大二6系下组合数学第5章_第1页
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文档简介

第5 二项式系数n=

k

n-k k!(n-k)! )对于满足1£k£n-1的所有整数k和n,有n=n-+n-k

k-1 n证明：是n元集合S的k-组合数。S的k-k

nk k S的一个元x,令A是不含x的k-组合的集|A|＝n- |B|＝n-k-

n

= + k

k- 例S={xabc}，X是S的2-A是{a,bc}的2-组合集:{{a,b},{a,cb,则：B={{x,a},{xb},{x,0123456780101234567801111212181881 ……………………

k n-k0 1 nn第2列是三角形数 n

((0,(1,(1,(3,规定：p(00)=1

(0,p(n,k)=p(n-1,k)+p(n-1,k-即p(nk)满足PASCAL三角k

(1,

(3,n

k这是二项式系数 k 定理5.2.1令n是一个正整数xy n

n- (x+y)

x kk=0 (x+y)n=(x+y)xn-kykk=0,1,…,n.下n-k因子是x.因此，等于组合数：kn

n

n- (x+y)

kk=0 n

= k-

n+n++n=2n0 1 n

n n n n - + ++(-1)n =0 1 2 nn+n+=n+n+=2n-

0 1 1 2

nn

k k-1

1

nn-+n-++n-=n2n-

n-

=nkn

k2nk

n 由(1+x) =

k

k=0 n

n =

= k k

k knn-

]=k

k n

k2 k k n 2nk

= n

k=0 S的所有n-C0,C1,…,Cn。有：2nn＝ 另一方面，|C|=n

n = kn-k

k 令r可取任意实数,k可取任意整数,定n的扩展为kr(r-1)(r-k r= k

若k1若k＝0若k£1

n r

r-1r-

k

k-1

k k-r

0（7）+0

k

k-1k …

k- k-k

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