信息光学导论

第四章 标量衍射理论Q的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来，例如由孔径平面上的场分布计算孔径后面任一点处的复振幅．明显，这是一个依据边界值求解波动方程的问题．标量衍射理论◆惠更斯—菲涅耳原理及其数学形式历史上第一个给出求解衍射理论所要解决问题的学者，是法国物理学家菲涅耳(A．J．Fresnel，1788—1827)．他吸取了惠更斯原理中的次波概念，并以光波干预的思想补充了惠更斯原理，提出了“次波相干叠加”的理念，据此成功地解释了衍射现象，它为衍射射次波；波场中任一场点的扰动，是全部次波源所奉献的次级扰动的相干叠加，见以以下图参见上图，设波前上任一面元dS对场点P奉献的次级扰动为dU(p，则场点的总扰动Up按惠更斯—菲涅耳原理应当表达为其中上述积分称为菲涅耳衍射积分式，它可以作为惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式。◆基尔霍夫衍射积分式约六十年后的1880年，德国物理学家基尔霍夫，从定态波场的亥姆霍兹方程动身，利kr1r条件下，导出了无源空间边值定解的表达式，与菲涅耳凭借朴实的物理思想所构造的衍射积分式(*****)尔霍夫的奉献是：f(,)(coscos/2，据此，那些/2的次波面元依0 0然对场点扰动有奉献，即闭合波前面上的各次波源均对场点扰动有奉献．(2)Ki/ei/2/．指出波前面( )并不限丁等相面但凡隔离实在的点光源与场点的任意闭合面都可以作为衍射积分式中的积分面，如图〔a,b,c〕所示．形象地说，立足于场点P而环之门。◆亥姆霍兹方程在自由空间中电磁场(r,t)(r,t)具有波动性，满足波动方程~假设以标量场U(rt)代表六个重量中的任一个，则波动方程表现为而定态波函数的一般形式为~这意味着，定态波场中每点均作谐振动且各点频率一样．而复振幅U(r)是稳定的，仅与位置有关，而与时间无关．代入以上波动方程，得到人们更宠爱写成以下形式U~这便是常常被提到的亥姆霍兹定态波方程．U~据此，可以进一步确认

~(r,t)Aeikret〔平面波解

U(r,t)a

eit/r〔球1面波解〕均满足亥姆霍兹方程。◆基尔霍夫边界条件与傍轴衍射积分公式菲涅耳提出的次波相干叠加的衍射原理，明显不是为了给山自由传播的光场，而是为了求解光通过屏障以后的衍射场．为了将衍射积分面为闭合波前转换为有限的光孔面，基尔霍夫提出了关于边界条件的假设。参见图，取闭合面基尔霍夫提出：无穷远面(

)上的波前对场点的奉献为零，即Up)0．~2 2~光屏面(U~(p)0．U

)是对光的反射和吸取，其上波前函数为零，它对场点无奉献，即11只有光孔面(

~)U”(Q)等于无屏障时~ 0 ~ ~ 0自由传播的光场U0

(Q，即U”(Q)U0

(Q)．据此，衍射积分面便只限于光孔面(

)，衍射积分式简化为0基尔霍夫边界条件的假设，其内容的主要方面是合理和正确的，但从严格的电磁波理对场点的奉献是否为零，结论并不明显．严格的光波衍射理论应当是高频电磁场的矢量波衍射理论．严格理论下的边界状况与内。由于光波长往往远小于光孔线度，故承受基尔程夫边界条件计算远处r区域的衍射场，与实际状况的偏差个大，试验观测也证认了这一点。更常见的状况是在倍轴条件下求解衍射场，参见以以下图．设光屏面xy0 0

