2023年中考数学试卷 汇编专题09 反比例函数

专题09反比例函数一、单选题1．（2021·山西）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小【答案】D【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．【详解】解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键．2．（2021·四川达州市）在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据k>0判断出反比例函数的增减性，再根据其坐标特点解答即可．【详解】解：∵，∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，∵B（x2，y2），C（x3，y3）是双曲线上的两点，且，∴点B、C在第一象限，0＜y3＜y2，∵A（x1，y1）在第三象限，∵y1＜0，∴．故选：C．【点睛】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，理解基本性质是解题关键．3．（2021·浙江杭州市）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】A【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．4．（2021·天津）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式，即求出的值，即可比较得出答案．【详解】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：、、．则．故选B．【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键．5．（2021·四川乐山市）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为（）A． B．3或 C．或 D．3【答案】A【分析】根据题意，得，，直线：；根据一次函数性质，得；根据勾股定理，得；连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，得，；根据勾股定理逆定理，得；结合圆的性质，得点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得；分或两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得，，即，∵直线过原点和点∴直线：∵在直线上∴∴连接，，∴，线段的中点为点∴，过点作轴的垂线，垂足为点∴∴，，∴∴∴点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心∴∵，∴∵，且∴∴∴∴或当时，和位于直线两侧，即∴不符合题意∴，且∴，∴∴∴故选：A．【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求解．6．（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（）A． B． C．7 D．【答案】A【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平行，从而也可得点F的坐标，根据，即可求得a的值，从而可求得k的值．【详解】如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H∵四边形ABCD是菱形∴CD=AD=AB，CD∥AB∵AB∥x轴，AE⊥CD∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜∵OA⊥AD∴∠DAE+∠GAO=90゜∴∠GAO=∠D∵OA=OD∴△DEA≌△AGO(AAS)∴DE=AG，AE=OG设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a∴A（3a,4a），E(3a,7a)∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴∴四边形AGHF是矩形∴FH=AG=3a，AF=GH∵E点在双曲线上∴即∵F点在双曲线上，且F点的纵坐标为4a∴即∴∵∴解得：∴故选：A．

【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、A、F三点的坐标．7．（2021·江苏扬州市）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①【答案】B【分析】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②．【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，设P（m，），则C（m，），A（m，0），B（0，），令，则，即D（，），∴PC==，PD==，∵，，即，又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD∥AB，故①正确；△PDC的面积===，故③正确；=====，故②错误；故选B．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．8．（2021·浙江宁波市）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，∵点B的横坐标为2，∴点A的横坐标为-2，由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，∴当或时，，故选：C．【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键．9．（2021·浙江金华市）已知点在反比例函数的图象上．若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的图象与性质解题．【详解】解：反比例函数图象分布在第二、四象限，当时，当时，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．（2021·江苏连云港市）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．11．（2021·浙江温州市）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论．【详解】解：如图，设OD=m，∵∴OC=∵轴于点，轴于点，∴四边形BEOD是矩形∴BD=OE=1∴B(m，1)设反比例函数解析式为，∴k=m×1=m设AC=n∵轴∴A（，n）∴，解得，n=，即AC=∵AC=AE∴AE=在Rt△AEF中，，由勾股定理得，解得，（负值舍去）∴故选：B【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．12．（2021·浙江嘉兴市）已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数图像的增减性分析解答．【详解】解：反比例函数经过第一，三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，∴当时，故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的图像性质，利用数形结合思想解题是关键．13．（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】设D点坐标为，表示出E、F、B点坐标，求出的面积，列方程即可求解．【详解】解：设D点坐标为，∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为，∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为，∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，，∴E点坐标为，同理可得C点坐标为，∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为，∵点E为AC的中点，的面积为1，∴，即，可得，，解得，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程．14．（2021·四川自贡市）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A．函数解析式为B．蓄电池的电压是18VC．当时，D．当时，【答案】C【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．【详解】解：设，将代入可得，故A错误；∴蓄电池的电压是36V，故B错误；当时，，该项正确；当当时，，故D错误，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．15．（2021·浙江丽水市）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学【答案】B【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键．二、填空题1．（2021·浙江绍兴市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标．反比例函数（常数，）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是_______．【答案】5或22.5【分析】先设一个未知数用来表示出B、C两点的坐标，再利用反比例函数图像恰好经过B、C、D的其中两个点进行分类讨论，建立方程求出未知数的值，符合题意时进一步求出k的值即可．【详解】解：如图所示，分别过B、D两点向x轴作垂线，垂足分别为F、E点，并过C点向BF作垂线，垂足为点G；∵正方形ABCD，∴∠DAB=90°，AB=BC=CD=DA，∴∠DAE+∠BAF=90°，又∵∠DAE+∠ADE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠DAE=∠ABF，∠ADE=∠BAF，∴≌，同理可证△ADE≌△BAF≌△CBG；∴DE=AF=BG，AE=BF=CG；设AE=m，∵点D的坐标(,2)，∴OE=，DE=AF=BG=2，∴B（，），C（，）,∵，当时，，不符题意，舍去；当时，由解得,符合题意；故该情况成立，此时；当时，由解得,符合题意，故该情况成立，此时;故答案为：5或22.5．

