2023年中考数学一轮复习考点 函数中的折叠问题（巩固篇）

专题3.18函数中的折叠问题（巩固篇）

一、单选题

1.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、0C分别落在x轴，y轴

上，连0B,将纸片OABC沿0B折叠，使点A落在A，的位置，若0B=百，tanZBOC-y,

则点A，的坐标（）

2.如图，已知点A的坐标为（-3,9）,过点A作x轴的垂线交x轴于点8,连接A。，现

将AABO沿A。折叠，点8落在第一象限的"处，则直线AB'与x轴的交点。的坐标为（）

A.（5,0）B.C（36，°）D.

3.在平面直角坐标系中，直线y=-卷x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，点

C（0,a）（0<a<5）是），轴上一点.把坐标平面沿直线AC折叠，使点8刚好落在x轴上，则a

值为（）.

12r5-13-5

A.—B.—C.—D.—

512513

4.如图菱形。4BC,在平面直角坐标系中，点A（8,0）,ZC=60°,点P为。4上的一

点，且点尸（3,0）,。是BC边上的一个动点，将四边形OPQC沿直线P。折叠，O的对应

点。，当80,的长度最小时，则点。的坐标为（）

A.(-1,473)B.(-2,473)C.(-3,4。)D.(0,4g)

5.如图，在RtABC中，ZABC=90°,AB=2BC=4,动点P从点A出发，以每秒1

个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作P。工A8

交AC于点。，将沿直线也折叠得到&APQ,设动点尸的运动时间为f秒，,A'PQ与

4?C重叠部分的面积为S,则下列图象能大致反映S与f之间函数关系的是（）

6.将抛物线y=x2-2x-3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为()

A.y=-x2+2x+3B.y=-x2-2x-3C.y=x2+2x-3D.y=x2-2x+3

7.如图，矩形ABC。中，AB=3,8C=5,点尸是BC边上的一个动点（点P不与点8,

C重合），现将△PC。沿直线PO折叠，使点C落下点。处；作N8PG的平分线交AB于点

E.设8P=x,BE=y,那么y关于x的函数图象大致应为（）

8.如图，在平面直角坐标系火力中，正方形。4BC的边。C、分别在X轴和y轴上,

0A=5,点。是边AB上靠近点A的三等分点，将△Q4。沿直线。。折叠后得到△0VQ,

9.如图，以矩形OABC的长0C作x轴，以宽。4作.丫轴建立平面直角坐标系，

0A=4,OC=8,现作反比例函数了=4(%*0)交BC于点E,交A8于点F,沿E尸折叠，点

X

B落在0C的点G处，0G=3GC,则左的值是()

A.8B.12C.15D.16

10.如图，矩形AO8C的两条边。4,OB分别落在x轴、J轴上，A点坐标为(-8,0),

8点坐标为(0,10),点。在线段BC上，沿直线AD将矩形折叠，使点C与y轴上的点E重

合，则点。的坐标为()

V

A.(-3,10)B.(-1,10)C.(-5,10)D.(3,10)

二、填空题

12

11.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-gx+12,与y、X轴分别相交于A8两点,

将.AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在X轴负半轴上的点A处，，折痕所在直线交y轴

正半轴于点C.把直线AB向左平移，使之经过点C,则平移后直线的函数关系式是

12.如图，在直角坐标系中有一矩形ABC。，AB在丫轴上，且/W=4,AO平行于x轴,

且A£>=5,将矩形458沿。。折叠，使得点A落在BC边上的点E处，尸是*轴上一动点,

则PA+PD的最小值为.

13.如图，抛物线y=-x?+x+6交x轴于A、8两点(A在B的左侧)，交>轴于点C,点

。是线段AC的中点，点尸是线段AB上一个动点，沿。尸折叠得△A'PD,则线段A'B

的最小值是.

14.在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)jg经过原点0,与x轴的另一个交点为A.将

抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象

组成的新图象记为G,过点B(0,l)作直线1平行于x轴，当图象G在直线1上方的部分对应的

函数y随x增大而增大时，x的取值范围是—.

