(完整版)高中不等式难题

(完整版)高中不等式难题1.不等式$x+1-x-2>a$解集为$R$，则实数$a$的取值范围为$(-\infty,-1)$。2.观察下列式子：$1+\frac{3}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，由此可归纳出的一般结论是：$1+\frac{3}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{3^n}<2$。3.已知$a+1$，$a+2$，$a+3$是钝角三角形的三边，则$a$的取值范围是$(-\infty,-\sqrt{2}-1)\cup(0,+\infty)$。4.不等式$(x+1)(x-2)<0$的解集为$(-1,2)$。5.设$0\leq\alpha\leq\pi$，不等式$8x-(8\sin\alpha)x+\cos^2\alpha\geq0$对$x\inR$恒成立，则$\alpha$的取值范围为$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$。6.设不等式组$\begin{cases}x+2y\geq4\\2x+y\leq4\end{cases}$所表示的平面区域为$D$，则区域$D$的面积为$\frac{4}{3}$；若直线$y=ax-1$与区域$D$有公共点，则$a$的取值范围是$[\frac{2}{3},+\infty)$。7.已知变量$x$，$y$满足约束条件$\begin{cases}x-y\leq1\\x\geqa\end{cases}$，若$(1,1)$满足不等式组，则实数$a$的取值范围为$(-\infty,2]$。8.若$\log_a4b=-1$，则$a+b$的最小值为$\frac{5}{2}$。9.设$A=(1,-2)$，$B=(a,-1)$，$C=(-b,0)$，$a>0$，$b>0$，$O$为坐标原点，若$A,B,C$三点共线，则$\frac{BC}{OA}$的最小值是$\sqrt{5}$。10.已知$a\inR$，$b\inR$，函数$y=2ae^{bx}$的图象过$(0,1)$点，则$b$是任意实数，$a\neq0$。13.如果$a<b$，则$\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}$。14.（1）当$a=8$时，不等式化为$-5x>15x+7$，即$x<-\frac{7}{20}$，解集为$(-\infty,-\frac{7}{20})$；（2）不等式有解当且仅当$a>0$，且$a\neq1$，此时解集为$(-\infty,-\frac{1}{5a-1})$。15.设在A电视台做广告的时间为$x$分钟，则在B电视台做广告的时间为$300-x$分钟。公司的收益为$0.3x+0.2(300-x)=60-0.1x$万元。为使收益最大，应当使$x$尽可能大，但$x$的最大值受到时间总和的限制，即$x\leq300$。因此，最大收益为$60-0.1\times300=30$万元，此时在A电视台做广告的时间为300分钟，B电视台不做广告。16.已知小矩形花坛ABCD中，AB=3m，AD=2m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C。(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，AN的长度应在什么范围内？(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由。解析：(1)设AN=x，则AM=3+x。由题意可得：$$(3+x)\timesx>32$$解得：$$x>4\text{或}x<-8$$因为AN的长度应为正数，所以：$$x>4$$即：$$AN\in(4,+\infty)$$(2)矩形AMPN的面积为：$$(3+x)\times2x=6x^2+2x^3$$对其求导可得：$$\frac{d}{dx}(6x^2+2x^3)=12x+6x^2$$令其为0，解得：$$x=-2,0$$当$x=-2$时，$AM=1$，$AN=1$，$MN=\sqrt{10}$，矩形AMPN的面积为$-16$，不符合题意。当$x=0$时，$AM=3$，$AN=2$，$MN=2$，矩形AMPN的面积为$12$，符合题意。所以，当AN=2时，矩形AMPN的面积最小，为12平方米，AM=3，AN=2。因此，存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小。7.解析：根据不等式组$x\leqa,x-y\leq1$，可以画出平面区域，如下图所示：其中$Q(2,0)$，点$P(x,y)$在区域内。为了使$PQ$的斜率最大，$P$应该在直线$x=a$和直线$x-y=1$的交点处，此时$PQ$的斜率为$\frac{y-0}{x-2}$。同理，为了使$PQ$的斜率最小，$P$应该在直线$x=a$和直线$x+y=1$的交点处，此时$PQ$的斜率为$\frac{y-0}{x-2}$。因此，$PQ$的斜率的取值范围为$\frac{1-a}{a-2}\leqk\leq\frac{1-a}{a-2}$。由于$a\leq1$，因此$a-2\leq-1$，$1-a\geq0$，所以$\frac{1-a}{a-2}\leq0$，即$k\leq0$。又因为$a\geq-2$，所以$\frac{1-a}{a-2}\geq-\frac{1}{3}$，即$k\geq-\frac{1}{3}$。综上所述，$k$的取值范围为$-\frac{1}{3}\leqk\leq0$，即答案为$\boxed{-\frac{1}{3},0}$。8.解析：根据对数的运算性质，$4b=a^{-1}$，所以$a+b=a+\frac{1}{4b}\geq2\sqrt{a\cdot\frac{1}{4b}}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{\frac{1}{4b}}=\frac{1}{2}$。