第五章-多元函数积分学课件

第五章一元函数定积分学(分割;近似;作和;取极限方法)多元函数积分学二重积分曲线积分曲面积分多元函数积分学

扩展

重点研究:二重积分三重积分第五章一元函数定积分学(分割;近似;作和;取极限方法)多元函1第五章多元函数积分学5.1二重积分概念和性质5.2二重积分计算

5.3二重积分简单应用第五章多元函数积分学5.1二重积分概念和性2解法:

用定积分思想解决此问题:5.1.1二重积分的概念例1曲顶柱体的体积

曲顶柱体:底：

xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割;近似代替;求和,取极限”机动目录上页下页返回结束解法:用定积分思想解决此问题:5.1.1二重积分的概31)“分割”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“近似代替”在每个3)“求和”则中任取一点小曲顶柱体机动目录上页下页返回结束1)“分割”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱44)“取极限”令机动目录上页下页返回结束是指一个闭区域上任意两点间距离的最大者.4)“取极限”令机动目录上页下页返回5例2非均匀平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非均匀,仍可用其面密“分割,近似代替,求和,求极限”解决.1)“分割”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.机动目录上页下页返回结束例2非均匀平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy62)“近似代替”中任取一点3)“求和”4)“取极限”则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束2)“近似代替”中任取一点3)“求和”4)“取极限”则第k7两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求两个问题结构形式相同“分割,近似代替,求和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求两个问8定义:将D

任意分成n个小区域任取一点可积,在D上的二重积分.和式极限积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上连续函数,机动目录上页下页返回结束作乘积并作和n个小闭域最大直径,和式极限存在定义:将D任意分成n个小区域任取一点可积,在D上9曲顶柱体体积可写成:平面薄板的质量可写成:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束曲顶柱体体积可写成:平面薄板的质量可写成:如果10二重积分注意的问题:若函数(1)在D上总是可积.在有界闭区域D上连续,则

机动目录上页下页返回结束

(2)二重积分与积分变量无关与被函数和积分区域有关,(3)几何上二重积分等于D上各部分区域上的柱体体积的代数和.(4)用二重积分的方法可扩展三重积分,即:二重积分注意的问题:若函数(1)在D上总是可积.在有界闭区域115.1.2二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则机动目录上页下页返回结束5.1.2二重积分的性质(k为常数)为D的面12特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有机动目录上页下页返回结束特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有137.(二重积分的中值定理)在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使连续,机动目录上页下页返回结束5.2二重积分的计算

二重积分的计算的思想:把二重积分计算转化成两个定积分的计算,二重积分计算问题就解决了.分别讨论直角坐标系下和极坐标系下的二重积分的计算.7.(二重积分的中值定理)在闭区域D上为D的面积,则145.2.1、在直角坐标系下二重积分的计算设曲顶柱体积分区域D为X型区域任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的机动目录上页下页返回结束5.2.1、在直角坐标系下二重积分的计算设曲顶柱体积分区域D15同样,曲顶柱体积分区域D为Y型区域则其体积可按如下两次积分计算机动目录上页下页返回结束同样,曲顶柱体积分区域D为Y型区域则其体积可按如下两次积分16总结利用直角坐标下二重积分计算若D为X–型区域则若D为Y–型区域则机动目录上页下页返回结束总结利用直角坐标下二重积分计算若D为X–型区域则若D17矩形积分区域既是X–型又是Y–型区域:

0abxdcy矩形积分区域既是X–型又是Y–型区域:018例3计算y-22x1-1解:矩形区域既是X–型区域又是Y–型区域,先对哪个变量积分都可以.例3计算y-22x1-1解:矩形区域既是X19例4计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束例4计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算20另一解法:先对y后对x积分,机动目录上页下页返回结束两种解法相当交换积分顺序,即另一解法:先对y后对x积分,机动目录上页21例5.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:由被积函数考虑交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例5.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数22例6更换下列积分I的次序01231解:

转化成y型区域转化成y型区域例6更换下列积分I的次序01235.2.2在极坐标下二重积分的计算在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积及射线

=常数,分划区域D为机动目录上页下页返回结束5.2.2在极坐标下二重积分的计算在极坐标系下,用同心圆24所以机动目录上页下页返回结束又因为所以机动目录上页下页返回结束25设则特别,对机动目录上页下页返回结束设则特别,对机动目录上页下页返回26若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分27例8计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.原式解:利用极坐标机动目录上页下页返回结束例8计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.原式解:利28例9.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束例9.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,29利用例9可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的广义积分公式利用例9的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束事实上,当D中,利用例9可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的广义积30二、空间立体的体积一.平面图形的面积二、平面薄板的重心*三、物体的转动惯量*机动目录上页下页返回结束5.3二重积分的简单应用

5.3.1几何上的应用5.3.2物理及力学上的应用一.平面薄板的质量二、空间立体的体积一.平面图形的面积二、平面薄板的重心31一.平面图形的面积例10求抛物线解D-X型区蜮若f≡1则可求得D的面积若f≡1则可求得D的面积若f≡1则可求得D的面积若f≡1则可求得D的面积若f≡1则可求得D的面积若f≡1则可求得D的面积例10求抛物线例10求抛物线例10求抛物线一.平面图形的面积例10求抛物线解D-X型区蜮若f≡32例11.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动目录上页下页返回结束二、空间立体的体积例11.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:335.3.2物理及力学上的应用

一.平面薄板的量解积分区域看成D-X区域O1xyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy例12设平面薄板的面密度为所围成的平面薄板的质量.求由5.3.2物理及力学上的应用

一.平面薄板的量解34设平面有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有平面区域D,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“分割,近视代替,作和,取极限”可导出其质心机动目录上页下页返回结束二、平面薄板的重心*设平面有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设35将D分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点机动目录上页下页返回结束将D分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各36第五章-多元函数积分学ppt课件37例13.求位于两圆和的质心.

解:利用对称性可知而之间均匀薄片机动目录上页下页返回结束例13.求位于两圆和的质心.解:利用对称性可知而之间均38机动目录上页下页返回结束三、平面薄板的转动惯量*注意:根据力学,质点绕某一定轴旋转的转动惯量I等于质点的质量M与这个质点到这定轴之间距离R的平方的乘积,即:再类似求平面薄板重心的方法得到平面薄板的转动惯量如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动目录上页下页返回结束三、39例14求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,因半圆薄片的质量的转动惯量