《幻方的解题》课件

组合数学

-----幻方

组合数学

如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。四色问题在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。四色问题在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。

当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的在中小学的数学游戏中，有这样一个问题，一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个。他怎样才能把三者都运过河呢？这就是一个很典型、很简单的组合数学问题。

在中小学的数学游戏中，有这样一个问题，一个船夫要把一只狼，一我们还会遇到更复杂的调度和安排问题。例如，在生产原子弹的曼哈顿计划中，涉及到很多工序，许多人员的安排，很多元件的生产，怎样安排各种人员的工作，以及各种工序间的衔接，从而使整个工期的时间尽可能短？这些都是组合数学典型例子。我们还会遇到更复杂的调度和安排问题。例如，在生产原子弹的曼哈库房和运输的管理也是典型的组合数学问题。怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取（如存储时间短的应该放在容易存取的地方）库房和运输的管理也是典型的组合数学问题。怎样安排运输使得库房用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），但是如果用不同形状，而又非方型的砖块来铺一个地面，能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的问题，也涉及到很深的组合数学问题。用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），组合数学又称为离散数学。广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是图论、代数结构、数理逻辑等的总称.组合数学是研究离散结构的存在，计数，分析，和优化等问题的一门学科。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化（最佳组合）等.组合数学又称为离散数学。广义的组合数学就是具体解决以下4个问题：①满足一定条件的安排是否存在。②在确知解存在的前提下，确定一切可能的安排个数。③给出所有可能的安排。④当对不同的安排有优劣标准时，求出最好的安排。简称存在、计数、安排、优化问题。起源于数学消遣和游戏。具体解决以下4个问题：①满足一定条件的安排是否存在。②在确知例1、食堂现有单价分别为1元——9元的菜各一种，按照三种菜为一组分配，须保证每组菜的合计价格都为15元，问有多少种分配方案?例1、食堂现有单价分别为1元——9元的菜各一种，按照三种菜为如何构作幻方？幻方也称纵横图、魔方、魔阵，它是科学的结晶与吉祥的象征，发源于我国古代的洛书——九宫图。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对我国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。如何构作幻方？幻方也称纵横图、魔方、魔阵，它是科学的结晶与吉2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了《幻方的解题》课件龙马背上驮了一幅图，上面有黑白点55个，用直线连成10数（如图)即为“河图”。伏羲依此而演绎成八卦，后为《周易》来源。“河图”龙马背上驮了一幅图，上面有黑白点55个，用直线连成10数（如河图的排列是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中。河图中的点数是五十五，其中一、三、五、七、九是天数，二、四、六、八、十是地数，天数累加是二十五，地数累加为三十，两数之和为五十五。河图中的天数是奇，是阳；地数是偶，是阴，阴阳相索。据古代哲学家的解释，河图中上、下、左、右、中五组数目分别与火、水、木、金、土五行有关。金、木、水、火、土这几种物质基本形态的生成与转换，甚至万物发育都可以从这图上得到启示。由此定义这十个自然数中一、二、三、四、五为生数，六、七、八、九、十为成数。从而得出五行相生之理，天地生成之道。河图的排列是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，黄河支流洛水中，浮现出的神龟，甲上背有9种花点的图案，就是后人称之为的“洛书”。

黄河支流洛水中，浮现出的神龟，甲上背有9种花点的图案，就是后数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治。数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图十三世纪，我国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。目前，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。十三世纪，我国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研（1）洛书与幻方（1）洛书与幻方把“洛书”用数字表达就是下面的数表，这就是我们今天要讨论的一个“幻方”。

492357816把“洛书”用数字表达就是下面的数表，这就是我们今天要讨论的一最早有关幻方的文字记载是中国古代数学书《数术拾遗》，那里记载了上述源自“洛书”的方图，当时称为“九宫图”，我国南宋数学家杨辉称这种图为纵横图，欧洲人称之为魔术方阵或幻方。最早有关幻方的文字记载是中国古代数学书《数术拾遗》，那里记载