15.将抛物线y=-x2-4x(-4WxS0)沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y=x+b

与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为.

16.如图，在平面直角坐标系中，矩形点3(10,8),点。在3c边上，连接AO,

把沿折叠，使点8恰好落在OC边上点E处，反比例函数的图像经过点。，则火

17.如图，把面积为1的正方形纸片ABCD放在平面直角坐标系中，点B、C在x轴

上，A、D和B、C关于y轴对称将C点折叠到y轴上的C处，折痕为BP,现有一反比例

函数的图象经过P点，则该反比例函数的解析式为.

18.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，OA=8,点D为对角

线OB的中点，若反比例函数y="在第一象限内的图象与矩形的边BC交于点F,与矩形

X

边AB交于点E,反比例函数图象经过点D,且tan/BOA=g,设直线EF的表达式为

y=k2X+b.将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕与x轴正半轴交于点H,与y轴正半轴交

于点G,直接写出线段OG的长.

三、解答题

19.如图，在直角坐标系中，长方形纸片ABC。的边AB〃CO,点8坐标为(9,3),若

把图形按如图所示折叠，使8、。两点重合，折痕为EF.

(1)求证：所为等腰三角形；

(2)求E尸的函数表达式

(3)求折痕EF的长.

20.如图，矩形A8C0中，点C在x轴上，点4在)，轴上，点8的坐标是(-12,16),矩

形ABC。沿直线3。折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与。4、x轴分别交于

点D、F.

(1)直接写出线段OB的长；

(2)求直线8。解析式；

(3)若点N在直线BO上，在x轴上是否存在点M,使以M、N、E、力为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，请求出一个满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

21.已知：如图，抛物线丫=-/+法+。经过原点。，它的对称轴为直线x=2,动点P

从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点尸运动的时间

为r秒，连接OP并延长交抛物线于点5,连接。4,AB.

(1)求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)当三点A,0,B构成以为08为斜边的直角三角形时，求f的值；

(3)将a/V山沿直线尸8折叠后，那么点A的对称点A能否恰好落在坐标轴上？若能，

22.矩形0ABC的顶点A,C分别在x,y轴的正半轴上，点尸是边8C上的一个动点(不

与点、B,C重合)，过点F的反比例函数y=](x>0)的图象与边A3交于点E(8,m),A8=4.

(1)如图I,若BE=3AE.

①求反比例函数的表达式;

②将矩形0A8C折叠，使。点与F点重合，折痕分别与x,y轴交于点H,G,求线段

0G的长度.

(2)如图2,连接。尸，EF,请用含机的关系式表示OAE尸的面积，并求OAEF的面积

的最大值.

23.如图，二次函数丫=3^+桁+c与x轴交于0(0,0),A(4,0)两点，顶点为C,连接

OC、AC,若点B是线段。4上一动点，连接8C,将ABC沿8c折叠后，点A落在点A的

位置，线段4C与x轴交于点。，且点。与。、A点不重合.

(1)求二次函数的表达式；

(2)①求证：△OC。△A'BD；

②求竺的最小值；

24.矩形AOBC中，08=4,0A=3.分别以08、04所在直线为x轴、y轴，建立如

图1所示的平面直角坐标系.尸是BC边上一个动点(不与8、C重合).过点尸的反比例函

数丫='(%>())的图象与边AC交于点E.

X

(1)当点尸运动到边BC的中点时，点E的坐标为；

(2)连接EF求NFEC的正切值；

(3)如图2,将ACEF沿EF折叠，点C恰好落在边08上的点G处，求BG的长度.

参考答案

1.C

【分析】即求4点关于。8的对称点的坐标.通过解方程组求解.

解：VtanZBOC=I，OC=2BC.

,：OC2+BC2^OB2=5,，8C=1,0C=2.

所以4(I,0),B(1,2).

