电容和部分电容

电容和部分电容

精品文档电容、部分电容与工作电容——兼答试验1的思索题2陈德智1电容两个导体之间存在电容。

电容的因果关系是这样的:假如导体带电,则在空间产生电场;电场的分布使得两导体消失肯定的电位差,其值与导体带电量成正比。

电容即定义为导体带电量与电压的比值。

因此,电容是对电场的一种集中参数化的描述。

只要电场的分布是确定的,两导体之间的电容也是确定的。

任意两个导体,无论形态差异多大,都有电容存在。

此外,需要说明一点,假如空间只有两个导体,则隐含着两导体带电量必定为和,以满意电荷守恒定律。

当争论多个导体时,各导体的电荷总量也必需满意0。

当系统中消失第三个导体时,用部分电容描述导体两两之间的关联关系。

为叙述便利,把原来的两个导体编号为1、2,把第三个导体编号为0。

此时,导体1、2之间消失部分电容12,对电路来说还有工作电容。

争论三个电容值、12和的数值关系是一个饶好玩味的话题。

2工作电容首先考察工作电容的含义。

无疑,假如只有一对导体编号1、2,将其接入电路中,那么工作电容就等于电容,即导体带电量与电压的比值:。

设若保持两导体的带电量不变,而在场中另外放置一个不带电的导体编号为0,则第三个导体0的消失必定转变空间电场的分布,从而导致电压发生变化,设新的电压值为。

对于连结两个导体1、2的电路来说,它并不知道场中详细发生了什么变化,它只关怀导体上的电荷与导体之间电压的比值,对它而言,工作电容为。

换言之,工作电容就是,在介质中可能存在其它不带电导体的状况下,两个带电导体的电荷与电压的比值;当不存在其它导体的时候,工作电容就是一般的电容。

如图1,工作电容1020;设0号导体不带电,则121020导体1、2带电量分别为、。

依据部分电容公式,有:101012122023又,由电容10和20的串联关系得:101020故:20231020101012121012121212102010201从而:1020。

图工作电容12121020精品文档精品文档现在分析与的大小关系。

前面说到,的转变在于0号导体电荷为0的引入转变了空间电场的分布,从而转变了导体1、2之间的电压。

当0号导体位于无限远处时,它对电场的影响忽视不计,因此也就不转变导体1、2之间的工作电容,=。

当0号导体渐渐移近时,保持导体1、2带电量不变,我们考察1、2号导体之间的电压12的变化。

没有0号导体时有0号导体时图20号导体的引入转变了1、2之间的空间电场为计算12,可以取连结导体1、2表面的任意一条路径对电场积分,如图2中的1和2。

为便于分析,设1的端点和分别为导体1、2表面电场强度最大的点,我们知道,该点的电场强度,,00、为导体表面的自由电荷面密度。

明显,、也分别为导体1和导体2表面电荷面密度的最大值。

当0号导体渐渐移近时,如图2,由于0号导体上感应电荷的影响,导体1上的电荷分布发生转变,点的部分电荷向靠近0号导体的位置例如图中的点四周转移,这样变小;类似的,也变小,从而沿路径1上的电场强度都变小,导致积重量12变小,因此,工作电容变大。

120号导体对工作电容的影响还可以这样理解:两导体之间的电容取决于导体的表面积和它们之间的距离。

当引入第三个导体时,部分介质被短路,因而缩短了导体1、2之间的“电距离”,220从而使等效电容增大。

从力和能量的角度看,导体系统的总能量可表示为;当号导体1222向导体、组成的系统靠近时,它受到系统的吸引力,因此电场做正功,从而电场能量削减,也得出增大的结论。

综上,可以得出结论:引入其他导体时,工作电容。

使用大于等于号“”,是由于存在这样的情形:引入的导体表面刚好填充原来的等位面,则不转变原来的电场分布。

读者可以自己查找这样的例子。

精品文档精品文档2部分电容121依据部分电容的公式110101212,假如将导体跟00导体短接,即令10,则12112100需要留意这个公式和工作电容计算公式的区分。