长期以来，纵横图被作为一种数字游戏。直到南宋时期，杨辉将她作为一个数学问题而加以深入的研究。杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。长期以来，纵横图被作为一种数字游戏一般地，把n2个不同数字依次填入由n×n个小方格构成的正方形中，使得横行数字之和、直列数字之和以及对角线数字之和都相等，这样的数图叫做一个（n阶）幻方，各直线上数字之和叫幻和。是否对任意自然数n都存在n阶幻方？对每个n存在多少个n阶幻方？如何构作？这就是组合数学研究的问题之一。一般地，把n2个不同数字依次填入由n×n个小方格构成的正方（2）为什么要研究幻方？幻方有多少？

（2）为什么要研究幻方？为什么要研究幻方？幻方起源于古老的传说，自古有一种神秘色彩，人们把她当作护身避邪的吉祥物。许多人热衷于研究幻方，起初，只是因为她包含了无尽的神奇之美，而且，研究幻方本身也是对人的智力的开发。喜欢幻方、研究幻方的人不仅限于数学家，还有物理学家、政治家；不仅有成年人，也有孩子。现代科学家研究幻方，已经远远不是为了好玩或驱灾避邪。电子计算机出现以后，幻方在程序设计、组合分析、人工智能、图论等许多方面发现了新用场。为什么要研究幻方？台湾黎凯旋的《易数浅谈》中有这样的描述：从日本学习飞机知识的台湾驾驶员，第一堂课上的就是幻方知识课，因为幻方的构造原理与飞机上的电子回路设置密切相关。海上漂浮建筑，首先要解决的问题，就是要将建筑面分割成方阵格，每格的建筑重量的确定，需要象构造幻方一样巧妙设计，因为只有各线各方向上的重量处处均衡才能是建筑物不致于倾斜。台湾黎凯旋的《易数浅谈》中有这样的描述：从日本学习飞机知识的幻方中各数若是从1到n2的连续自然数，则称之为标准幻方。n阶标准幻方的幻和为研究幻方，可以分类进行。按照幻方阶数的奇偶性，幻方可以分为奇数阶幻方与偶数阶幻方；偶数阶幻方中，阶数为4的倍数的幻方叫做双偶阶幻方（如4，8，12阶等）;其它的叫单偶阶幻方（如6，10，14阶等）。幻方中各数若是从1到n2的连续自然数，则称之为标准幻方。n阶还有一些特殊性质的幻方:如果一个幻方中的各数换为它的平方数后得到的数图还是幻方，则这个幻方叫做双重幻方或平方幻方；如果一个幻方的各横行、直列、对角线上各数字之积也分别相等，则称之为乘积幻方。还有一些特殊性质的幻方:幻方有多少？

可以很容易地证明，2阶幻方是不存在的。我国南宋时期数学家杨辉早在1275年就给出了3—10阶的幻方。目前，国外已经排出了105阶幻方，我国数学家排出了125阶幻方。幻方有多少？同一阶幻方，可以有多种不同的排法，阶数越大，排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方，我们有：同一阶幻方，可以有多种不同的排法，阶数越大，排法越多。如果不3阶幻方只有1种；4阶幻方有880种；5阶幻方有275305224种（约两亿七千五百万）；7阶幻方有363916800种（约三亿六千四百万）；8阶幻方超过10亿种。3阶幻方只有1种；刚才已经介绍，在阶数大于3时幻方的种类有很多，但能够具体构造出来的却不是很多。下面我们介绍4种构造幻方的通用方法。刚才已经介绍，在阶数大于3时幻方的种类有很多，但能够具体构造（1）杨辉与奇数阶幻方的构造

我国南宋时期数学家杨辉曾对幻方有过深入系统的研究，他于1275年给出了3—10阶的幻方。这里我们给出他关于奇数阶幻方的构造方法，这些方法记载于他的《续古摘奇算经》上。比如，对于3阶幻方，方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进。”，具体操作如下图：（1）杨辉与奇数阶幻方的构造九子斜排