直线08方程：y-2=2(x-1),4和A关于08对称，假设4(初，yo),A4中点为M

(x，y),贝人尸,♦

VM(x,>■)在直线OB：y-2=2(x-1)上，，-2=2(上^-1),即产2(加■I).

22222

xo+yo=OA'=OA=lf/.A7?+4(XO+1)=1,5xcr+Sxo^3=O.

八.3

解得：xo=-1或者xo=--,

当xo=-1时，yo=O,不合题意，舍去；

当xo=-3时，产.•

34

所以A(-

故选C.

【点拨】主要考查了坐标与图形的性质，矩形的性质和翻折变换，三角函数的运用以及

一次函数的应用.要熟练掌握才会灵活运用.

2.D

【分析】根据对称性得到NBAONCAO,由A8〃y轴得/COA=/8AO,可推出CA=CO,

再根据勾股定理即可求得0C,进而求出直线A。解析式即可得结论.

解：根据翻折可知：

/BAO=/CAO,乙480=乙45'0=90。，AB=AB=9,OB'=OB=3.

•・・A3J_x轴，

.•・A8〃y轴，

：.ZBAO=ZCOA,

：.ZCAO=ZCOAf

：.CA=CO.

设CA=xf则C0=xtC8'=9-x,

在RSOC8中，根据勾股定理，得

OC^OB^+B'C2,即-=32+(97)2,

解得：％=5,

，0C=5,

AC(O,5),

设直线AD解析式为卢质+〃，

将A(-3,9),C(0,5)代入，得

b=5,-3%+5=9，

解得：攵=-1，

直线AD解析式为y=~.r+5,

当y=0时，丫=?,

二力点的坐标为(?，0).

故选：D.

【点拨】本题考查了等腰三角形的判定、翻折变换、勾股定理，解决本题的关键是根据

勾股定理求得OC的长.

3.A

【分析】过C作COJ_48于。，先求出A,B的坐标，分别为(12,0),(0,5),得至"

A8的长,再根据折叠的性质得到4c平分/0A8,得到CD=CO=a,0A=04=12,则DB=13-12=1,

BC=5-a,在放△BCD中，利用勾股定理得到。的方程，解方程求出〃即可.

解：过C作CD_LA8于•。，如图，

对于直线y=-/+5,

当户0,得产5,

当y=0,x=12,

(12,0),B(0,5),即04=12,OB=5,

•-AB=yjo^+OB2=Vl22+52=13，

又・・♦坐标平面沿直线AC折叠，使点3刚好落在x轴上，

•MC平分/0A8,

：.CD=CO=af则3c=5%,

.\DA=OA=\29

・・・08=13-12=1,

222

在阳△8C。中，DC^BD=BCf

/.a2+12=(5・〃)2,

解得〃=1?2,

故选：A.

【点拨】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令产0或)=0,求对应的

y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理.

4.C

【分析】连接3P,设5C交y轴于T,首先求出P8的长，由题意，当点O,落在3尸上

时，8(7的值最小，此时NOPQ=/QPB,证明3。=8P=7,可得结论；

：.OA=OC=BC=S,

VZC=60°,ZOTC=90°,

：,CT=^OC=4,0T=^OC2-CT2=^/8^4^=4>/3.

：.B(4,4G),

VP(3,0),

:.PB=J+(46j=7,

•OP=PO'=3,

.当点O'落在8尸上时，8。的值最小，此时NOPQ=NQPB,

*BC//OAt

1/BQP=/OPQ,

:・/BPQ=/BQP,

:・BQ=BP=1,

：.CQ=BC-BQ=S-7=\f

：.Q（-3,4石）；

故选：C.

【点拨】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形对称变化，翻折变换，等边三角形的

判定与性质，准确计算是解题的关键.

5.D

【分析】由题意易得=tanNA=g,则有PQ=},进而可分当点P在48中点

的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可.

