出的最大值，即可得出结果.【详解】解：（1）当时，不等式，即，当时，原不等式可化为，即，显然不成立，此时原不等式无解；当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，即，显然成立，即满足题意；综上，原不等式的解集为；（2）由的解集为空集，得的解集为空集，所以恒成立，因为，所以，所以当且仅当，即时，，所以，解得，即的取值范围是．【点