)的坐标原点为O，其上次波源Q(x,y0 0

P(x,y。所谓傍轴条件是指倾角,0倾斜因子球面次波函数

0.5rad，于是，得到傍轴条件衍射积分公式，(~

的瞳函数即波前函数U

(Q)，将造成不同的衍射场，而积分核eikr总是这个形式．0至此，我们从菲涅尔提出的次波相干叠加的衍射原理动身，建立了光的标量波衍射理用标量叠加来处理，其近似程度是很好的，由此不难理解标量波衍射理论的使用条件．衍射系统及其分类菲涅耳衍射与夫琅和费衍射但凡使波前上的复振幅分布发生转变的物构造，统称为衍射屏．衍射屏的品种是多种多样的，有透射屏，也有反射屏；有诸如单缝、短孔、圆孔等一类中间开孔型的，也有小球、细丝、跟点、颗粒等一类中间闭光型的；有光栅、波带片等一类周期构造，也有包含景物、数码、字符等信息的黑白底片这类简洁的非周期构造，还有如透镜等一类相位型的衍射屏．以衍射屏为界，整个衍射系统分成前后两局部，如以下图．前场为照明空间，布满照明光波；后场为衍射空间，布满衍射光波．照明光波比较简洁．常用球面波或平面波，这两种于非均匀波，其波场中常有光强起伏而形成衍射图样．(系统)分为两大类，见图所示．一类是菲涅耳衍射，指的是光源一衍射屏、衍射屏一接收屏之的是菲涅耳衍射场．另一类是夫朗和费衍射指的是衍射屏与两者的距离均是无限远的场合，面上的衍射场也是夫琅和费衍射场，此时，衍射屏与点光源或接收屏之距离在现实空间看，光学的意义——傅里叶光学是以夫琅和费衍射为枝杈而生长出来的．单缝夫琅和费衍射◆试验装置与现家试验装置如以下图，平行光照耀单缝，在透镜后焦面上承受夫琅禾费衍射场．设单狭缝的宽度x a，长度y b,ab，试验说明，其衍射强度显著地沿x袖扩展．假设无0 0单缝限制波前，则入射的平行宽光束将聚焦于透镜后焦点经准直系统后，可直接照耀单缝而获得清楚的衍射图样。I()I()，这里是衍射角，用以标定场点P的位置，参见图(a)．的一束平行次波线才能会聚于P点，发生相干叠加而打算了衍射强度．为此，将单缝从其上边AB。每个细缝作为次波源对场点奉献一个小扰动，用一个小矢量表示；这一系列小矢量，长度相等，但取向依次变动，形成一段圆弧；这段圆AB起点A与终点B的两条切线之夹角A边与B边奉献的两个小扰动之间的相位差AB

；而AB

又打算于光程差，由矢量图解(b)的几何关系，求得相干叠加的合成振幅为令：最终得单缝夫琅不费衍射场的振幅分布勺强度分布为A()A0

sinsinI()I0

( )2I0

A2A0

是圆弧AB被拉直了的长度，也正是—系列振动小矢量取向全都时用以度量非等光程方向的衍射振幅．衍射积分法——衍射场U依据标量衍射理论，傍轴衍射积分公式为结合单缝衍射状况，具体化上式参量为~①次波点源Q(x0

，积分面元dsbdx0

，平行光正入射U(x0 0

)A，②经透镜变换，振幅系数

11r f这一点稍后给出证明。③我们要重点处理的是相位因子eikr，参见图(c)，有这里，k0

20

，真空中波数；k2，介质中波数；L0

是坐标原点O动身沿方向到达场点PL(op)，作为参考光程，它在衍射积分过程中是不变的常量，以上推0演过程的实质是，引入了一个参考光程L0

，而将光程的直接计算转化为相对光程差的计算．于是衍射积分表示为其中，积分最终求得单缝夫琅禾费衍射场为其中，abA2f是透镜后焦距．上述结果与矢理内容．◆衍射图样的主要特征由****式，绘制单缝夫琅禾费衍射振幅分相与强度分布曲线于以以下图。单缝夫琅禾费衍射的特征最大值．当x0,sinc(x)sinxx1，为最大值．这在单缝衍射中，表现0时，衍射强I(0)I，为最大值，称其为零级衍射峰，其位置正是几何光学像点位置一—等光程方0位．零点位置．sinc函数存在一系列零点当xk,k0,1,, ,sinc(x)0这在单缝衍射中．表现为当I()0，消灭暗点．上式称为单缝衍射零点条件。次极大．sinc函数在相邻两个零点之间存在一个极大值，其位置和数值可由微分方程d(sinc(x))0导出。结果引山一个三角方程