解：：ZABC=90o,AB=28C=4,

tanZA=—,

2

由题意知:AP=t,

:.PQ=AP-tanNA=—t,

2

由折叠的性质可得：A：P=AP,ZAPQ-ZA'PQ-90°,

当点。与A8中点重合时，则有f=2,

当点P在AB中点的左侧时，即04f<2,

二A'PQ与一43c重叠部分的面积为S小二纠2文9**

当点尸在AB中点的右侧时，即24f44,如图所示：

由折叠性质可得：A'P=AP=f,NAPQ=NA'PQ=90。，tanZA=tanNA'=1,

2

・,.BP=4—f,

，A3=2r-4,

8£>=H'8-tanZA'=f-2,

.•.-A'PQ与ABC重叠部分的面积为

S梯形ewe=B(BO+PQ>P8=g(gf+'-21(4-，)=—1〃+4f-4；

综上所述：能反映,乂7。与ABC重叠部分的面积S与f之间函数关系的图象只有D选

项；

故选D.

【点拨】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函

数是解题的关键.

6.A

【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数

就可以解答.

解：抛物线y=x2-2x-3关于x轴对称的抛物线的解析式为：-y=x2-2x-3,

HPy=-x2+2x+3,

故选A.

【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的

坐标特点.

7.C

解：由翻折的性质得，/CPD=/CPD,

〈PE平分NBPCi,

：./BPE=/CiPE,

.・・NBPE+NCPD=9。。,

VZC=90°,

,ZCPD+ZPDC=90°,

:.NBPE=NPDC,

又・・・/8=NC=90。，

：・4PCDs/\EBP,

.BEPB

**PC-CD*

，函数图象为C选项图象.

故选C.

【点拨】考点：动点问题的函数图象、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质

8.B

【分析】过4作『R交4?丁七，设则。尸二见川/二九，通过证

mn

-----=-------=3o

明7roFsD4，E,得到5一"5解方程组求得m、"的值，即可得到*的坐标,

m—

3

代入y=?&wO）即可求得攵的值.

解：过A，作£FJ_OC于b，交A8于E,

・・・ZOAT+ZZM,E=90°,

NQA'b+NA'O尸=90。，

...ZDAE=ZAOF,

'：ZAFO=ZDEA!f

・・.NOFSQNE、

.OFAfFOA!

・•/一方一而

OF=m,A'F=n,

由折叠得：OA=OA,A'D=AD,

：04=5,点。是边AB上靠近点A的三等分点,

OA!_OAAB

：.OA=BC=AB=5AD=-

93而一茄一茄一’

，DE=m--,

3

易得四边形。4所是矩形，

:・EF=OA=5,

・•・AE=5—",

m懵=3

・•・5-n

m——

3

解得：m=3,n=4»

4(3,4),

.反比例函数y=：(%HO)的图象经过点4,

.•.%=3x4=12,

故选：B.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形

的判定和性质等知识，求得"的坐标是解题的关键.

9.B

【分析】根据0G=3GC且。。=8可求得GC的长,根据折叠的性质得BE=EG,设CE=x,

贝IJBE=EG=4-x,在RfAECG中根据勾股定理可求得CE的长，从而求得点E的坐标，即可求

得答案.

解：'：0G=3GC,0C=8,

：.GC=2,

根据折叠的性质得BE=EG,

设CE=x,则BE=EG=4-x,

♦.•四边形。ABC是矩形，

，ZOCB=90°,

在竹AECG中，EG2=GC2+CE2,即(4-X)2=2?+炉，

3

解得：x=-,

3

・••点E的坐标为(8,y),

3k

将(8,：)代入y=人，

2x

・，・k=8x2=12,

2

故选：B.

【点拨】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，还考查了矩形的性质，折

叠的性质，勾股定理，利用勾股定理求得点E的坐标是解题的关键.

10.A

【分析】设8=乂确定.羽再求解3E=4,再利用勾股定理列方程求解即可.

