自动控制原理第五章频域分析法课件

第五章频域分析法——频率法第五章频域分析法——频率法基本要求1.正确理解频率特性的概念。2.熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。3.熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。4.熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。基本要求1.正确理解频率特性的概念。5.熟练掌握Nyquist稳定判据和对数频率稳定判据。6.熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。7.理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系。8.理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。5.熟练掌握Nyquist稳定判据和对数频率稳定判据。

频率特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法。与时域分析法和根轨迹法不同；频域性能指标与时域性能指标之间有内在联系；频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用解析的方法得到系统的频率特性，也可以用实验的方法测出稳定系统或元件的频率特性；频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应；频率法的五个特点频率特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合5－1频率特性5－1频率特性一、基本概念输入信号：其拉氏变换式：控制系统在正弦信号作用下的稳态输出频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应。一、基本概念输入信号：其拉氏变换式：控制系统在正弦信号作用下输出：拉氏反变换得：其中：输出：拉氏反变换得：其中：同理：将B、D代入c(t)，则:同理：将B、D代入c(t)，则:式中：结论：线性定常系统在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。式中：结论：线性定常系统在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输二、频率特性的定义及求取方法线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性（即为幅相频率特性，简称幅相特性）。频率特性表达式为：二、频率特性的定义及求取方法线性定常系统，在正弦以RC网络为例其传递函数ω以RC网络为例其传递函数ω正弦稳态输出稳态输出幅值：稳态输出相位：正弦稳态输出稳态输出幅值：稳态输出相位：对于任何线性系统都可以采用这种方法分析。幅频特性：相频特性：取：显然，G(jw)能够完整描述网络在正弦信号作用下稳态输出的幅值和相角与输入信号频率之间的规律。G(jw)即为系统的频率特性。对于任何线性系统都可以采用这种方法分析。幅频特性：相频特性：RC网络其传递函数频率特性该结论适用任何线性系统！RC网络其传递函数频率特性该结论适用任何线性系统！三、频率特性的几种表示方法1、幅频特性、相频特性、幅相特性为系统的幅频特性。为系统的相频特性。三、频率特性的几种表示方法1、幅频特性、相频特性、幅相特性为RC网络的幅频特性和相频特性RC网络的幅频特性和相频特性RC网络的幅相特性曲线RC网络的幅相特性曲线2、对数频率特性对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线。对数幅频特性：对数相频特性:2、对数频率特性对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分度，纵坐标采用线性分度用角度表示。对数幅频特性曲线：横坐标采用对数分度，取10为底的对数，纵坐标采用线性分度用分贝数(dB)表示。对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分度，对数坐标刻度图对数坐标刻度图注意：纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。——这种坐标系称为半对数坐标系。在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。注意：纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横以角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐标为幅值，单位采用分贝。☆对数幅相频率曲线（尼柯尔斯图）以角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度；纵幅值的乘除简化为加减；可以用叠加方法绘制Bode图；可以用简便方法近似绘制Bode图；扩大研究问题的范围；便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。Bode图的优点幅值的乘除简化为加减；Bode图的优点对数坐标系对数坐标系5－2典型环节的频率特性5－2典型环节的频率特性一、比例环节（放大环节）幅频特性相频特性对数幅相特性一、比例环节（放大环节）幅频特性相频特性对数幅相特性比例环节的频率特性曲线比例环节的频率特性曲线二、积分环节幅相特性传递函数相频特性是一常值二、积分环节幅相特性传递函数相频特性是一常值积分环节的幅频/相频、幅相特性曲线积分环节的幅频/相频、幅相特性曲线对数频率特性对数频率特性三、微分环节幅相特性传递函数相频特性是一常值三、微分环节幅相特性传递函数相频特性是一常值微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线四、惯性环节（一阶系统）传递函数幅相特性四、惯性环节（一阶系统）传递函数幅相特性惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线对数频率特性当当对数频率特性当当惯性环节的对数频率特性曲线惯性环节的对数频率特性曲线图示：当T=0.5（s）时，系统的极坐标图、伯德图图示：当T=0.5（s）时，系统的极坐标图、伯德图对数幅频特性的渐近线的近似方法：在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。对数幅频特性的渐近线的近似方法：在频率很低时，对数幅频曲线可在图中T=0.5,1/T=2(rad/sec)