dx xtan(x)x这可由作图法定解．数值结果列表如下．半角宽度0，零级衍射斑的角范围，由零级衍射峰与其邻近暗点之间的用方位之差值给以度量．称其为零级衍射的半角宽度，即 ，在下行光正入射条件0,sin/a0 1 0 1 1下，故得单缝夫琅禾费衍射的零级衍射我们特别重视零级衍射斑的半角宽度一量，这是由于零级斑集中了全部入射光功率的080％以上，而越大，意味着经单缝以后衍射0 0波越加发散。因此，人们也将这个在后焦面上零级斑扩展的半角宽度，称为衍射发散0角——从单缝这一侧物空间中对待衍射波的布满。单缝宽度的影响．表现为两方面．一是影响半角宽度．比方，缝0a2a，则压缩为/2：二是影响零级0 0衍射峰值I ，这是由于峰值即光强参考值I ，正比于0 0面积(ab)的平方，比方，缝宽a大为2a，则I 增加0为4I 。图***这种演化．0波长的影响．表现为两方面一是影响半角宽度长波对应的 大亦即长波衍射效应更猛烈；0 0二是影响衍射峰值I ，这是由于峰值I 1/2。因此，红光与蓝光相比较，红光衍射的半0 0位置的色调。0关于参考光程打算的相因子eik0L．0在衍射积分过程中它是个常数面提到积分号外，然而它是与场点P()有关的，由于参L000

(op)是从坐标原点O点到场点P的光程，故相因子应当明确表示为eik0L

P)，虽I()中，它并无作用．在以后涉及相干光学信息处理的场合，这个与场点位置有关的相因子将被关注．上述(5)，(6)，(7)所涉及的对衍射场分布的几个影响因子、只有当我们运用衍射积分法时才被提示出来，假设用矢量图解法它们就被埋没了◆关于振幅系数的说明傍轴条件衍射积分公式，傍轴衍射积分式中1r0

来源干球面次波函数eikrrr一量目前也已失去明确意义．我们可以分别在物空间(它是自由空间)与像空间(它也是自由空间)，应用1r关系，重考察振幅传播规律，为此构图如下．单缝上一点源O发出球面波，通过透镜成像于O’点．．在傍轴条件下，入射点M振幅：入射点N振幅：对场点PAP

，满足1r关系，即在这里，我们无视透镜对光能的损耗，AN

A ，于是M利用薄透镜物像距公式代入，便可确定以上椎演与单缝所在位置无关，只要是在后集面上接收衍射场，这个结果总是正确的。矩孔夫琅禾费衍射◆试验装置与场点定位显示矩孔夫琅禾费衍射的试验装置与单缝的一样，平行光照耀矩孔、在后焦面接收衍射(x,y)上。因此，我们首先要明确场点P***(a)．我们可以用接收平面的二维坐标来标定场点，比方P(x,y)；或者，取透镜中心c为参考点，用位置矢量来rp

标定场点；而在衍射问题,

,

中，人们更宠爱用衍射角〔1

)P(2 1

)．这里，2

是Oxc点1x

轴方向的偏向角；

2是Oycy轴方向的偏向角。固然，直角坐标(x,y)与衍射角坐标(,)两者一一对应。1 2在傍袖条件下，这里的(,)就是解析几何中关十一个矢量的方向余弦角．1 2~◆衍射积分运算衍射场U

,)~应用傍轴衍射积分公式(******)dsdxdy0 0

U0

(x,y0

)A，1r1feikr中的相位因子kr——相干于场点P(,)的是从矩孔发出的衍射角为(,)一束次波线，我们引入参考光程入1 2 1 2L(OPL(QP的计算转化为光程差的计算，即0这里，r是两条射线与0

之间的光程差．从几何上看，它等于Q点向0

射线作垂线的 O点的距离，故r应当等于OQL0

方向的投影值，我们将L0

方向的单位矢量记作(cos,cos作

，故投影值r

表达为0 1 2于是，傍轴衍射积分公式中的积分局部在矩孔情形下表达为这里，两个宗量(,)与衍射角(1,2)的关系为最终得到矩孔夫琅和费衍射场和强度分布为◆衍射图样的主要特征衍射峰．当(,)＝(o，o)，有II ，此为衍射强度最大值，称其为零级衍射峰，以其为中1 2 0一次看到，夫琅禾费衍射图样，总是以像点为中心向四周铺展．零点条件．当I(,)0，这些区域是暗的。1 2零级斑的半角宽度)．1 2度．由上式不难确定，矩孔衍射的半角宽度为(1,2)赐予度量．依据以上理论要点，手工绘制矩孔夫琅和费衍射图样与实拍照片图佯是全都的．◆衍射反比律及其意义衍射发散角()与光孔线度和波长的关系，往往写成反比规律形式，1 2这一反比律具有普遍意义，并不限于矩孔．假设限制波前的光孔在某方向的几何线度为