解：矩形AO3C,A点坐标为(-8,0),8点坐标为(0,10),

\OA=BC=8,AC=OB=10,

设CD=x,

结合对折可得：

CD=DE=x,AC=AE=10,

\OE=V102-82=6,BE=4,而3O=8-x，

由勾股定理可得：X2=(8-X)2+42,

解得：x=5,

\80=3,0(-3,10).

故选A

【点拨】本题考查的是坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理的应用，矩形的性质，熟

练的利用轴对称的性质确定相等的边是解本题的关键.

1210

11.y=-----x+—

53

【分析】先求得43的坐标，然后由勾股定理求出A8,再由折叠的性质得出

AB=AB=13,求得A'(-8,0),在RtZ\A'OC中，根据勾股定理A'C?=OC?+，列出方

程，解方程即可求得点C的坐标，即可求得平移后的解析式.

12

解：：直线产-了*+12,与券x轴分别相交于48两点，

令x=0,解得y=12,令y=0,解得尤=5,

"(0,12),8(5,0),

AOA=12,OB=5,

'：ZAOB=ZA'OC=90°.

AB=yJOA2+OB2=V122+52=13>

，A'B=AB=\3,

A'(-8,0),

设OC=x,

A'C=AC=12—x，

在RtAA'OC中,

A'C2=OC2+A'O2,

即(12-力2=k+82,

解得x号,

...C(0,野

・・・平移后的直线的解析式为y=-亲+与.

故答案为：y=-葭尤+日

【点拨】本题考查了勾股定理与折叠的性质，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交

点，求得点C的坐标是解题的关键.

12.5&

【分析】根据矩形的性质得到8C=A£>=5,CD=AB=4,ZBAD=ZC—ZABC=90°,

根据折叠的性质得到DE=AD^5,/£>EO=/BAC=9(T,OE=A。,根据勾股定理.得至UCE,

求得BE=2,根据勾股定理得到04,作点A关于x轴的对称点4,连接DY交x轴于尸,

则方+尸。的值最小，根据勾股定理即可得到结论.

解：；四边形48。>是矩形,

.,.BC=AO=5,CD=AB=4,NC=NABC=90°,

•••将矩形ABCD沿OD折叠，使得点A落在BC边上的点E处,

：.DE=AD=5,NDEO=NBAD=90°,OE=AO,

CE=J£)6一co2=,52—42=3，

BE=2,

,/OE2^OB2+BE2，

：.OA2=（4-OA）2+22,

:.0A=—,

2

作点A关于x轴的对称点4,连接04交x轴于P,则以+尸力的值最小,

则。4=04=2.5,

.•.A4'=5,

二川+尸。的最小值=A。=752+52=572,

故答案为：5&-

【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，轴对称的性质，勾股定理，正确地找到

点P的位置是解题的关键.

13.5-V10##-710+5

【分析】先根据抛物线解析式求出点A,8,C坐标，从而得出。4=2,08=3,0C=6,

再根据勾股定理求出AC的长度，然后根据翻折的性质得出4在以。为圆心，抬为半径的

圆弧上运动，当。，4,8在同一直线上时，8W最小；过点。作。E1AB,垂足为E,由

中位线定理得出OE,0E的长，然后由勾股定理求出B。，从而得出结论.

解：令y=o,则-/+犬+6=0,

解得士=-2,々=3,

.•.A（-2,0）,8（3,0）,

：.OA=2,0B=3,

令x=0,则y=6,

.-.C（6,0）,

OC=6,

.-.AC=A/22+62=2710>

。为AC中点，

DA=DC=y/l0,

oA'P。由△”£）沿功0折叠所得，

DA=DA',

二A'在以。为圆心，DA为半径的圆弧上运动,

...当O,A,B在同一直线上时，朗最小，

：.AE=OE=\,DE=3,

:.BE=4,

:.BD=>j32+42=5>

又；DA=DA'=4lO<

.•.区4'的最小值为5-9，

故答案为：5-V10.

【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知

识，关键是根据抛物线的性质求出A,B.C的坐标.

14.l<x<2或x>2+近.

【分析】先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象计算可得对应取值范围.