当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为1/T。在图中T=0.5,1/T=2(rad/sec)当频率惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线相交，交点处频率，称为转折频率。两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为对数幅频特性渐近线。用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大误差发生在转折频率处，即处。

惯性环节的误差曲线惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两误差的最大值发生在角频率为1/T处，这时误差最大值为-3dB。用渐近线近似产生的误差曲线误差的最大值发生在角频率为1/T处，这时误差最五、一阶微分环节五、一阶微分环节六、振荡环节（二阶系统）传递函数频率特性六、振荡环节（二阶系统）传递函数频率自动控制原理第五章频域分析法课件若令无因次频率为参变量若令无因次频率为参变量振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）振荡环节的幅频、相频特性曲线振荡环节的幅频、相频特性曲线幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：幅频特性的谐振角频率和谐振峰谐振频率谐振峰值谐振频率谐振峰值振荡环节的对数频率特性低频渐近线是零分贝线。高频段是一条斜率为-40/dB的直线，和零分贝线相交于，振荡环节的交接频率为。特征点：振荡环节的对数频率特性低频渐近线是零分贝线。振荡环节的伯德图振荡环节的伯德图渐近线对数幅频特性引起的误差：渐近线对数幅频特性引起的误差：振荡环节的幅相特性振荡环节的对数幅频渐进特性振荡环节的幅相特性振荡环节的对数幅频渐进特性七、二阶微分环节七、二阶微分环节二阶微分环节的对数频率特性二阶微分环节的对数频率特性八、一阶不稳定环节∞八、一阶不稳定环节∞非最小相位环节定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为非最小相位环节（或系统）。一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又称非最小相位环节。非最小相位环节定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统九、延迟环节延迟环节输入输出关系为九、延迟环节延迟环节输入输出关系为自动控制原理第五章频域分析法课件5－3系统的开环频率特性5－3系统的开环频率特性设系统开环传递函数由若干典型环节串联开环频率特性一、开环幅相特性曲线设系统开环传递函数由若干典型环节串联开环频率特性一、开环幅相系统开环幅频与相频分别为系统开环幅频与相频分别为1、开环幅相特性曲线（1）当系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节。系统开环幅相特性曲线1、开环幅相特性曲线（1）当系统开环传递函数不（2）当取m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线系统开环传递函数分子有一阶微分环节，其开环幅相特性曲线出现凹凸。（2）当取m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线（3）当含有积分环节时的开环幅相特性曲线开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。（3）当含有积分环节时的开环幅相特性曲线开环传2.系统开环幅相的特点当频率ω→0时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。当频率ω→∞时，若n>m，G(jω)|=0相角为(m-n)π/2。若G(s)中分子含有s因子环节，其G(jω)曲线随ω变化时发生弯曲。G(jω)曲线与负实轴的交点，是一个关键点。2.系统开环幅相的特点当频率ω→0时，其开环幅相特性系统开环传函的频率特性称为开环频率特性。控制系统一般总是由若干环节组成的,设其开环传递函数为：G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)系统的开环频率特性为：二、开环对数频率特性曲线的绘制系统开环传函的频率特性称为开环频率特性。控制系统一般或得则系统的开环对数频率特性为其中,Li(ω)=20lgAi(ω),(i=1,2,…,n)。或得则系统的开环对数频率特性为其中,Li(ω)=20l系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。系统开环对数幅频与对数相频表达式为:系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等例5-1

