第一章模糊集合的一般概念课件

第一章

模糊集合的一般概念

§1序言模糊数学是研究和处理模糊现象的科学。模糊现象：大雨、中雨、小雨、多云、收成好、坏、高个子。由于历史原因，人们习惯追求精确性，总希望把事物以数字的形式清楚的表达出来。而对模糊现象用传统数学遇到实质性的困难。计算机：处理计算、解方程。处理模糊现象较差。模糊概念来自模糊现象，模糊性是绝对的、精确性是相对的，精确性是对不精确性的一种分离，这种分离是具有一定意义的，使人们能够对某些事物进行严格定量的表示，建立数学模型。

随着科学的深化，研究对象越来越复杂化，数学模型的复杂化，模糊性逐渐积累，变的不可忽略。精确性和模糊性变成一个突出的矛盾。加利福尼亚大学L.A.Zadeh(扎德)总结出互克性原理：“随着系统复杂性的增加，我们对其复杂性作出精确而有意义的描述能力相应地降低，直到达到一个阈值，一旦超过它，精确性和有意义性几乎成为两个相互排斥的特征。”客观世界的模型不确定性集合论由德国数学家Cantor创立，其创造集合论的重要方法之一就是概括原则：任给一个性质P，便能把所有满足性质P的对象汇在一起，构成一个集合，即：

Cantor集合论要求对象是确定的。要么具有性质P，要么不具有性质P。形成一个二值逻辑。处理没有明确外延的概念，不能构成Cantor集合，没有明确外延的概念就是模糊概念。例：“秃子悖论”公设：若具有n(n是任意自然数)根头发的人是秃子，则具有n+1根头发的人亦秃。基于这个公设，可以证明秃头悖论，任何人都是秃头。证明：采用数学归纳法，（1）仅有一根头发的人自然是秃头；（2）假设n根头发的人是秃头；（3）由公设便知有n+1根头发的人亦秃；（4）由归纳法原理得出结论：任何人都是秃头。原因在于：把一个二值逻辑推理用到一个二值逻辑所不能施行的判断上去。量变蕴涵质变，量变不能用“真”“假”两个字来刻画。“真”——1，“假”——0，二值逻辑把真假绝对化。对模糊概念用1~0不够。用1到0连续变化表示真假程度。Cantor集合：论域U，集合A，元素uFuzzy集合：Fuzzy的发展：1965年，Zadeh提出。应用于理、工、农、医、社会科学。日本：家电。中国：理论80年代出引入。1984，85，87，90年在中国举行会议本课内容：模糊集合的一般概念模糊关系模糊关系方程模糊推理模糊控制教材：模糊集合论及其应用，汪培庄

§2普通集合论的回顾论域：被讨论的全体对象叫做论域。U、

V、X、Y‥‥元素：论域中的每个对象叫元素。u、v、x、y、z‥‥集合：论域中某一部分元素的全体叫做U的一个集合。A、B、C‥‥集合的表示方法：

A={u1,u2,…un}枚举法

A={u|…}|

后是对u的一种解释。例：设A,B是U是的两个集合，若都有：

A叫做B的子集。若且，则A,B相等，A=B。对任意集合。空集：不包含U的任何元素的集合，叫空集φ：幂集：U的一切子集所构成的集合类P(U)

例：U={B,W}P(U)={{B,W},{B},{W},Ф}定义1.1：设De-Morgan定律：集合的性质：定义1.2：记分别称为集合族的并集与交集。①T={1,2}定义1.2同定义1.1②T={1,2…n}n个集合的并③T={1,2…n…}可数个集合的并（其中T为指标集）易证：若称集合单调递增（降）。

记叫集序列的极限。定义1.3

记称为B对A的差集，称A减B。定义1.4

记称A与B的对称差。映射：记号f：U→Vu|→f(u)

表示f从U到V的一个映射。

U：f的定义域，记

叫f的值域。

若f(U)=V称f是从U到V的满射。若对任意总有称f

是单射或一一映射。若f

既是单射又是满射，则称f是从U到V的一一对应。特征函数：任给，确定了从U到{0，1}的映射叫A的特征函数。

图２.1特征函数图任一从U到{0，1}的映射，都唯一确定了一个子集：

A的特征函数u处的值叫做u对A的隶属度。§3模糊子集的定义及运算定义1.5：所谓给定了论域U上的一个模糊子集，是指对任意,都指定了一个数，叫做u

对的隶属程度。映射叫做的隶属函数。模糊子集完全由其隶属函数所刻画。当的值域={0，1}时。变成普通集合的特征函数。蜕变成一个普通子集。记U上全体模糊子集所构成的类为F(U)，有当时，叫真模糊子集，此时至少存在一元素，使例：U={a,b,c,d,e}对每一个元素指定一个隶属度,