解：由题意可得抛物线：y=；(x-2)L：,

对称轴是：直线x=2,由对称性得：A(4,0),

沿x轴折叠后所得抛物线为：y=-1(x-2)2+^；

JJ

如图，由题意得：

14

当y=l时，-(x-2)2-1=l,

解得：x,=2+x/7M=2-币,

.•.C(2-61),F(2+"1),

14

当y=i时,-§(x-2)2+?=i,

解得:XI=3,X2=1,

由图象得：图象G在直线1上方的部分，当l<x<2或x>2+77时、函数y随x增大而增

大；

故答案为l<x<2或x>2+近.

【点拨】此题考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点，

解题关键在于结合函数图象进行解答.

9

15.0<b<-

4

【分析】画出图象，利用图象法解决即可.

解:将抛物线y=-x2-4x(-4WxW0)沿y轴折叠后得另一条抛物线为y=-x2+4x(0<x<4)

画出函数如图，

由图象可知，

当直线y=x+b经过原点时有两个公共点，此时b=0,

fy=x+b

解，一整理得x2-3x+b=0,

[y=-x~+4x

若直线y=x+b与这两条抛物线共有3个公共点，

则A=9-4b>0,

解得匕<：9

4

所以，当0<b〈W9时，直线y=x+b与这两条抛物线共有3个公共点，

9

故答案为0<6<二.

【点拨】本题考查了二次函数图像的折叠问题，解决本题的关键是能够根据题意画出二

次函数折叠后的图像，掌握二次函数与一元二次方程的关系.

16.30

【分析】首先根据翻折变换的性质，可得AE=AB=10,OA=8C=8,OE=B。；然后设点

。的坐标是(10,6),在ROCDE中，根据勾股定理，求出8的长度，进而求出k的值.

解：T△48。沿4。折叠，使点8恰好落在OC边上点E处，点3(10,8),

：.AE^AB=]0,OA=BC=8,DE=BD,

­■•OE=dAE2_O*=6,CE=10-6=4,

设点。的坐标是(10,b)，则DE=BD=8—b,

CD2+CE2=DE2,

.+4?=(8—32,

解得：6=3,

.•.点。的坐标是(10,3),

•；反比例函数y=V的图象经过点£),

X

k=3x10=30.

故答案为：30.

【点拨】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，反比例函数图像上点的坐标特点,

掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键.

17.y=——.

6%

解：依题意知BC=BC=1,OB=1,

的纵坐标为且，Z060=60°,

2

.,.△CBC为等边三角形，

所以NPBC=30。

，PC=BCtan30°=走

3

p(1,且)

23

设该反比例函数的解析式为y=£

X

则k=xy=—

6

考点：待定系数法求反比例函数解析式.

【分析】利用正切的定义计算出AB得到B点坐标为(8,4),则可得到D(4,2),然

后利用待定系数法确定反比例函数表达式；利用反比例函数图象上点的坐标特征确定F(2,

4),连接GF,如图，设OG=t,则CG=4-t,利用折叠的性质得到GF=OG=t,则利用勾

股定理得到2?+(4-t)2=t2,然后解方程求出t得到OG的长.

AB

解：在R3A0B中，VtanZBOA=-=：1,

OA2

.*.AB=yOA=1x8=4,

，B点坐标为(8,4),

♦.•点D为对角线OB的中点，

，D(4,2),

把D(4,2)代入y=y=2,得ki=4x2=8,

X

Q

，反比例函数表达式为丁=一：

X

Q

当y=4时，一=4,解得x=2,则F(2,4),

x

ACF=2,

:.GF=OG=t,

在RsCGF中，22+(4—t)解得t=°,

2

即OG的长为|.

故答案为：g.

2

【点拨】本题考查/反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、

折叠的性质和矩形的性质；会运用待定系数法求反比例函数解析式；会运用三角函数的定义

和勾股定理进行几何计算.

