山西省长治市龙王庙中学2021年高三数学理联考试题含解析

山西省长治市龙王庙中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列叙述中：①在中，若，则；②若函数的导数为，为的极值的充要条件是；③函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到；④在同一直角坐标系中，函数的图象与函数的图象仅有三个公共点．其中正确叙述的个数为（）A．0B．1C．2D．3参考答案：B2.已知复数，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜0 C．0＜a＜1 D．a＜1参考答案：C【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0，虚部小于0，求得答案【解答】解：z=+=2a+（1﹣a）i，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则，解得：0＜a＜1，故选：C．3.设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足，则该双曲线的离心率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.已知等差数列的前项和为，若，等于（

）

．

．

．

．参考答案：C5.若函数，若af（﹣a）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）参考答案：A略6.在三棱锥中，侧棱两两垂直，的面积分别为、、．则三棱锥的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C)

(D)参考答案：【知识点】分类讨论

E8【答案解析】A

解析：由≥对x∈R恒成立，显然a≥0，b≤-ax．若a=0，则ab=0．若a>0，则ab≤a-a2x．设函数，求导求出f(x)的最小值为．设，求导可以求出g(a)的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系8.世界最大单口径射电望远镜FAST于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用，它被誉为“中国天眼”，从选址到启用历经22年．FAST选址从开始一万多个地方逐一审查，最后敲定三个地方：贵州省黔南州、黔西南州和安顺市境内．现从这三个地方中任选两个地方重点研究其条件状况，则贵州省黔南州被选中的概率为（

）A．1 B． C． D．参考答案：D从三个地方中任选两个地方，基本事件总数，贵州省黔南州被选中基本事件个数，∴贵州省黔南州被选中的概率．故选D．9.已知集合A={x∈R|﹣1＜x＜1}，B={x∈R|x?（x﹣2）＜0}，那么A∩B=（）A．{x∈R|0＜x＜1} B．{x∈R|0＜x＜2} C．{x∈R|﹣1＜x＜0} D．{x∈R|﹣1＜x＜2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈R|﹣1＜x＜1}，B={x∈R|x?（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x∈R|0＜x＜1}．故选：A．10.奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】作图题．【分析】根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果．【解答】解：根据题意，可作出函数图象：∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）故选A．【点评】本题主要考查函数的图象和性质，作为选择题，可灵活地选择方法，提高学习效率，培养能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

；参考答案：略12.过原点作曲线的切线，则切线方程为________________.参考答案：略13.已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是

．参考答案：2依题可得x＋y＝21，不妨设x＜y，解得x＝10，y＝11，所以方差为＝2．14.函数的定义域为

．参考答案：试题分析：由，解得：，所以函数的定义域是．考点：函数的定义域．15.过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F的直线l：y=与C只有一个公共点，则C的焦距为，C的离心率为．参考答案：8，2【考点】双曲线的简单性质．【分析】结合双曲线的性质=，0=c﹣4，求出a，c即可．【解答】解：过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，因为过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F的直线l：y=与C只有一个公共点，所以=，0=c﹣4，又因为a2+b2=c2，解得c=3，a=，所以2c=8，e==2，故答案为：8，216.20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪测量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100km的测震仪记录的最大振幅是20，此时标准地震的振幅为0．001，则此次地震的震级为

(精确到0．1，已知）．参考答案：17.已知集合，则_______.参考答案：，，所以。【答案】【解析】三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，直线平面，且，又点，，分别是线段，，的中点，且点是线段上的动点.(1)证明：直线平面；

(2)若，求二面角的平面角的余弦值。参考答案：（1）.连结QM

因为点，，分别是线段，，的中点所以QM∥PA

MN∥AC

QM∥平面PAC

MN∥平面PAC因为MN∩QM=M

所以平面QMN∥平面PAC

QK平面QMN所以QK∥平面PAC

··············7分（2）方法1：过M作MH⊥AN于H，连QH，则∠QHM即为二面角的平面角,令即QM=AM=1所以此时sin∠MAH=sin∠BAN=

MH=

记二面角的平面角为则tan=

COS=即为所求。

···········14分方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，设则A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p(0,2,2),Q(0,1,1),=(0,-1,1),

记，则取

又平面ANM的一个法向量，所以cos=即为所求。

············14分19.如图，在平面四边形ABCD中，．（1）若与的夹角为30°，求△ABC的面积S△ABC；（2）若||=4，O为AC的中点，G为△ABC的重心（三条中线的交点），且与互为相反向量，求的值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得BA?BC的值，可得△ABC的面积S△ABC的值．（2）以O为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设D（x，y），由条件求得点B的坐标，从而求得的值．【解答】解：（1）∵，∴BA?BCcos30°=32，∴，∴．（2）以O为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则A（﹣2，0），C（2，0），设D（x，y），则，因为与互为相反向量，所以．因为G为△ABC的重心，所以，即B（﹣3x，﹣3y），∴，因此=32，即x2+y2=4．∴．20.（12分）

高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛。比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛。已知每盘比赛双方胜出的概率均为

（1）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？

（2）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？参考答案：解析：（1）参加单打的队员有种方法。

参加双打的队员有种方法。

所以，高三（1）班出场阵容共有（种）。………………6分

（2）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，

所以，连胜两盘的概率为

………………12分21.已知函数（1）求的单调区间;（2）设,若对任意,均存在,使得,求实数的取值范围.参考答案：解：

(1).

………………1分①当时，由于，故，所以，的单调递增区间.

………………3分②当时，由，得在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为

………6分（2）由已知，转化为

……………8分因为

………………9分由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.)

……………10分当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，………11分所以，解得.

………12分

22.（本小题满分13分）已知数列满足，，且．（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和．参考答案：（1）∵依题意只需证明，……1分

∵∴

∴只需证……3分

即只需证，即只需证

即只需证或……………………5分

∵不符合∴只需证

显然数列是等差数列，且满足，以上各步都可逆

∴数列是等差数列……………………