函数的单调性及凹凸性

函数的单调性及凹凸性2023/7/301第1页，课件共20页，创作于2023年2月问题的提出若在区间（a,b)上单调增加若在区间（a,b)上单调减少一、函数单调性的判定法2023/7/302第2页，课件共20页，创作于2023年2月若定理1.

设函数则

在

I

内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在

I

内单调递增.在开区间

I

内可导,证毕2023/7/303第3页，课件共20页，创作于2023年2月例1.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为2023/7/304第4页，课件共20页，创作于2023年2月说明:

单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,2023/7/305第5页，课件共20页，创作于2023年2月单调区间求法⑴问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调。⑵定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间。⑶分界点：导数等于零的点(驻点)和不可导点，可能是单调区间的分界点。⑷单调区间求法:2023/7/306第6页，课件共20页，创作于2023年2月例2.

证明时,成立不等式证:令从而因此且后面证2023/7/307第7页，课件共20页，创作于2023年2月*证明令则从而即2023/7/308第8页，课件共20页，创作于2023年2月2023/7/309第9页，课件共20页，创作于2023年2月另例证2023/7/3010第10页，课件共20页，创作于2023年2月二、曲线的凹凸与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方ABMN2023/7/3011第11页，课件共20页，创作于2023年2月定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.图形是凸的.2023/7/3012第12页，课件共20页，创作于2023年2月曲线凹凸的判定图形分析定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则在

I

内图形是凹的;(2)在

I内则

在I

内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数2023/7/3013第13页，课件共20页，创作于2023年2月证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)证毕2023/7/3014第14页，课件共20页，创作于2023年2月例3.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在

两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,2023/7/3015第15页，课件共20页，创作于2023年2月例4.求曲线的拐点.

解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸2023/7/3016第16页，课件共20页，创作于2023年2月例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点

(0,1)

及均为拐点.凹凹凸2023/7/3017第17页，课件共20页，创作于2023年2月内容小结1.可导函数单调性判别在

I

上单调递增在

I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点2023/7/3018第18页，课件共20页，创作于2023年2月思考与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.

设在2023/7/3019第19页，课件共20页，创作于2023年2月

.2.

曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及作业P1513(1),(7);4(2),(4);8(3),(6);9(3);10;12;13;14