上下对易，左右相更

四维挺进

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类似的原理可以构造5阶、7阶、9阶等奇数阶幻方。下图给出了5阶幻方的构造过程。

九子斜排上下对易，左右相更四维挺进

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25子斜排

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上下对易，左右相更

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上下对易，左右相更

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3四维挺进

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四维挺进

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4411124720341225816175132191018114222361921511247203412258161751321910181112345678910111213141516171819202122232425816357492（2）奇数阶幻方的构造12345678910111213141516171819230

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奇数（不妨n=5）阶的情况第一步:在第一行中间写1第二步:每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一个数，向上移出界时填下一列最后一行的小方格；向右移出界时填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填过数或已达到幻方的右上角时，改填刚才填的格子正下方的小方格，继续第二步直到填完12345678910111213141516171819202122232425如何构造幻方(劳伯尔

)奇数（不妨n=5）阶的情况第一步:在第一行中间写1第二步123456789101112131415161718192021222324251居上行正中央,下数依次右上放。上出格时往下放,右出格时往左放。排重便往自下放,右上出格一个样。123456789101112131415161718192

475869801122334455768799112233444667788102132435456777182031425355666171930415263657616272940516264755262839506172744153638496071733142537485970812132435475869801122334455768799112如果给定一个等差数列，我们也可以按照以上方式依次将数列数字填入方格构造出奇数阶幻方。如果给定一个等差数列，我们也可以按照以上方式依次将数列数字3.偶数阶幻方的海尔(Hire)构造偶数阶幻方的构造总的来说要比较困难。下面介绍的是法国人海尔的方法。为此，我们先引入一个概念：3.偶数阶幻方的海尔(Hire)构造根数——在一个n阶幻方的构造过程中，数字p=1，2，…，n的根数为n(p-1)例如，在四阶幻方中，1的根数为0，3的根数为8；在10阶幻方中，3的根数为20，5的根数为40。下面是海尔构造n阶偶数阶幻方的方法与步骤（以4阶为例具体填数）：根数——在一个n阶幻方的构造过程中，数字p=1，2，…（1）将1到4这4个数字分别从左到右（左小右大）填入方阵的两条对角线中,得方阵A；（2）把A中每一行的空格中填入1到4该行尚没有的剩余数字（左大右小）,使每行每列数字之和均为10,得方阵B；

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23

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41324423142311324方阵A方阵B（1）将1到4这4个数字分别从左到右（左小右大）填入方阵的两（3）把方阵B转置，即交换行列，此时得到方阵C，C中的数叫原始数；（4）把C中各原始数分别用其相应的根数替换，得方阵D；

144132232332411401212084484884120012方阵C方阵D（3）把方阵B转置，即交换行列，此时得到方阵C，C中的数叫原（5）最后将B、D两方阵中对应数分别相加，便得到一个n阶幻方E。11514412679810115133216132442314231132401212084484884120012幻方E（5）最后将B、D两方阵中对应数分别相加，便得到一个n阶幻方三阶幻方的编制和补充四阶幻方的编制和补充三阶幻方有技巧,3数斜着先排好,上下左右要交换,然后各自归位了!

