统计学第四章

编辑版编辑版word第四章差异量教学目的：1•理解全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数等概念；2•掌握各种差异量指标的计算方法。数据的分布特征不仅有集中趋势，还有离中趋势。以动态的眼光，从不同的角度看，数据是向中间变动的，也是向两端变动的。两组数据可能平均水平相同，但两组数据的分布特征并不完全相同。【如】：比较下列两组数据A组：88、82、73、76、81B组：92、86、70、72、80两组平均数乂A二XB=80,但Ra=88—73=15,Rb=92-70=22。即A组较集中，B组较分散。因此，我们描述一组数据的分布特征，既要描述其集中趋势，也要描述其离中趋势。差异量：表示一组数据的离中趋势或变异程度的量称为差异量。常用的差异量指标有全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数。第一节全距、四分位距、百分位距一、全距全距：是一组数距中最大值与最小值之差。优点：意义明确，计算方便。缺点：反应不灵敏，易受极端值影响。二、四分位距（一）四分位距的的概念四分位距:是指一组按大小顺序排列的数据中间部位50%个频数距离的一半。Q-Q（）QD=-^21（4.1）QD：表示四分位距；编辑版编辑版wordQ3：表示第三四分位数；Q:表示第一四分位数。1所以：四分位距的公式又为QD=P-P—75252二）四分位数的计算方法1、原始数据计算法（1）将数据由小到大进行排列；（2）分别求出三位四分位数（点）（3）代入公式计算。【例如】：有以下16个数据25、22、29、12、40、15、14、39、37、31、33、19、17、20、35、30，其中四分位距的计算方法如下：（1）先将原始数据从小到大排列好；12、14、15、17、*19、20、22、25、*29、30、31、33、*35、37、39、40Q=181Md=27Q=343⑵求出Q1、Md、Q3；⑶将Q1、Md、Q3的得数代入公式（4.1）。DQ2、频数分布表计算法利用频数分布表计算公式为：P-PQD=（4.2）2关键是分别计算p75和p25,百分位数计算方法掌握了，这里的计算就不会有什么问题。三）优缺点优点：意义明确，不受极端值影响。缺点：反应不灵敏。三、百分位距百分位距：是指两个百分位数之差。常用的百分位距有两种：P90-P1。和P93—P7优点：意义明确，不受极值影响。缺点：反映不灵敏。第二节平均差一、平均差的概念平均差：是指每个数据与本组数据的平均数（或中位数）之差的绝对值的算术平均数（用MD表示）。、平均差的计算方法1、原始数据计算法公式为：工IX-XIMD=(4.3)yN乙IX一MdI或(4.3)如】：求88、82、73、76、81的平均差。解：yXX==(88+82+73+76+81)-5=80Nyix—xiMD==(188—80I+I82—801+173—801N+I76—80I+I81—80I)一5=4.42、频数分布表计算法公式为：yfIX一XIMD=-（4.4）NX：为各组组中值.c90—39590—395编辑版编辑版word【例】：求表4.1中30数据的平均差。表4.130个分数的频数分布表解：（1）解：（1）N5x65+12x75+10x85+3x9530=78.7分数60—70—80—频数51210组中值657585工f|X—X|（2）MD=c=（5X165—78.7I+12XI75—78.7IN+10XI85—78.7I+3XI95—78.7I）-30=7.5三、平均差的优缺点优点：意义明确，反应灵敏。缺点：不适合代数运算。第三节方差和标准差一、方差和标准差的概念1•方差：是一组数据离差平方的算术平均数（用b2表示）。x定义公式为：（4・5）X—X：为离差；Z（x一X）2：为离差平方和。2、方差的方根即标准差（4・6）例：求72,78,80,86的方差和标准差解：（1）求算术平均数编辑版编辑版wordTOC\o"1-5"\h\zEX72+78+80+86”X==二79N4(2)求方差工(X-X)2(72-79)2+(78-79)2+(80-79)2+(86-79)2“b2===25xN4(3)求标准差b=2=i：25=5xx※：标准差的值越大，说明数据越分散。、方差和标准差的计算方法1.原始数据计算法工(X—X)2工X2-2工X-X+EX2b2=xN工X2—工X2—2NX-X+NX2(◎工X=NX).丄X2-NX?丄X2-(EX)2N(0X=莎)N所以得：zX2所以得：zX2yX、

b2=一()2xNN=泌一(竺)2NiN丿(4.7)(4.8)例】：计算80例】：计算80、78、84、80、72的方差和标准差。解：b2x工解：b2x工X2(EX)2=-()2

