广西壮族自治区百色市2023年数学高二下期末检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为虚数单位，则复数=（）A． B． C． D．2．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知当时，在上是“凸函数”，则在上()A．既有极大值,也有极小值 B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值 D．没有极大值,也没有极小值3．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表男女总计好402060不好203050总计6050110由得，.根据表0.0500.0100.0013.8416.63510.828得到下列结论，正确的是（）A．有以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B．有以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”4．已知函数，若只有一个极值点，则实数的取值范围是A． B． C． D．5．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为（）A．18B．24C．30D．366．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．45° D．90°7．若为虚数单位，则的值为（）A． B． C． D．8．在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为，则的系数为（）A．21 B．63 C．189 D．7299．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件10．圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是()A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm11．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为（）A．75% B．96% C．72% D．78.125%12．已知复数满足（为虚数单位），其中是的共轭复数，，则复数的虚部为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知的展开式中的系数为，则__________．14．已知，用数学归纳法证明时，有______．15．已知R上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为__________________.16．用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）若对恒成立，求正整数的最小值.18．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.19．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：.20．（12分）随着智能手机的普及，网络搜题软件走进了生活，有教育工作者认为，网搜答案可以起到帮助人们学习的作用，但对多数学生来讲，过度网搜答案容易养成依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解学生网搜答案的情况，某学校对学生一月内进行网搜答案的次数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女生各100人进行抽样分析，制成如下频率分布直方图：记事件“男生1月内网搜答案次数不高于30次”为，根据频率分布直方图得到的估计值为0.65(1)求的值；(2)若一学生在1月内网搜答案次数超过50次，则称该学生为“依赖型”，现从样本内的“依赖型”学生中，抽取3人谈话，求抽取的女生人数X的分布列和数学期望.21．（12分）已知数列中，，。（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。22．（10分）在一次购物抽奖活动中，假设某张奖券中有一等奖券张，可获得价值元的奖品，有二等奖券张，每张可获得价值元的奖品，其余张没有奖，某顾客从此张奖券中任抽张，求（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得奖品总价值为元的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据复数的除法运算，即可求解，得到答案.【详解】由复数的运算，可得复数，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、C【解析】此题考查函数极值存在的判定条件思路：先根据已知条件确定m的值，然后在判定因为时，在上是“凸函数”所以在上恒成立，得在是单调递减，的对称轴要满足与单调递增单调递减，当时有极大值，当时有极小值所以在上有极大值无极小值3、C【解析】

根据独立性检验的基本思想判断得解.【详解】因为，根据表可知；选C.【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题.4、C【解析】

由，令，解得或，令，利用导数研究其单调性、极值，得出结论.【详解】，令，解得或，令，可得，当时，函数取得极小值，，所以当时，令，解得，此时函数只有一个极值点，当时，此时函数只有一个极值点1，满足题意，当时不满足条件，舍去.综上可得实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.5、C【解析】解：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是C4把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有A3而红球和蓝球恰好放在同一个盒子里有A3∴编号为红球和蓝球不放到同一个盒子里的种数是C426、B【解析】分析：由题意可得，，进而得到与，再由，可得结论.详解：，，，并且，，与的夹角为，故选B.点睛：本题主要考查空间向量夹角余弦公式，属于中档题.解决此类问题的关键是熟练掌握由空间点的坐标写出向量的坐标与向量求模.7、C【解析】试题分析：,选C考点：复数的运算8、C【解析】分析：令得各项系数和，由已知比值求得指数，写出二项展开式通项，再令的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意，解得，∴，令，解得，∴的系数为．故选C．点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在的展开式中二项式系数和为，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为．9、C【解析】解：令导数y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；令导数y′=-x2+81＜0，解得x＞9，所以函数y=-x3+81x-234在区间（0，9）上是增函数，在区间（9，+∞）上是减函数，所以在x=9处取极大值，也是最大值，故选C．10、C【解析】

设出球的半径，根据题意得三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，结合体积公式求解即可．【详解】设球半径为，则由，可得，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了几何体的体积公式的应用，考查学生空间想象能力以及计算能力，是基础题．11、C【解析】