数字依次先排好,

上下中间交叉换,

左右中间交叉换,

其他地方不要变!三阶幻方的编制和补充四阶幻方的编制和补充三阶幻方有技巧,4.双偶阶幻方的构造

对于双偶阶幻方，我们有比较简单的构造方法。为此，我们先给出一个概念：4.双偶阶幻方的构造补数——在一个n阶幻方的构造过程中，数字p=1，2，…，n2的补数为n2+1–p.例如，在四阶幻方中，1的补数为16，3的补数为14；在8阶幻方中，1的补数为64，5的补数为60,10的补数为55。下面我们以8阶幻方为例说明双偶阶幻方的构造方法。补数——在一个n阶幻方的构造过程中，数字p=1，2，…，n2首先将从1到82这82个自然数依次连续填入方阵各方格内（如图）首先将从1到82这82个自然数依次连续填入方阵各方格内（如图12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364123456789101112131415161718192然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数字分别换为各自的补数，得到的方阵即是一个n阶（双偶阶）幻方。然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数64236160675795554121351501617474620214342244026273736303133323435292838392541232244451918484915145253111056858595462631642361606757955541213515016174九宫数图最基本的规律，是其纵横及对角线上三数之和都为15，且九个数相加之和为45，是15的3倍。4923578161.九宫图的奥秘九宫数图最基本的规律，是其纵横及对角线上三数之和都为15，且438+951+276=834+159+672492357816香港业余数学家黄志华先生发现了下面有趣的现象：用幻方中的1，3，9，7顺时针构造四个两位数：97，71，13，39，以及逆时针构造四个两位数：31，17，79，93438+951+276=834+159+67249235他用计算器验算：97+71+13+39=31+17+79+93；他用计算器验算：顺着这种思路，我们构造两个三位数组：139，397，971，713及179，793，931，317．用计算机验算，同样发现

139+397+971+713=179+793+931+317，顺着这种思路，我们构造两个三位数组：139，397，971，

深入研究其数字的排列组合，还可以发现以下规律：①其8组数列中包含4组等差数列：[4、5、6]、[3、5、7]、[8、5、2]、[1、5、9]，以5为中心，逆时针方向，各数列的公差分别为1、2、3、4，这又是一个以1为公差的等差数列。深入研究其数字的排列组合，还可以发现以下规律：②另四组数列也有一定的规律（如图所示），从图中可以看出，这四个数列相邻两数的差颠倒对称，而且四边的数中，均有相邻两数之差为5，且各个数字均不重复，具体为：上[4、9、2]9-4=5；下[8、1、6]6-1=5；左[4、3、8]8-3=5；右[2、7、6]7-2=5。②另四组数列也有一定的规律（如图所示），从图中可以看出，这四③奇数和偶数相互交错排列，四角之数为偶数，中间之数为奇数，同时，中间除5之外的四个数，任何两个之差都为偶数，且分别为四角四个数，具体为：9-7=3-1＝2；9-3=7-1=6；9-1=8；7-3=4③奇数和偶数相互交错排列，四角之数为偶数，中间之数为奇数，同另外：任何一个角上的数都等于与这个数不在同一行、同一列及对角线上的两个数之和的一半。例如，在图中，右上角的“2”等于第2行第1列的“3”与第3行第2列的“1”之和的一半。

492357816另外：任何一个角上的数都等于与这个数不在同一行、同一列及对角2.画家杜拉（AlbrechtDűrer）的铜版画

1514年，著名画家杜拉（AlbrechtDurer）画了一幅描绘知识分子忧郁情调的铜版画《忧郁》（有的书上称为《沉思》），其中载入一个使人入迷的4阶幻方（如下图）。163213510118967124151412.画家杜拉（AlbrechtDűrer）的铜版画16

其引人入胜之处在于她具有许多美妙的性质比如：（1）幻方中间四个角和中心位置四个小正方形中四个数字之和都相等，而且恰好等于该幻方的幻和34；16321351011896712415141其引人入胜之处在于她具有许多美妙的性质比如：1632（2）这个幻方的上下半部，左右半部，各奇数行，各偶数行，各奇数列，各偶数列，两条对角线，全部非对角线的八个数字，不仅其和分别相等（68），而且其平方和也分别相等（748）；16321351011896712415141（2）这个幻方的上下半部，左右半部，各奇数行，各偶数行，各奇（3）两条对角线上各数的立方和等于非对角线上各数的立方和（9248）；16321351011896712415141（3）两条对角线上各数的立方和等于非对角线上各数的立方和（9（4）幻方的最后一行的中间两数字15、14恰好表述了该画的创作年代1514。16321351011896712415141（4）幻方的最后一行的中间两数字15、14恰好表述了该画的创3.陕西历史博物馆二楼展厅陈列着一块刻着印度——阿拉伯数码的铁板，这是1957年在西安东郊元代安西王府遗址出土的。这个蕴含着数字原理的六六幻方，在古代被视为奇妙的神秘之物。人们把它郑重地埋入房基中，用作镇宅和防灾辟邪的吉祥物。3.陕西历史博物馆二楼展厅陈列着一块刻着印度——阿拉伯数翻译如图所示这个幻方每行、每列及两条对角线上的6个数之和都相等，都是111。比如第一行的六个数之和就是