【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、反比例函数的图像与性质、解一元二次方程等内容，解题的关键是牢记相关概念与性质，能根据题意建立相等关系列出方程等，本题涉及到了分类讨论和数形结合的思想方法等．2．（2021·湖南）在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________．【答案】m＜3【分析】根据反比例函数的增减性，列出关于m的不等式，进而即可求解．【详解】解：∵在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，∴m-3＜0，即：m＜3．故答案是：m＜3．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数，在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则k＜0，是解题的关键．3．（2021·湖北武汉市）已知点，在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是__________．【答案】【分析】根据反比例函数的增减性解答．【详解】解：∵，∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，∵点，在反比例函数（是常数）的图象上，且，，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查反比例函数的性质：当时，在每个象限内y随着x的增大而增大；当时，在每个象限内y随x的增大而减小．4．（2021·湖南株洲市）点、是反比例函数图像上的两点，满足：当时，均有，则的取值范围是__________．【答案】k<0【分析】先分析该两点所在的图像的象限和增减性，最后确定k的取值范围即可．【详解】解：因为当时，，说明A、B两点同时位于第一或第四象限，∵当时，均有，∴在该图像上，y随x的增大而增大，∴A、B两点同时位于第四象限，所以k<0，故答案为：k<0．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，解决本题的关键是理解并牢记反比例函数的图像和性质，能根据点的坐标情况分析其图像特点等，涉及了数形结合的思想方法．5．（2021·陕西）若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是______（填“>”、“=”或“<”）【答案】<【分析】先根据不等式的性质判断，再根据反比例函数的增减性判断即可．【详解】解：∵∴即∴反比例函数图像每一个象限内，y随x的增大而增大∵1<3∴<故答案为：<．【点睛】本题考查反比例函数的增减性、不等式的性质、熟练掌握反比例函数的性质是关键．6．（2021·浙江宁波市）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．【答案】或【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．【详解】解：根据题意，∵点称为点的“倒数点”，∴，，∴点B不可能在坐标轴上；∵点A在函数的图像上，设点A为，则点B为，∵点C为，∴，①当点B在边DE上时；点A与点B都在边DE上，∴点A与点B的纵坐标相同，即，解得：，经检验，是原分式方程的解；∴点B为，∴的面积为：；②当点B在边CD上时；点B与点C的横坐标相同，∴，解得：，经检验，是原分式方程的解；∴点B为，∴的面积为：；故答案为：或．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．7．（2021·云南）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为_________．【答案】【分析】先设，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．【详解】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），∵函数经过点（1，-2），∴，得k=-2，∴反比例函数解析式为，故答案为：．【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．三、解答题1．（2021·湖北随州市）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数（）的图象交于点，．（1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接，求的面积．【答案】（1），；（2）3【分析】（1）将点C、D的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，从而点D纵坐标已知，将点C、D的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得k、b的值，从而两个函数解析式可求；（2）求出点B的坐标，可知OB的长，利用三角形的面积公式可求三角形BOD的面积．【详解】解：（1）∵双曲线（m>0）过点C（1，2）和D（2，n），∴，解得，．∴反比例函数的解析式为．∵直线过点C（1，2）和D（2，1），∴，解得，．∴一次函数的解析式为．（2）当x=0时，y1=3，即B（0，3）．∴．如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E．∵D（2，1），∴DE=2．∴【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二元一次方程组、三角形的面积等知识点，熟知解析式、点坐标、线段长三者的相互转化是解题的关键．2．（2021·湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．（1）求；（2）直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积．【答案】（1）；（2）的面积【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，由题意易得，进而可得，然后可得点，最后问题可求解；（2）由（1）可先求出直线AC的解析式为，然后联立直线AC的解析式与反比例函数，进而可得点D的坐标，最后利用割补法求解三角形的面积即可．【详解】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：∵，，，∴，，∴，∴，∴在Rt△AEC中，，∵点O是BC的中点，∴OC=2，∴OE=1，∴，∴；（2）由（1）可得：，，∴设直线AC的解析式为，则把点A、C代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为，联立与反比例函数可得：，解得：（不符合题意，舍去），∴点，∴．【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．3．（2021·四川广安市）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．【详解】解：（1）由题意可得：点B（3，-2）在反比例函数图像上，∴，则m=-6，∴反比例函数的解析式为，将A（-1，n）代入，得：，即A（-1，6），将A，B代入一次函数解析式中，得，解得：，∴一次函数解析式为；（2）∵点P在x轴上，设点P的坐标为（a，0），∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，∴直线AB与x轴交于点（2，0），由△ABP的面积为4，可得：，即，解得：a=1或a=3，∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．4．（2021·浙江杭州市）在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点A，点A关于轴的对称点为点．（1）若点的坐标为，①求，的值．②当时，直接写出的取值范围．（2）若点在函数（是常数，）的图象上，求的值．【答案】（1）①，；②；（2）0【分析】（1）①根据点A关于轴的对称点为点，可求得点A的坐标是，再将点A的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得，；②观察图象可解题；（2）将点B代入，解得的值即可解题．【详解】解（1）①由题意得，点A的坐标是，因为函数的图象过点A，所以，同理．②由图象可知，当时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，即当时，．（2）设点A的坐标是，则点的坐标是，所以，，所以．【点睛】本题考查关于y轴对称的点的特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·山东临沂市）已知函数（1）画出函数图象；列表：x．．．．．．y．．．．．．描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；（3）设是函数图象上的点，若，证明：．【答案】（1）见解析；（2）有，当时，最大值为3；当时，函数有最小值；（3）见解析【分析】（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y值，列表，在图像中描点，画出图像即可；（2）观察图像可得函数的最大值；（3）根据，得到和互为相反数，再分，，，分别验证．【详解】解：（1）列表如下：x．．．-3-2-101234．．．y．．．-1-3031．．．函数图像如图所示：