绘制开环传递函数为

的零型系统的伯德图。

解系统开环对数幅频特性和相频特性分别为

例5-1绘制开环传递函数为的零型系统的伯德图。解系例5-1的伯德图例5-1的伯德图实际上,在熟悉了对数幅频特性的性质后,不必先一一画出各环节的特性,然后相加,而可以采用更简便的方法。由上例可见,零型系统开环对数幅频特性的低频段为20lgK的水平线,随着ω的增加,每遇到一个交接频率,对数幅频特性就改变一次斜率。实际上,在熟悉了对数幅频特性的性质后,不必先一一例5-2

设Ⅰ型系统的开环传递函数为

试绘制系统的伯德图。

系统的伯德图如图所示。

解系统开环对数幅频特性和相频特性分别为

例5-2设Ⅰ型系统的开环传递函数为试绘制系统的例5-2的伯德图

例5-2的伯德图此系统对数幅频特性的低频段斜率为－20dB/dec,它在ω=1处与L1(ω)=20lgK的水平线相交。在交接频率ω=1/T处,幅频特性的斜率由－20dB/dec变为－40dB/dec。通过以上分析,可以看出系统开环对数幅频特性有如下特点:低频段的斜率为－20νdB/dec,ν为开环系统中所包含的积分环节的数目。低频段在ω＝1处的对数幅值为20lgK。在典型环节的交接频率处,对数幅频特性渐近线的斜率要发生变化,变化的情况取决于典型环节的类型。此系统对数幅频特性的低频段斜率为－20dB遇到G(s)＝(1+Ts)-1的环节,交接频率处斜率改变-20dB/dec;遇到G(s)＝(1+Ts)的环节,交接频率处斜率改变+20dB/dec;遇到二阶振荡环节 ,交接频率处斜率改变－40dB/dec。综上所述,可以将绘制对数幅频特性的步骤归纳如下:遇到G(s)＝(1+Ts)-1的环节,交接频率处斜率改变-(1)将开环传函分解,写成典型环节相乘的形式;(2)求出各典型环节的交接频率,将其从小到大排列为ω1,ω2,ω3,…并标注在ω轴上;(3)绘制低频渐近线(ω1左边的部分),这是一条斜率为-20νdB/dec(ν为开环系统中所包含的积分环节的数目)的直线,它或它的延长线应通过(1,20lgK)点;(4)随着ω的增加,每遇到一个典型环节的交接频率,就改变一次斜率;对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得,也可以利用相频特性函数φ(ω)直接计算。(1)将开环传函分解,写成典型环节相乘的形式;例5-3系统开环传递函数试绘制开环对数频率特性。解:系统开环频率特性为例5-3系统开环传递函数试绘制开环对数频率特性。解系统由5个典型环节串联组成：比例环节积分环节对数幅频特性渐近线在时穿越0dB线，其斜率为-20dB/dec。系统由5个典型环节串联组成：比例环节积分环节对转折频率，对数幅频特性渐近线曲线在转折频率前为0dB线，转折频率后为一条斜率为-20dB/dec的直线。对称于点。

惯性环节转折频率，对数幅频特性渐近线曲惯性环节转折频率，对数幅频特性渐近线类似于，相频特性类似于。惯性环节转折频率，对数幅频一阶微分环节转折频率，对数幅频特性渐近线在之前为0分贝线，在之后为一条斜率为20dB/dec的直线。一阶微分环节转折频率，相频特性在转折频率处为45°，低频段为0°，高频段为90°，且曲线对称于点。将以上个环节的对数幅频特性渐近线和相频特性曲线绘制出，在同一频率下相加即得到系统的开环对数幅频特性渐近线及相频特性，如图所示。Bode图相频特性在转折频率处为45°，低频段为0°，高例5－4