19.(1)见分析⑵y=-3x+15(3)M

【分析】(1)利用折叠的性质及平行线的性质推出/烟庄即可；

(2)由矩形的性质得到AQ=8。=3,CD=A3=9设点E的坐标为(x,3),在RtNMOE中,

勾股定理得4炉+4。2=。旧2,即/+32=(97『，求出点E的坐标，再同理得到点F的坐

标，设宜线EF的解析式为y=去+b,利用待定系数法求出解析式;

(3)过点E作E77LOC于点H,利用勾股定理求出折痕所的长.

解：(1)证明：由折叠得NZ无产=N5EF,

AB//CO,

ZBEF=ZDFE，

/.NDEF=NDFE，

；•J9E尸为等腰三角形;

(2)点8的坐标为(9,3),四边形ABCD为矩形,

二AD=BC=3,CD=AB=9

设点E的坐标为(x,3),

,:DE=BE,

；・AE=x,BE=9—x,

在RtAAOE中，AE2+AO2^OE2,

.,.X2+32=（9-X）2,

解得x=4,

£(4,3)；

同理可得尸(5,0),

设直线EF的解析式为丫=履+6,

4k+b=3k=-3

5k+b=。,解得

b=15

直线EF的解析式为y=-3X+15

(3)过点E作EHLOC于点儿

-、B

-cl

VE(4,3),F(5,0),

EH=3,FH=OF-OH=5-4=\,

•*-EF=yjEH2+FH2=732+l2=版-

【点拨】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，

熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键.

20.(1)20(2)y=-1.r+10(3)存在，M(8,0)

【分析】(1)由点的坐标的特点可得=12,8C=16,由矩形的性质可得NBCO=90。，

再利用勾股定理即可求出。8的长；

(2)设0£>=x,由矩形的性质得出4O=16-x,由折叠的性质得出根

据全等三角形的性质得出AB=EB=12,4D=DE=16-X,/BAD=90。=/BED,再结合勾

股定理求出。点坐标，最后利用待定系数法求解即可；

(3)过点E作EG，x轴与点G,过点E作项7〃8D,交x轴于点M,过点M悍MN〃ED,

交直线8。于点N,此时，四边形MN0E是平行四边形，EM〃小，通过证明EOGBOC,

利用相似三角形的性质可求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线EM解析式即可求解.

解：(1):在矩形A5C0中，点3的坐标是(-12,16),

ACO=12,BC=16,ZBCO=90°,

：.OB=\ICO1+BC2=20-

(2)；四边形ABCO是矩形，

/.AB=OC=12,AO=BC=16,/RAO=90°,

设O3=x,

/.AD=16—x,

・・,矩形A8CO沿11线BD折叠，使得点4落在对角线上的点E处,

:.BDA三BDE，

AB=EB=12,AD=DE=16-XtZBAD=9。。=/BED,

.\ZDEO=9Q°,

:.DE2+OE2=OD2，

03=20,

：.OE=OB—EB=8,

/.(16-A:)2+82=X2,

解得x=10，

,0(0,10),

设直线8。解析式为y=

把8(-12,16),0(0,10)代入，得，;二;+1

k=~-

解得2,

方=10

直线8。解析式为y=—gx+10；

(3)过点E作EG_Lx轴与点G,过点E作〃班)，交X轴于点M,过点M作MN//ED,

交直线80于点N,

ZEOG=ZBOC

EOGBOC

.EOEGOG

*BO-BC-OC

EO=&BO=20,BC=16QC=12

.8EGOG

•伴）

直线BZ）解析式为y=——A-+10,

二设直线EM解析式为y=-gx+f,

（2432、

把点4一二’二）代入‘

解得r=4,

直线EM解析式为y=~x+4,

当y=0时，犬=8,

【点拨】本题主要考查了四边形综合问题，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和

性质，平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的性质，折叠的

问题利用勾股定理构造直角三角形进行求解，分情况讨论平行四边形的边及对角线的情况.