（2）根据图像可知：当x=1时，函数有最大值3；当时，函数有最小值；（3）∵是函数图象上的点，，∴和互为相反数，当时，，∴，，∴；当时，，则；同理：当时，，，综上：．【点睛】本题主要考查正比例函数，反比例函数的图像和性质，描点法画函数图像，准确画出图像，理解是解题的关键．6．（2021·安徽）已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A（m，2）．（1）求k，m的值；（2）在图中画出正比例函数的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

【答案】（1）的值分别是和3；（2）或【分析】（1）把点A（m，2）代入求得m的值，从而得点A的坐标，再代入求得k值即可；（2）在坐标系中画出的图象，根据正比例函数的图象与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称，求得另一个交点的坐标，观察图象即可解答．【详解】（1）将代入得，，，将代入得，，的值分别是和3．（2）正比例函数的图象如图所示，∵正比例函数与反比例函数的图象都经过点A（3，2），∴正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为（-3，-2），由图可知：正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围为或．【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合题，利用数形结合思想是解决问题的关键．7．（2021·浙江）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．（1）如图1，过点作轴于点，连结．①若，求证：四边形是平行四边形；②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解；（2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）①证明：设点的坐标为，则当时，点的坐标为，，轴，，∴四边形是平行四边形；②解：过点作轴于点，轴，，，，∴当时，则，即．；（2）解不改变．理由如下：过点作轴于点与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，OH=b，由题意，可知四边形是平行四边形，∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，∴，，即，∴，，解得，异号，，，．∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．（2021·四川乐山市）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．【答案】（1）20；（2）能，见解析【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，∴，∴．将x=45代入得：点对应的指标值为．（2）设直线的解析式为，将、代入中，得，解得．∴直线的解析式为．由题得，解得．∵，∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。9．（2021·重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．…012345……654217…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：________，_________，__________；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．【答案】（1）；3；4；（2）作图见解析；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；（3）或【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，再根据表格代入求解其余参数即可；（2）根据作函数图象的基本步骤，在网格中准确作图，然后根据图象写出一条性质即可；（3）结合函数图象与不等式之间的联系，用函数的思想求解即可．【详解】（1）由表格可知，点在该函数图象上，∴将点代入函数解析式可得：，解得：，∴原函数的解析式为：；当时，；当时，；故答案为：；3；4；（2）通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示；根据图像可知：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；（3）要求不等式的解集，实际上求出函数的图象位于函数图象上方的自变量的范围，∴由图象可知，当或时，满图条件，故答案为：或．【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题关键．10．（2021·四川自贡市）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质．列表如下：x…01234…y…a0b…（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：①当时，函数图象关于直线对称；②时，函数有最小值，最小值为；③时，函数y的值随x的增大而减小．其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号）（3）结合图象，请直接写出不等式的解集_________．【答案】（1），，画出函数的图象见解析；（2）②；（3）【分析】（1）把和分别代入函数解析式，即可求得a、b的值，再利用描点法作出图像即可；（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求得即可．【详解】解：（1）当时，，当时，，∴，，画出函数的图象如图：（2）①函数图象关于直线对称，原说法错误；②时，函数有最小值，最小值为，原说法正确；③时，函数y的值随x的增大而减小，则原说法正确．其中正确的是②，③．故答案为：②，③；（3）画出直线，由图象可知：当时，函数的图象在直线的上方，∴不等式的解集为．故答案为：．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．11．（2021·四川遂宁市）如图，一次函数＝kx＋b（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（－2，a），与y轴交于点M．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；（3）将直线向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值时，求x的取值范围．【答案】（1）y1＝x＋1；；（2）N（0，7）或（0，－5）；（3）－2＜x＜－1或1＜x＜2【分析】（1）先用待定系数法求反比例函数解析式，再求出B点坐标，再求一次函数解析式即可；（2）根据面积求出MN长，再根据M点坐标求出N点坐标即可；（3）求出直线y3解析式，再求出它与反比例函数图象的交点坐标，根据图象，可直接写出结果．【详解】解：（1）∵过点A