解题小品与角平分线有关性质及其应用

(江西科范学院数学与计算机科学系外接圆于点A1,则AI=I1A1,AI=I1A1 A1D I1或者01又若PAA1延长线上的一点,或者01

AI=I1A1 I1至于后一命题,只需用同一法便知这是一个很有用的性质,利用它可给某例1 设锐角△ABC的三边长互不相等,O为其外心,点A0段AO的延长,BA0A=∠CA0A,A0AI

AI=PA1,则P为边BC外 A

⊥ACA0

⊥AB垂足分别为

A2 A1 AH⊥BC垂足为H.HAA 旁心证明:如图1,

RA,

求证AC=BA1 A1A1B=A1

1+1+1=2 (2008,中国数学证明:首先,A0BOC四点共圆=A1I1AI=AC AI=I1A1 A1

,2A0BC的外接圆,AOPO据等角对等弦得PB=PC. 又OB=OC,故BC关于直线PO(AO)对称,得AB=AC,AA0∩⊙O=(35(提示fx)(-1,0内严格递x,故fx)1在此区间内至多有一解u∈(-1,0满足f(u)1,f(u)=uxuy=u,f(u22u)=u22uu22u

u+12-1∈(-1,0),u22u≠u,u0,-1,u∈(-1,0),u2+u是(-1,0)内与u不同的又一个不动点u的唯一性矛盾.同理,(0,+

+xfx))=x+fx)+xf(x),x+f(x)xfx)=x+(1+x)fxfx的不动点而,x+( x)f(x)=0.所以,f(x)∞)内f(x)也没有不动点.令x=y,

x.可验证f(x) x满足题意.(x+f(

1+ 1+1 R=2RA-R 2故 =2RA-R=R+(2RA-R)=2RAAM- (AM-R)+ R2AM-R)2·OM ·据对称性,BO∩AC=NCO··=K,R·

ON,R=

BN ABC,OM+ON+OK=1 R+R+R2, 由∠AA2A0=∠AA1A0=90°,得AA2 1+1+1=2A0A1四点共圆BD∥A2A0CD∥A1A0,AB=AD=AC 所以BC∥A2A1于是AHA⊥A1A2Rt△A2AA0Rt△BAD

例23,OIABCBC上的高,I段OD上.求证:△ABC的外接圆半径等于边得A2A=HAA,∠AAA=∠HAC BC上的旁切A0

半径于是∠A2AHA=∠A0AC-所以A2HA⊥AA1.因此HAAA1A2的垂心,△HAA1A2△AA1A2的外接圆半径相等,RA(这里用到三角形的一个性质:Rt△ABC的垂具有相等的外接圆半径).A0BC.设角平分线A0O

(1998, 中数赛:3I1AI1BC于点E、交⊙OM.MBC的中点.I1F⊥BCFAD=AEI1 I1AE=AII1 I1BC于点M.因点D在角平分线A0O上, 则I1F=AD=MOOD=OB=OC=R,DA0BC的内心BA⊥BDCA⊥CDAA0的旁心于是,

AO=A0D=AO+A0D A0 AM+A0I1 MI1=MIMO=I1FABC的外接圆半径等于边BC上的旁切圆半径.例 如图4,在△ABC中,设AB>ACAABC=∠AE1外接圆的切线l.=∠AF1IA为圆心、ACABD,交直线E、F.证明DEDF△ABC的内心与一个旁心(2005,高中数赛)△ABCO,AO的切l,A为圆心、AC为半径作圆,⊙A交ABE1E2,lF1F2.E1F1E2F2的四条边所在直线分别通过△ABC的内心及三个旁心.作为试题时删减了其中的一部分,并强调AB>AC,以利画图和解答的表述.这是一个非常有趣的几何性质.众所周线拴住,而剩下的四个心,又可用一个矩形的四条边线将其挂上.一条线段加上一个矩形,如同北斗七星在天空中的情形一样,其结构以下,AB>AC的情况给出图形和证明(其实在所有情形下结论都成立).证明:15所示∠BAC的平分E1F1于点I.因为AE1=AC,,C、E1关于直线AI对称E1C、F1A, AICF1四点共圆∠CAF1=∠ABCAE1=AF1,∠ACI=∠AEF=180°-∠E=180°-(∠A+∠B)=∠C 据条件知四边形E1F1E2F2形AIF2E1I1联结由(1,CE1AI,∠ICI1=∠IE1I1=9CI1ACB的外角平分线.,I1为边BC外的旁心I2IAI2=90°=∠IF1I2,所以,AIF1I2四点共圆∠F1II2=∠F1AI2=90°-=∠A+∠B+∠C ∠A B=∠C- =∠AE1I-∠ABI=∠E1IBBII2三点共线I2AC外的旁心I3,I3BI3I1I3F2I1=90°=∠I3AI1,,I3F2AI1四点共圆∠I3I1F2=∠I3AF2=∠I2=∠I2IF1=∠BIE1=∠BI1E1,I3B、I1三点共线即BI3I3AB外的旁心此题也可以用对称比定理来证,下面以证(2为例:

1 ∠ (省东莞市东城职业中学对于已知条件中的数学对象,作出有序目增加已知条件增设),这种增设不改变题当问题出现多个元素时,若按一定的规则将其重新排列,则排序本身就给问题增加了一个不等式条件,这样就可以降低问题的抽象度或复杂性,并提供了一个解题的突破口.需要的是,当元素的结构不具对称性,这是需要特别注意的.例120个互不相等的正整数,它100求证它们两两相减收稿日期:2008-04- 修回日期:2008-07-

分析:20个正整数两两相减,其差有190,它们都大于0,且这些差都介于199,99个值.190,99个值,按抽屉原理,190个差中可从考虑,通过计算来构造.虽然我们20个数是哪些数,但可以用证明:作有序化假设,20a1,a2⋯a20若命题不成立,a20-a19,a19-a18,⋯,a2-,12,3,4,56,7,8,92F2E1DA1I1,DBP,使PB=AB.APB=1∠ABC.2

∠A+∠B