NN(802+782+842+802+722)—[(80+78+84+80-72)-5]2=15.36b=\15.36=3.9x2.频数分布表计算法公式为：工摂2€—工摂€-)2NCxX：为组中值；c(4.9)(4.10)f：为组频数；fx2：为f个数据的平方和;cfx:为个数据的和。c例题：参看教材48。三、方差和标准差的优缺点：优点：严密确定，反映灵敏，适合代数运算。缺点：不太容易理解，易受两极端值影响。第四节相对差异量一、相对差异量的概念平均差、方差、标准差等都带有单位，是绝对差异量。常常不能对不同组的数据差异直接比较。差异系数：也叫相对差异量，是指同一组数据的标准差与算术平均数的百分比（用CV表示）。公式为：CCV=^xx100%（4.11）XCV值越大，表明数据离散程度越大。二、差异系数的用途1.比较不同单位资料的差异程度。【例题】：某班学生的平均身高为152cm，标准差为5.1cm;平均体重为47公斤，标准差为3.2公斤，问该班学生身高变异大还是体重变异大?解：身高：CV—=X100%—X100%—3.36%X152体重：CV-NX100%—X100%—6.8%X47得：该班学生体重变异大。2.比较单位相同平均数差异较大的两组资料的差程度。【如】：某班语文测验平均分为86.5分，标准差为5.5分；英语平均分为71分，标准差为5分，则：语文：CV=X100%=6.36%86.5英语：CV——X100%=7.04%71所以，英语成绩的变异大。可判断特殊情况：一般CV值在5%〜35%之间。当CV>35时，X可能失去意义；即对各个数据的代表性差当宀<5时,X或bx的计算可能有误。第五节偏态量和峰态量第五节偏态量和峰态量偏态量和峰态量：是判断频数分布是否为正态分布的统计量，是一种粗略指标。正态性检验常用检验、偏态量偏态量有两种计算方法1.皮尔逊指数法SK=X一M0SK=X一M0bx或SK=X一(3Md一2X)_3(X一Md)bb(4.12)(4.13)当SK=0则分布是对称形；当SK>0时，分布为正偏；当SK<0时，分布为负偏。例】:某校200名学生的英语平均分为80分，中位数为82分，标差为8分，其偏态度

为：解：3（X-Md）3x（80-82）SK===-0.75b8x©SK=-0.75<0,•:该校学生的英语分数的分布为负偏态。2.根据动差来计算动差：是指力与力距的乘积（力学中的概念）。工(X-X)3(4.14(4.14)(4.15)b3工f(X-X)3

Nb3x当a3=0时，分布对称；当a3>0时，分布是正偏态；当^3<0时，分布是负偏态。计算a3时，N应大于200.例题：参看教材57页。二、峰态量峰态量：是用于说明分布曲线高狭和低阔程度的量1.用两个百分位距来计算(4.16)P-P(4.16)7525-2(P一P)9010当Ku=0.263时，分布是正态峰；当Ku<0.263时，分布为高狭峰；当Ku>0.263时，分布低阔。表4.1小学二年级80个学生身高的四分位距计算表身高频数身高频数115—1118-32121—=8n12124—10=累计频数计算四分位距1412Q]=126.4022127127—2042Q3=132.84编辑版编辑版word130—133—136—139—142—总和1912806173777980QD130—133—136—139—142—总和1912806173777980QD=3.22【例题】：根据表4.1数据将计算出的卩75=132.84,卩25=126.40,卩90=135.75,卩10=122.5代入公式（4.17），则峰态量为：132.84—126.40K==0.243u2(135.70—122.50)由于K=0.243<0.263,则分布为高狭峰。u2、根据动差来计算工（X-X）4(4.17)=[]4(4.17)x工f（X—X）a=[C]令CT4—3(4.18)4Nx当a4=0时，分布是正态峰；当a4>0时，分布是高狭峰；当a4<0时,分布是低阔峰。计算a4时，N应大于1000，峰态系数方比较可靠。表4.4以平均数为原点四种动差的计算表XX-X(X-X)2(X-X)3(X-X)456-15.5240.25-3723.8857720.1458-13.50182.25-2460.3833215.1361-10.50110.25-1157.6312155.1263-8.5072.25-614.135220.1170-1.502.25-3.385.077420.56.2515.6339.08797.5056.25421.883164.108412.50156.201953.1324414.138412.50156.251953.1324414.138