28+1+3+31+35+10=111这个幻方铁板是我国数学史上应用阿拉伯数字的最早实物资料，也是元代西安接受阿拉伯文化影响的具体体现。翻译如图所示这个幻方每行、每列及两条对角线上的6个数之和都相对这个幻方进行了仔细研究，发现这个六阶幻方不是普通的幻方，它还具有两个独特的性质。

其一，该幻方是一个二次幻方。幻方中第一行和第六行中六个数的平方和也相等：

282+42+32+312+352+102=3095

272+332+342+62+22+92=3095

第一列和第六列中六个数的平方和也相等：

282+362+72+82+52+272=2947

102+12+302+292+322+92=2947

这是一般幻方所不具有的特性。对这个幻方进行了仔细研究，发现这个六阶幻方不是普通的幻方，它其二，这个幻方是一个回套幻方。即去掉最外面一层，中间剩下的部分仍然是一个四阶幻方。这个四阶幻方由11—26这16个数组成，其每行，每列及两条对角线上的4个数之和都是74。比如

18+21+24+11=74

20+15+14+25=74

21+12+26+15=74

24+17+19+14=74

28、04、03、31、35、1036、18、21、24、11、0107、23、12、17、22、3008、13、26、19、16、2905、20、15、14、25、3227、33、34、06、02、09其二，这个幻方是一个回28、04、03、31、35、104.百子回归碑设在珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上。百子回归碑是一幅十阶幻方，中央四数连读及“

1999

·

12

·

20

”，标示澳门回归日。百子回归碑是我国碑史上的第一座数字碑。在碑史上只有文字碑、书法碑、符号碑、图画碑、图象碑或无字碑等，这座百子数字碑则为我国碑文化增添了新的一页。4.百子回归碑百子回归碑是我国碑史上的第一座数字碑。在碑史百子回归碑是一部百年澳门简史，记载着百年来澳门沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资料等。如中间两列上部（系十九世纪）：“

1887

”年《中葡条约》正式签署，从此成为葡人上百年（到99年为

100

余

13

年）“永久管理澳门”的法律依据。又如中间两列下部（系二十世纪）：“

49

”年中华人民公和国成立，从此中国人民站起来了；“

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”年香港回归祖国；“

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”年中葡两国正式建立外交关系，澳门主权归属是建交谈判中的主要问题；“

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”年中葡两国互换关于澳门问题的《联合声明》批准书，从此澳门踏上了回归祖国的阳光大道。据最新资料：澳门陆地面积“

23

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50

”平方公里。百子回归碑是一部百年澳门简史，记载着百年来澳门沧桑巨变的重大伊斯兰教徒佩带的玉挂上海博物馆存有一块伊斯兰教徒佩带的玉挂，它是从浦东陆家嘴附近一个名叫陆深的墓中发现的。据考证，陆深是三国时东吴大将陆逊的后人。玉挂的正面刻有：“万物非主，唯其真宰，穆罕默德为其使者。”玉挂的反面却整齐地刻着16个阿拉伯数字，经过专家的破译，原来是个四阶完全幻方。伊斯兰教徒佩带的玉挂上海博物馆存有一块伊斯兰教徒佩带的玉挂，这个幻方具有如下特点：①纵、横、对角线四数之和（34）都相等。②对角线“折断”平行线上四数之和也相等，如：11＋13＋4＋6＝3＋5＋14＋12＝3414＋2＋3＋15＝5＋9＋12＋8＝13＋16＋4＋1＝11＋7＋6＋10这个幻方具有如下特点：③幻方中，任何一个2×2正方形中四数之和也相等。如8＋11＋13＋2＝11＋14＋2＋7＝14＋1＋7＋12＝34④幻方中，任何一个3×3正方形，它的四个角数字之也是34，如：8＋9＋14＋3＝11＋6＋1＋16＝34③幻方中，任何一个2×2正方形中四数之和也相等。如这个幻方具有如下特点：①纵、横、对角线四数之和（34）都相等。②对角线“折断”平行线上四数之和也相等，如：11＋13＋4＋6＝3＋5＋14＋12＝3414＋2＋3＋15＝5＋9＋12＋8＝13＋16＋4＋1＝11＋7＋6＋10这个幻方具有如下特点：用1-100个连续的自然数巧妙组合而成的，主题为“100年沧桑，1997．7．1回归祖国”的“牛”字型幻方群图，由首钢矿山职校教师罗震编制。