21.（1）丫=-炉+4》；（2,4）（2）1秒（3）能，（5-4）秒或26秒或（5+石）秒

【分析】（1）根据抛物线过原点，对称轴为直线x=2,待定系数求解析式即可求解;

（2）设8（X,-Y+4X）.三点A,0,B构成以为08为斜边的直角三角形，勾股定理

得出。42+钻2=0长，8（弓5，?15）.继而得出直线OB的解析式为丫=13x,当x=2时，y=3,

得出”=4-3=1,进而即可求解；

（3）分三种情况讨论，①点A在X轴正半轴上；②点A在轴负半轴上，③点A在X轴

负半轴上，分别画出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解.

c=0

(1)解；由题意得-b

.2x(-1)

b=4

解得

c=0

•••抛物线的解析式为y=-―+4x；

y=-x2+4x=-（x-2尸+4,

••・顶点A的坐标为（2,4）；

设B（X,-，+4X）.

.•三点A,0,8构成以02为斜边的直角三角形，

OA2+AB2=OB2,

HP22+42+（x-2）2+（-x2+4x-4）2=x2+（-x2+4x）2,

整理，得2£_9X+10=0,

解得X1=5，七=2（舍去），

■B（3,12）

24J,

设直线。8的解析式为y，则|•％=，，

3

解得攵=£，

3

.'.y=~x

-2

当x=2时，y=3,

；.AP=4-3=1,

.."=1+1=K秒）；

（3）分三种情况：

①若点A在x轴正半轴上，如图2,

可得=32,

即(4-，了+(26-2)2=",

解得"5-6；

②若点A1在y轴负半轴上，如图3,连接4A交03于£

图3

可得0A=OA=2\[5,

ZOAlA=ZOAAi,

O\//AP,

:,ZOA,A=ZAlAP9

.・.ZOAA,=ZAlAPr

A4±OP,

：.ZOEA=ZPEA=90°.

在.04万与,A4E中，

NOAE=NPAE

-AE=AE

ZOEA=乙PEA

：..OAE^/VIE(ASA),

:.OA=PA=2-j5,

:.t=2.5/5；

③若点A在X轴负半轴上，如图4.

PD2+A,D2=PA,2,

即Q-4）2+（2百+2>=产，

解得t=5+>/5：

综上所述，所有满足条件的f的值为（5-石）秒或2石秒或（5+石）秒.

【点拨】本题考查了二次函数综合问题，特殊三角形问题，轴对称的性质，勾股定理，

掌握二次函数的性质是解题的关键.

85

22.⑴①尸一②"⑵20

x2

【分析】（1）①首先求出AE的长，从而得出点E的坐标，即可得出k的值；

②利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出Ck的长，设OG=x,则CG=4-x,FG

=x，利用勾股定理列方程，从而解决问题；

（2）利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF=2m,再利用矩形面积减去AOCF

和ABEF的面积，从而表示出四边形OAEF的面积，再利用配方法求出最大值.

⑴解：®"：BE=3AE,AB=4,

：.AE=lfBE=3,

AE(8,I),

/.fc=8xl=8,

Q

・・・反比例函数次达式为y=2；

x

②当y=4时，x=2,

・"(2,4),

:,CF=2,

设OG=x,则CG=4-x9FG=x,

由勾股定理得，

(4-x)2+22=X2,

解得X="|，

OG——；

2

(2)解：•.•点E、F在反比例函数y=g(x>0)的图象上，

/.CFX4=8/H,

:・CF=2m,

四边形OAE/7的面积为8x4—;x4x2加一;x(8-2m)x(4-〃?)

=-ni24-4/H+16=--2)'+20,

V0</n<4,

・•・当〃2=2时，四边形OAEE的面积最大为20.

【点拨】本题考查待系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形，

二次函数的最值，熟练掌握用待系数法求反比例函数解析式、勾股定理、二次函数的性质是

解题的关键.

23.⑴y=^-x2-2x(2)①证明见分析；②立

22

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)①先证明OC=AC,得到NCO4=NC4。，由折叠的性质可知NC4'B=N