又因为$a,b>0$，所以$a+b>0$，即$a+b\geq\frac{1}{2}$。当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时取等号，因此答案为$\boxed{1}$。9.解析：由题意可知，$A,B,C$三点共线，所以$AB$的斜率等于$AC$的斜率，即$\frac{1-1}{a-(-1)}=\frac{2-1}{-b-(-1)}$，解得$2a+b=1$。又因为$a>0,b>0$，所以$2a+b>0$，即$2a+b\geq0$。根据均值不等式，$2a+b\leq\sqrt{(2^2+1^2)(a^2+b^2)}=2\sqrt{a^2+b^2}$。因此，$2\sqrt{a^2+b^2}\geq0$，即$a^2+b^2\geq0$。当且仅当$a=0,b=0$时取等号，但此时$a>0,b>0$不成立，因此不等式恒成立，即答案为$\boxed{1}$。10.解析：由题意可知，函数过点$(0,1)$，因此$b=1$。又因为$y=2ae+b=2ae+1$，所以$xy=x(2ae+1)=2axe+x$。根据均值不等式，$2axe+x\geq2\sqrt{2axe\cdotx}=2\sqrt{2a}x$。因此，$xy\geq2\sqrt{2a}x$，即$\frac{xy}{x}\geq2\sqrt{2a}$，即$y\geq2\sqrt{2a}$。当且仅当$y=2\sqrt{2a}$时取等号，此时$x=\frac{1}{2\sqrt{2a}}$。因此，$xy=1$时，$2\sqrt{2a}=\frac{1}{2\sqrt{2a}}$，解得$a=\frac{1}{8}$，此时$y=2\sqrt{2a}=1$，因此$\frac{xy}{x}+y=3$。综上所述，答案为$\boxed{3}$。11.解析：由题意可知，$2x+y=1$，因此$y=1-2x$。将$y$代入$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2$，得：$$\frac{x}{1-2x}+\frac{1-2x}{x}+2=\frac{x^2+(1-2x)^2+2x(1-2x)}{x(1-2x)}+2=\frac{5x^2-6x+5}{x(1-2x)}$$分子为二次函数$5(x-\frac{3}{5})^2+\frac{20}{5}$，因此分子的最小值为$\frac{20}{5}=4$，当且仅当$x=\frac{3}{5}$时取到。因为$0<x<\frac{1}{2}$，所以$1-2x>0$，即分母$x(1-2x)>0$。因此，$\frac{x}{1-2x}+\frac{1-2x}{x}+2\geq4$，即答案为$\boxed{4}$。12.解析：由题意可知，$z$是$x$和$y$的等比中项，因此$z=\sqrt{xy}$，即$xy=z^2$。将$z=2xy$代入$\log_{x}{y}+\log_{y}{x}+\log_{z}{x}+\log_{z}{y}$，得：$$\log_{x}{y}+\log_{y}{x}+\log_{z}{x}+\log_{z}{y}=\log_{x}{y}+\log_{y}{x}+\frac{1}{2}\log_{2xy}{x}+\frac{1}{2}\log_{2xy}{y}$$$$=\log_{x}{y}+\log_{y}{x}+\frac{1}{2}\left(\log_{2}{x}+\log_{2}{y}+\log_{2}{2}+\log_{2}{y}+\log_{2}{x}+\log_{2}{2}\right)$$$$=\log_{x}{y}+\log_{y}{x}+\log_{2}{x}+\log_{2}{y}+1$$由均值不等式，$\log_{x}{y}+\log_{y}{x}\geq2\sqrt{\log_{x}{y}\cdot\log_{y}{x}}=2$，$\log_{2}{x}+\log_{2}{y}\geq2\sqrt{\log_{2}{x}\cdot\log_{2}{y}}=2$，因此：$$\log_{x}{y}+\log_{y}{x}+\log_{2}{x}+\log_{2}{y}+1\geq2+2+1=5$$当且仅当$x=y=z$时取等号，即$x=y=2xy=2z$，解得$x=y=z=0$，但此时$x,y,z>0$不成立。因此，$\log_{x}{y}+\log_{y}{x}+\log_{z}{x}+\log_{z}{y}\geq5$，即答案为$\boxed{5}$。试题解析：设公司在A和B电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，则总时间为x+y=300分钟。设单位时间内的收益分别为a和b，则总收益为z=ax+by。由题意可得a=30000元/100分钟=300元/分钟，b=35000元/200分钟=175元/分钟。将a和b代入z=ax+by中，得到z=300x+175y。因为公司的收益最大，所以需要优化z，即求z的最大值。由于x和y都是非负数，所以可以使用线性规划中的图像法来求解。将z=300x+175y的图像画出来，发现最大值出现在x=100分钟，y=200分钟的位置。此时z=3000x+2000y=70万元，即最大收益为70万元。二元一次不等式组可以表示为平面区域，即可行域，如图中的阴影部分。通过作出直线l:3x+2y=0，可以平移直线l，从图中得知当直线l过M点时，目标函数取得最大值。联立方程解得点M的坐标为(100,200)，因此zmax=3000×100+2000×200=700000。也就是说，在A电视台做100分钟广告，在B电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元。线性规划应用题常见的类型有两种：一是给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力