不妨设出产品是100件，求出次品数，合格品中一级品数值，然后求解概率.【详解】解：设产品有100件，次品数为：4件，合格品数是96件，合格品中一级品率为75%.则一级品数为：96×75%＝72，现从这批产品中任取一件，恰好取到一级品的概率为：.故选：C.【点睛】本题考查概率的应用，设出产品数是解题的关键，注意转化思想的应用.12、A【解析】分析：设，利用的共轭复数是，列出方程组求a、b的值即可.详解：设，的共轭复数是，又，，又，，.故选：A.点睛：本题主要考查了复数的共轭复数与代数运算的应用问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：展开式中的系数为前一项中常数项与后一项的二次项乘积，加上第一项的系数与后一项的系数乘积的和，由此列方程求得的值.详解：，其展开式中含项的系数为，解得，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14、【解析】

根据题意可知，假设，代入可得到，当时，，两式相减，化简即可求解出结果。【详解】由题可知，，，所以．故答案为。【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明不等式过程中的归纳递推步骤。15、【解析】

先由图象得出不等式和的解集，再由不等式，得出或两种情况，解出这两个不等式可得出答案．【详解】由图像可知，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，则不等式的解集为，不等式的解集为.由，可得或.解不等式组，得；解不等式组，得.因此，不等式的解集为，故答案为.【点睛】本题考查函数的单调性与导数之间的关系，并求解与导数相关的不等式，解题时要注意导数的符号与函数单调性之间的关系，考查分析问题的能力，属于中等题．16、【解析】分析：根据等式左边的特点，各项数字先递增再递减，分别写出与的结论，即可得到答案.详解：根据等式左边的特点，各项数字先递增再递减，得时，左边时，左边比较两式，等式左边应添加的式子是故答案为点睛：本题主要考查数学归纳法，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)在上单调递增，在上单调递减;(2)5.【解析】分析：（1）对函数求导，分类讨论即可；（2）∵对恒成立，∴，解得或，则正整数的最小值为.即只需要证明当时，对恒成立即可.详解：（1），当时，在上单调递增.当或时，，在单调递减.当且时，令，得；令，得.∴在上单调递增，在上单调递减.（2）∵对恒成立.∴，解得或，则正整数的最小值为.下面证明当时，对恒成立，过程如下：当时，令，得；令，得.故，从而对恒成立.故整数的最小值为.点睛：不等式的证明问题，可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由于，计算出再通过正弦定理即得答案；（Ⅱ）可先求出，然后利用和差公式即可求得答案.【详解】（Ⅰ）解：，且，∴，又，∴，由正弦定理,得，∴的值为.（Ⅱ）由题意可知，，∴,.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.19、（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先利用导数求函数的单调区间，再求的最小值.(2)先求的最小值为,再证明＞0.详解：（1）若，,所以,设，则所以在上为增函数，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为.（2）由题意知当时，显然成立.当时，由（1）知在上为增函数，因为,所以存在唯一的使得，即,所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为,,,当且仅当，即时取等号.代入得，矛盾，所以等号不能成立.所以，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题有两个难点，其一是求得的最小值为,其二是证明＞0，用到了基本不等式，同时要注意取等的问题.20、（1），（2）详见解析【解析】

（1）根据的估计值计算出的值，然后根据频率和为计算出的值；（2）先计算出男、女“依赖型”人数，然后根据超几何分布的概率计算去求解X的分布列和数学期望.【详解】解：（1）由已知得，所以，又因为，所以；（2）样本中男生“依赖型”人数为，女生“依赖型”人数为，的所有可能取值为..的分布列为0123【点睛】本题考查频率分布直方图的理解以及离散型随机变量的均值，难度一般.根据频率分布直方图去求解相应值的时候，注意隐含条件：频率和为；书写分布列的时候注意检验一下概率和是否为.21、(1)见证明；(2)【解析】

（1）由题设条件，化简得到，即可证得数列为首项为，公差为的等差数列，进而求得通项公式．（2）由（1）可得，利用求和公式即可得出．【详解】（1）因为，且，所以数列为首项为，公差为的等差数列.所以，即.（2）因为，所以.【点睛】本题主要考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22、(1);(2).【解析】分析：（1）由题意求出该顾客没有中奖的概率，由此利用对立