第一、二节差分方程的基本概念-一阶常系数线性差分方程课件

第十章差分方程初步第十章差分方程初步1第十章差分方程初步第一节差分方程的基本概念第二节一阶常系数线性差分方程第三节二阶常系数线性差分方程第四节n阶常系数线性差分方程第五节差分方程在经济学中的应用第十章差分方程初步第一节差分方程的基本概念2第一节差分方程的基本概念一.差分概念给定函数一阶差分二阶差分第一节差分方程的基本概念一.差分概念给定函数一阶差分二阶3例1求函数的解例1求函数的解4二.差分方程定义10.1含有自变量未知函数以及未知函数的差分的方程,称为差分方程.出现在差分方程中的最高阶差分的阶数,称为差分方程的阶.二.差分方程定义10.1含有自变量未知函数以及未知函数的差分5定义10.2含有自变量和两个或两个以上的函数值的方程,称为差分方程.出现在差分方程中的未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶.定义10.2含有自变量和两个或两个以上的函数值的方程,称为差6注两个定义不完全等价例如二阶差分方程一阶差分方程一般用第二定义注两个定义不完全等价例如二阶差分方程一阶差分方程一般用第7三.差分方程的解定义10.3如果将已知函数代入方程使其对成为恒等式,则称为差分方程的解.含有个独立任意常数的解,称为通解.在通解中给任意常数以确定的值而得到的解,称为差分方程的特解.确定任意常数的条件,称为初始条件.三.差分方程的解定义10.3如果将已知函数代入方程使其对成为8求部分一阶差分方程的通解.本章中心任务求部分一阶差分方程的通解.本章中心任务9四.线性差分方程如果n阶线性齐次差分方程如果n阶线性非齐次差分方程重点讨论一般形式四.线性差分方程如果n阶线性齐次差分方程如果n阶线性非齐次差10认方程:一阶线性常系数非齐次差分方程二阶线性常系数非齐次差分方程三阶线性齐次差分方程认方程:一阶线性常系数非齐次差分方程二阶线性常系数非齐次差分11定理10.1五.线性差分方程解的基本定理如果是齐次线性差分方程的个解,则它们的线性组合(是任意常数)也是齐次线性差分方程的解.定理10.1五.线性差分方程解的基本定理如果是齐次线性差分方12定理10.2n阶齐次线性差分方程有n个线性无关的解.如果是n阶齐次线性差分方程的n个线性无关的解,则其通解为(是任意常数).定理10.3n阶非齐次线性差分方程的通解等于其一个特解与对应的齐次方程的通解之和.定理10.2n阶齐次线性差分方程有n个线性无关的解.如果是n13例2求方程的通解.解齐次方程两个线性无关的解齐次方程通解非齐次方程一个特解非齐次方程通解例2求方程的通解.解齐次方程两个线性无关的解齐次方程通解14第二节一阶常系数线性差分方程一.一阶线性常系数齐次差分方程一般形式讨论:设初始条件为则通解公式第二节一阶常系数线性差分方程一.一阶线性常系数齐次差分方15二.一阶线性常系数非齐次差分方程一般形式讨论:设初始条件为则二.一阶线性常系数非齐次差分方程一般形式讨论:设初始条件为则16附证:是的解附证:是的解17以下分四种情况讨论(1)以下分四种情况讨论(1)18通解为:通解为:19例1求差分方程的通解及在下的特解.解由得例1求差分方程的通解及在下的特解.解由得20(2)都是常数(2)都是常数21通解为:通解为:22例2求差分方程的通解.解例2求差分方程的通解.解23待定系数法做题步骤(1)将方程中的系数变为1;(2)根据的具体形式假定特解的形式;(3)将假定的特解代入方程中确定待定系数;(4)写出一阶线性常系数非齐次差分方程的通解待定系数法做题步骤(1)将方程中的系数变为1;(24(3)(是常数,为次多项式)待定系数法求特解其中为待定系数.(3)(是常数,为次多项式)待定系数法求特解其中为待定25例3求差分方程的通解.解设非齐次的特解为代入非齐次方程得齐次通解为故非齐次的通解为例3求差分方程的通解.解设非齐次的特解为代入非齐次方程得26(4)都为已知常数待定系数法求特解其中为待定系数.(4)都为已知常数待定系数法求特解其中为待定系数.27例4求差分方程的通解.解设非齐次的特解为代入非齐次方程得齐次通解为故非齐次的通解为则非齐次的特解为例4求差分方程的通解.解设非齐次的特解为代入非齐次方程得28作业题1.习题十(A)1、2、4、5、6、7.2.习题十(B)1、2、4、5.作业题1.习题十(A)1、2、4、5、6、7.2.习题十(B29本章基本要求1.了解差分与差分方程及其通解与特解的概念.2.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法.3.会用差分方程求解简单的经济应用问题.本章基本要求1.了解差分与差分方程及其通解与特解的概念.2.30本章重