香港回归祖国用1-100个连续的自然数巧妙组合而成的，主题为“100年沧弗里安逊的九阶幻方

弗里安逊的九阶幻方“幻方大王”弗里安逊制作的九阶幻方堪称一绝：

这个幻方也有许多独特的性质：

(1)虚线框出的涂粉红色的25个数字，恰好构成一个五阶幻方(幻和值为205)；5,63,21,79,37;55,23,81,39,7;25,73,41,9,57;75,43,1,59,27;45,3,61,19,77“幻方大王”弗里安逊制作的九阶幻方堪称一绝：这个幻方也有许(2)虚线框中没有圈上的数字恰好构成一个四阶幻方(幻和值为164)；

31,11,51,71;49,33,65,17;15,67,35,47;69,53,13,29(2)虚线框中没有圈上的数字恰好构成一个四阶幻方(幻和值为1(3)虚线框内数字(包括边界上的数字)全为奇数；框外数字全部为偶数；

(4)幻方中奇数的末位数字与水平轴线对称；偶数的末位数字也与水平轴线对称．(3)虚线框内数字(包括边界上的数字)全为奇数；框外数5.富兰克林的八阶幻方美国政治家富兰克林（1706—1790）制作过一个8阶幻方（如下图）。它具有许多独特的性质。5.富兰克林的八阶幻方《幻方的解题》课件（1）每半行半列上各数字之和分别相等而且等于幻和（260）之半（130）；（2）幻方四角四个数字与幻方中心四个数字之和等于幻和（260）；52614132029364514362514635301953605122128374411659544338272255587102326394298575641402524506321518313447161644948333217（1）每半行半列上各数字之和分别相等而且等于幻和（260）之（3）上下各两半对角线8数字之和等于幻和。

52614132029364514362514635301953605122128374411659544338272255587102326394298575641402524506321518313447161644948333217（3）上下各两半对角线8数字之和等于幻和。52614136.日本幻方专家片桐善直的八阶幻方6.日本幻方专家片桐善直的八阶幻方这是一个奇特的八阶幻方。它除了具有富兰克林幻方的性质以外，这个幻方还是一个“间隔幻方”，即相间地从大幻方中取出一些数，可以组成小的幻方，比如下面便是其中的两个四阶幻方(它的制作方法，兰色和黄色各为一个幻方)：

我们先把上图中数字逐个间隔地取出来，排成如下面的四阶方阵.这是一个奇特的八阶幻方。它除了具有富兰克林幻方的性质以外，这7.杨辉的九阶幻方我国南宋时期数学家杨辉在他的《续古摘奇算经》上给出的九阶幻方也有许多更为奇特的性质（有些性质是近来才被发现的）。7.杨辉的九阶幻方《幻方的解题》课件（3）若把上述9个3阶幻方的幻和值写在3阶方阵中，又构成一个3阶幻方。这个幻方的九个数分别为首项为111，末项为135，公差为3的等差数列。如果将将这些数按大小顺序的序号写入三阶方阵，所得图表正是“洛书”幻方；

120135114117123129132111126492357816（3）若把上述9个3阶幻方的幻和值写在3阶方阵中，又构成一个(4)将幻方中从外向里看．则每个“回”形上圈里的八个数字与中心数41又分别可构成三阶幻方(共四层，即四个)，即它嵌套着四个三