计12算工作电容时,0号导体不带电;而计算部分电容12时,0号导体带电,它与1号导体带电总量为。

图3部分电容的计算01号导体的带电量0可以看做是与号导体短接后分走的21部分电荷。

设导体带电量仍为,则号导体剩余的带电量为10。

三个导体带电总量03012仍为,如图所示。

可以确定,当号导体渐渐靠近导体、时,它分得的电荷0逐步增多,1导体带电量1逐步削减,电压12也随之下降。

因此,要想保持1不变,唯一的方法是增大电00压12,因此号导体的靠近使部分电容12减小。

号导体分走的电荷量0,在特定条件下可以是全部电荷,从而使12减小到0参见下文的算例1;但是,即使0号导体位于无限远处,023仍可能有0,即12参见下文算例、算例。

3算例验证以下推导全部用完成算例1:在1、2两个导体组成的平行电容器中,插入一个导体板编号为0,分析工作电容和部分电容。

参数如图4所示,设极板面积为;忽视边缘效应。

解:没有导体0时,电容0。

插入导体0后,假如保持导体1、2带电量不变,而导体0不带电,则极板表面的电荷面密度也不转变,从而极板间电场保持不变,1、2之间的电压降变为图4平行板电容器,1212120因此,工作电容01212可见,导体0的插入,相当于等效地减小了极板间距。

10010为计算部分电容12,我们将号导体与号导体短接,此时电压10;导体、之间102无电场,从而导体带电量1,这个结果不因导体无论带电量多少、电位多少而转变,因10此部分电容12。

它说明,导板1、2之间的电相互作用被导体0完全隔断了!这就是静12电屏蔽的效果。

精品文档精品文档1001002当号导体与号导体短接时,10,导体上的电荷全部跑到导体上;导体、之间的电压0220。

由部分电容公式01010202,得到20020202。

同理得到1001。

4从电路的角度看,图中的工作电容可以看做是10与20的串联,计算得到1020010201020010212与前面结果相等。

0这是一个12的例子,我们看到了12。

算例2:如图5,计算距地面高度为的两平行长直输电线之间的部分电容与工作电容,设导线半径为,导线间距为,。

教材128页,。

图5距地面高度为的两平行长直输电线解:不考虑地面影响时,,单位长度输电线之间的电容为0。

考虑地面影响时,对电势系数矩阵求逆,得到单位长度输电线之间的部分电容为242202,0,12224210224222工作电容为0。

2422=10=2=,,时,计得,12,,10。

12,与我们前面的定性分析相符书上给出的计算结果误差稍大。

=,12的关系会更加明显。

例如,取,其它参数不变,,12,。

精品文档精品文档当特别大,例如大到10100,其它参数不变,得到,...12。

可见,地面作为一个无限大的导体平面,其影响是特别显著的。

算例3:把上例中的长直圆柱导体改为半径为的两个导体球,其它参数不变。

解:两个导体球之间的电场分布不能用单一镜像法计算,但是,假如两球距离远大于其半径,则可将电荷近似看做是位于球心处来计算空间电场的分布。

简单得到:1没有地面时的电容当地面不存在时,设导体带电量为,则导体电位分别为1114021所以两球之间电压为111220两球之间的电容为1120工作电容与相同。

图6带电导体球对地面的镜像2存在地面时的电容存在地面时,使用镜像法求解电场分布,仍旧将电荷近似位于球心处。

导体球电位分别为1111142220421所以两球之间电压为精品文档精品文档11111212222204故工作电容为111120222124为计算部分电容,我们令两导体球带同样的电荷,此时,0。

由于对称性,有10121111124222040故12,101,依据部分电容公式,有11111010121210142221004故111141002242由1020,得到1210202340242121111222242图7给出了随着增大时,工作电容和部分电容12的变化状况。

1240:1,1004012:1,20230060080010001200随增大时的变化12随增大时的变化状况74图随增大时,工作电容和部分电容12的变化留意:为便于作图,纵坐标用0进行了归化00可以看到,号导体的引入,使得工作电容增大。

随着的增大,号导体渐渐远离,影0响减弱,减小。

当时,,在意料之中。

随着的增大号导体渐渐远离,部分精品文档精品文档4242电容快速增大,但是,当时,并不收敛到,而是00。

这说1212122明,尽管0号导体远离导体1和2,假如将它与导体1相连,它还是可以分走导体1上的相当一部分电荷。

本题中当大地位于无限远时,还有一种方法计算12。

我们应当记得点电荷在接地导体球1上引起的感应电荷为镜像法的公式;由于两球相距很远,