，，，，模糊子集，圆块块这一模糊概念在U上的表现:

bcde二、模糊集合的表示方法

1)离散的有限集：如例：设U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，表示“接近5的整数”的模糊子集，则：2)序偶表示法：如3)

函数表示法连续情况:

例：以年龄作为论域，取U=[0，200]，Zadeh给出年轻和年老两个模糊集的隶属函数三、定义1.6

集合的运算（并、交、补）例：

集合的运算可扩展到无限个集合：

对一族实数记当T为有限集：在两种情况下：模糊集的并、交运算一般表示为：与普通集相比较：

补余律：在模糊集合中未必成立。例：摩根律：证明：因为当时：此时，故：若，同样成立。§4.模糊集合与普通集合的相互转化一、截集的定义模糊子集是通过隶属函数来定义的，如果要问模糊集合由那些元素组成的，必须对隶属度取去一定的阈值。这就引出了截集的概念。定义（截集）：设，对任意记叫做的截集。是一个普通集合例：，定义（强截集）：设，对任意记叫做的强截集。是一个普通集合二、截集的性质：性质1：证明:对于无限个集合：证明：若

性质2：①对于②三、分解定理设，由数和模糊集构造一个新的模糊子集，记为，其隶属函数规定为：称为与的数乘。当AP(U)时，。而和截集造成的数乘集合的隶属函数为：分解定理：设，则有

证明：由等式的右边可得：由截集的定义：当

从而故因此例：取截集：可将截集写成模糊集合的形式：关于的隶属函数都是1，于是

由分解定理，又可构成原来的模糊子集定义1.8

对任意，称为的核，称为的支集，称supp

为的边界，非空，称为正规模糊集，否则称为非正规模糊集，从核扩张为的支集。模糊集的隶属函数一、模糊集的隶属函数的确定方法隶属函数不唯一，但相似，在实践中不断修正。１推理法根据模糊集的特性来建立隶属度。例：设模糊集，分别表示等腰三角形，直角三角形，正三角形，试建立

三个模糊集的隶属函数。解：设Ａ，Ｂ，Ｃ为三内角，设论域Ｕ＝｛（Ａ,Ｂ,Ｃ）｜Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝180，Ａ≥Ｂ≥Ｃ｝等腰三角形：两内角相等，Ａ－Ｂ或Ｂ－Ｃ为零时为等腰三角形即：（Ａ－Ｂ）∧（Ｂ－Ｃ）＝０隶属度为１另一极端Ａ＝120，Ｂ＝60，Ｃ＝０即（Ａ－Ｂ）∧（Ｂ－Ｃ）＝60肯定不是，隶属度为０

类似等腰直角三角形非典型三角形

２、模糊统计方法用试验的方法确定:

模糊集，是边界不清晰的模糊集，每次试验对取定是否隶属于作出判断，用一个与相对应，可变的普通集合相对应，可能包含也可能不包含。随着n的增大，其稳定值可作为对的隶属度。§5模糊集运算的其它定义我们定义的算子可一般的表示为广义的与、或，根据实际情况有些学者又提出了不同的算子，它们适合特定的情况，各有优缺点。定义：对定义起并、交运算的一般形式：１）Zadeh算子２）代数和

３）代数积普通乘法４）有界和５）有界差６）有界积７）强制和８）强制积§6模糊度、熵－－不确定性的一种量度定义1.10

映射叫做上的模糊度，如果它满足：⑴⑵⑶若对任意有定义1.11

设记有限论域叫模糊集的熵，此处而是仙农函数可作为模糊度满足模糊度的定义。除满足定义三条要求外，还满足：

（4）

（5）证明:（5）

（不妨设）§7实数域R上的模糊集以实数R作为论域时最重要，最常见的情形，若称为模糊分布。一、正态型实际如测量仪表的读数。二、戒上型三、戒下型定义1.12（凸模糊集）：叫做凸模糊集，如果对任意的实数都有：性质1：①凸模糊集的截集必是区间。②截集均为区间的模糊集必为凸模糊集。证明：①设是凸模糊集，任给，若即则对任意有：从而。这说明，若两点在中，则以这两点为端点的整个区间亦被包含在中，因此只能是一个区间。②反之，设，它的任意截集都