2022-2023学年广东省惠州市惠城区汝湖中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.计算的结果为()

A.B.C.D.

2.下列二次根式中，是最简二次根式的是()

A.B.C.D.

3.下列计算错误的是()

A.B.C.D.

4.在中，已知，，，则()

A.B.C.D.

5.已知一个直角三角形的两条边长分别是和，则第三边长是()

A.B.C.D.或

6.矩形具有而菱形不具有的性质是()

A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平行D.对角线互相垂直

7.如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是()

A.，B.，

C.，D.，

8.在四边形中，顺次连接四边形四边中点、、、，则四边形的形状是()

A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定

9.直角三角形的两条直角边长分别为和，则连接这两条直角边中点线段的长为()

A.B.C.D.

10.如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在第一象限的角平分线上，从左向右依次记为、、、、，已知第个正方形中的一个顶点的坐标为，则点的纵坐标为()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.计算的结果是______．

12.如果，则的值为______．

13.菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为__________．

14.矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的面积是______．

15.已知：如图，沿着折叠长方形的一边，使点落在边的点处，，，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

计算．

17.本小题分

如图，已知，，，，，求四边形的面积．

18.本小题分

如图，在四边形中，与相交于点，，．

求证：四边形是平行四边形．

19.本小题分

，其中．

20.本小题分

一架方梯长米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙长米，如果梯子的顶端下滑米至，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

21.本小题分

如图，矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、，求证：四边形是菱形．

22.本小题分

已知：在正方形中，点是边上的任意一点，于点，，交于点求证：．

23.本小题分

如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是过点作于点，连接，．

求证：四边形是平行四边形；

当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

故选：．

根据进行计算即可．

此题主要考查了二次根式的化简，关键是掌握．

2.【答案】

【解析】

【分析】

此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．利用最简二次根式定义判断即可．

【解答】

解：原式，不符合题意；

B.原式，不符合题意；

C.原式为最简二次根式，符合题意；

D.原式，不符合题意，

故选C．

3.【答案】

【解析】解：．，故选项A正确，不符合题意；

B.与不能合并，故选项B错误，符合题意；

C.，故选项C正确，不符合题意；

D.，故选项D正确，不符合题意；

故选：．

根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以判断哪个选项符合题意．

本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

4.【答案】

【解析】解：，

，

，

故选：．

根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据三角形三边的表示方法可得．

此题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．

5.【答案】

【解析】解：当是斜边时，第三边长；

当和是直角边时，第三边长；

第三边的长为：或，

故选：．

已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．

本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．

6.【答案】

【解析】解：矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，

所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，

故选：．

分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．

本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形的对角线相等且平分、菱形的对角线垂直且平分是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；

B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；

C、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故符合题意；

D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；

故选：．

根据平行四边形的判定方法即可判断．

本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．

8.【答案】

【解析】解：四边形的形状是菱形，

理由如下：

在中，、分别是、的中点，

故可得：，同理，，，

在四边形中，，

，

四边形是菱形．

故选：．

先由三角形的中位线定理求出四边相等，进行判断．

此题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理．

9.【答案】

【解析】解：如图所示，在中，，，

根据勾股定理得：，

又、是两直角边的中点，

所以

故选C．

由题意可知：，根据勾股定理得：、是两直角边的中点，即为三角形中位线，根据中位线性质即可解答．

此题不但考查了勾股定理，还考查了三角形中位线定理，所以学生要把学过的知识融合起来．要培养整体思维的能力．

10.【答案】

【解析】解：由第一象限的角平分线可得直线与轴的夹角为，

直线、正方形的边与轴围成的三角形是等腰直角三角形，

点的坐标为，

第一个正方形的边长为，第二个正方形的边长为，

点的坐标为，

第二个正方形的边长为，

第三个正方形的边长为，

点的坐标为，

同理可求：

点的坐标为，

点的坐标为，

的坐标为，

的纵坐标为．

故选：．

根据题意可知直线与轴的夹角为，从而得到直线、正方形的边与轴围成的三角形是等腰直角三角形，根据点的坐标为，可依次求出正方形的边长，并得到点坐标的变化规律．

本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及点坐标规律的探索．解题的关键是首先探索出个别点的坐标的变化规律，然后从特殊到一般去发现一般规律，进而利用规律去解决问题．

11.【答案】

【解析】解：原式，

．

故答案为．

本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

12.【答案】

【解析】解：，

，，

，，

．

故答案为．

根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．

本题考查了非负数的性质：算术平方根、偶次方，几个非负数的和为时，这几个非负数都为．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．

【解答】

解：如图所示，菱形中，，，

根据题意得，，

四边形是菱形，

，，

是直角三角形，

，

此菱形的周长为：．

故答案为：．

14.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，

，，

，

是等边三角形，

，

，

，，

矩形的面积，

故答案为：．

根据矩形的性质得出，利用等边三角形的判定和性质和含角的直角三角形的性质解答即可．

此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出解答．

15.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，

，，，

由翻折可知：，

在中，，即，

，

，

设，则，

，

在中，，

即，

解得，

即．

故答案为：．

由矩形的性质和折叠的性质得出，，，求出，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，熟练掌握勾股定理以及翻转变换的性质是解题的关键．

16.【答案】解：

．

【解析】根据二次根式的性质，二次根式的混合运算法则即可求解．

本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，二次根式的混合运算法则是解题的关键．

17.【答案】解：如图所示，连接，

，，，

是直角三角形，

，，

，，，，即，

是直角三角形，，

，

，

，

四边形的面积为．

【解析】连接，根据勾股定理可求出的长，的面积，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，可求出的面积，再根据即可求解．

本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．

18.【答案】证明：，

．

，

，

≌．

，

又

四边形是平行四边形．

【解析】要证四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证，继而需求证≌，由已知条件很快确定，即证．

平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

19.【答案】解：原式

，

把代入得：

原式．

【解析】首先将括号里面进行通分运算，进而利用分式混合运算法则化简，再把已知数代入求出答案．

此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．

20.【答案】解：有梯子长为米，梯子离墙米，由所在直角三角形另一边为：米．

梯子下滑后梯子高端距地面为米，由所在直角三角形中梯子底端与墙距离为米．

所以梯子的底部在水平方向上滑动为米．

【解析】已知墙与地面为直角，利用勾股定理得到梯子斜靠墙不滑时，地面到梯子高端的距离，再利用勾股定理求得梯子的顶端下滑了米时梯子底端到墙的距离，从而求得梯子底部水平滑动的距离．

本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

21.【答案】证明：在矩形中，，

，，

又，

≌，

，

四边形是平行四边形，

，

是菱形．

【解析】根据矩形的性质可得，，然后由“”可得≌，根据全等三角形的性质及菱形的判定方法可得结论．

此题考查的是菱形的判定、垂直平分线的性质及矩形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．

22.【答案】证明：是正方形，

，

，

又，

．

，

．

在与中，

，

≌．

．

，

．

【解析】因为，则可以通过证明≌，从而得到，便得到了．

此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及正方形的各种有关性质．