两边成比例且夹角相等的两个三角形相似课件

27.2.1相似三角形的判定第二十七章相似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1.

探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理.2.

会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算.(重点、难点)学习目标1.回忆我们学习过的判定三角形相似的方法.类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？2.类似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？导入新课复习引入讲授新课

利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，量出BC及B′C′的长，它们的比值等于k吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC与△A′B′C′有何关系？

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似合作探究两个三角形相似改变k和∠A的值的大小，是否有同样的结论？我们来证明一下前面得出的结论：如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∵∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′.归纳：对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？

不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.

A

B

C思考：

A′

B′

B″

C′结论：

如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.典例精析例1

根据下列条件，判断△ABC

和△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，

∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．解：∵∴又∠A′=∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.1.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.ACBFED证明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，又∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.练一练∴2.

如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，

AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.证明：∵△ABC与△ADE是等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE.ABCDE解：∵AE=1.5，AC=2，

例2

如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.ACBED∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴提示：解题时要找准对应边.证明：∵CD是边AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.例3

如图，在

△ABC

中，CD是边AB上的高，且，求证∠ACB=90°．ABCD∵方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.当堂练习1.判断(1)两个等边三角形相似()(2)两个直角三角形相似()(3)两个等腰直角三角形相似()(4)有一个角是50°的两个等腰三角形相似()×√√×2.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使

△ABC∽△DBA的条件是

()

A.AC:BC=AD:BD

B.AC:BC=AB:AD

C.AB2=CD·BC

D.AB2=BD·BCDABCD3.如图△AEB和△FEC

(填“相似”或“不相似”).

54303645EAFCB12相似当堂练习解析：当△ADP∽△ACB时，AP:AB=AD:AC，∴AP:12=6:8，解得AP=9；当△ADP∽△ABC时，AD:AB=AP:AC，∴6:12=AP:8，解得AP=4.∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．4.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边

AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为

时，△ADP和△ABC相似.ABCD4或9PP5.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，

AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．ABCD解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，

∴，∴6.如图，∠DAB=∠CAE，且AB·AD=AE·AC，求证△ABC∽△AED.

ABCDE证明：∵AB·AD=AE·AC，

∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE

=∠CAE+∠BAE

，即∠DAE=∠BAC，∴

△ABC∽△AED.

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角形相似课堂小结相似三角形的判定定理的运用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数第2课时余弦函数和正切函数学习目标1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.(重点)2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难点)导入新课问题引入ABC

如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.

此时，其他边之间的比是否也确定了呢？讲授新课余弦一合作探究

如图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？ABCDEF我们来试着证明前面的问题：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E，从而sinB=sinE，因此ABCDEF

在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即归纳：ABC斜边邻边∠A的邻边斜边cosA=从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cosα=sin(90°－α)从而有sinα=cos(90°－α)练一练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝

.2.

求cos30°，cos60°，cos45°的值．解：cos30°=sin(90°－30°)=sin60°=；cos60°=sin(90°－60°)=sin30°=cos45°=sin(90°－45°)=sin45°=正切二合作探究

如图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？ABCDEF∴Rt△ABC∽Rt△DEF.即BC·DF=AC·EF

，∠A=∠D，∠C=∠F=

90°，∵∴∴ABCDEF

由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即归纳：∠A的对边∠A的邻边tanA=ABC邻边对边

∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.

如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？想一想：1.如图，平面直角坐标系中，若点P坐标为(3，4)，则tan∠POQ=____.练一练2.如图，△ABC中一边BC与以AC为直径的⊙O

相切与点C，若BC=4，AB=5，则tanA=___.锐角三角函数三例1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.ABC106解：由勾股定理得因此典例精析1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13.sinA=______，cosA=______，tanA=____，sinB=______，cosB=______，tanB=____.练一练2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.sinA=_______，cosA=_______，tanA=_____，sinB=_______，cosB=_______，tanB=_____.在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值ABC6例2

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，

sinA=，求cosA、tanB的值．解：∵又∴

在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值ABC8解：∵

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=，求sinA，cosB的值．练一练∴∴∴1.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是()A.B.C.D.A当堂练习ABC2.随着锐角α的增大，cosα的值()A.增大B.减小

C.不变

D.不确定B当0°＜α＜90°时，cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)3.

已知∠A，∠B为锐角，(1)若∠A=∠B，则cosA

cosB；(2)若tanA=tanB，则∠A

∠B.(3)若tanA·tanB=1，则∠A与∠B的关系为：

.==4.tan30°=

，tan60°=

.∠A+∠B=90°5.sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是()A.tan70°＜cos70°＜sin70°B.cos70°＜tan70°＜sin70°C.sin70°＜cos70°＜tan70°D.cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知s