系统开环传递函数绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。解：例5－4系统开环传递函数绘制系统开环对数幅频与相频特开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频例5－551234五个基本环节例5－551234五个基本环节绘制开环系统的波特图将写成典型环节之积；找出各环节的转角频率；画出各环节的渐近线；在转角频率处修正渐近线得各环节曲线；将各环节曲线相加即得波特图。一般规则：绘制开环系统的波特图将写成典型环节之积；一般规则：具有最小相位传递函数的系统,称为最小相位系统;具有非最小相位传递函数的系统,则称为非最小相位系统。三、最小相位系统若系统传递函数的极点和零点都位于s平面的左半部,这种传递函数称为最小相位传递函数;否则,称为非最小相位传递函数。对于幅频特性相同的系统,最小相位系统的相位迟后是最小的,而非最小相位系统的相位迟后必大于前者。具有最小相位传递函数的系统,称为最小相位系统;三、最例如有一最小相位系统,其频率特性为：另有一非最小相位系统,其频率特性如下:

(T2＞T1＞0)这两个系统的对数幅频特性完全相同

例如有一最小相位系统,其频率特性为：另有一非最小相位系统相频特性不同：前一系统的相角角度变化范围0°负角度值0°；后一系统的相角角度变化范围0°-180°。它们的Bode图如图3-22所示。相频特性不同：它们的Bode图如图3-22所示。对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一的对应关系。根据系统的对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数,反之亦然。但是，对于非最小相位系统，就不存在上述的这种关系。由最小相位系统的对数幅频特性确定其传递函数的步骤：（1）由低频段确定系统传函的型别：-20νdB/dec(ν为传函中包含的积分环节数)（2）确定传函增益K0型：20lgK=L1

型：低频段或其延长线交频率轴于点0，K=0

型：低频段或其延长线交频率轴于点0，K=02对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在着唯L()L11（3）串联环节的确定：交接频率1处，斜率改变-20dB/dec，串斜率改变+20dB/dec，串斜率改变-40dB/dec，串斜率改变+40dB/dec，串L()L11（3）串联环节的确定：最小相位系统幅频、相频对应关系环节幅频相频-20dB/dec→-20dB/dec→0dB/dec→-20dB/dec→0dB/dec→-40dB/dec→0dB/dec→20dB/dec→………………0dB/dec→n·(-20)dB/dec→0dB/dec→m·(+20)dB/dec→最小相位系统幅频、相频对应关系环节幅频相例5-6

已知最小相位系统的对数幅频特性图如下：-20-40L()1c0试求系统的传递函数。解：系统传递函数为其中，或例5-6已知最小相位系统的对数幅频特性图如下：5－4稳定判据及稳定裕度5－4稳定判据及稳定裕度一、奈奎斯特稳定判据反馈控制系统一、奈奎斯特稳定判据反馈控制系统开环传递函数闭环传递函数令开环传递函数闭环传递函数令将F(s)写成零、极点形式，则：辅助函数F(s)具有如下特点：其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。其零点的个数与极点的个数相同。辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。将F(s)写成零、极点形式，则：辅助函数F(s)具有如下特点1.幅角原理如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点，有P个F(s)的极点，则s依顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点反时针转的圈数N为P和Z之差，即N＝P－Z若N为负，表示F(s)曲线绕原点顺时针转过的圈数。N=P-Z也可写成:Z=P-N1.幅角原理如果封闭曲线内有Z个F(s为复变量，以s复平面上的s=δ+jω来表示。F(s)为复变函数，以F(s)复平面上的F(s)=u+jv表示。点映射关系、s平面与F(s)平面的曲线映射关系，如图所示。点映射关系s平面与F(s)平面的映射关系s为复变量，以s复平面上的s=δ+j如果在s平面上任取一条封闭曲线Cs，且要求Cs曲线满足下列条件:1)曲线Cs不通过F(s)的奇点（即F(s)的零点和极点）；2)曲线Cs包围F(s)的Z个零点和P个极点。

·如果在s平面上任取一条封闭曲线Cs，且要求Cs曲线满足s、F(s)平面上的封闭曲线Cs、Cs′如图所示s、F(s)平面上的封闭曲线Cs、Cs′如图所示复变函数F(s)，当s1（封闭曲线Cs上任一点）沿闭合曲线Cs顺时针转动一圈时，其矢量总的相角增量记为△F(s)。由复变函数F(s)，当s1（封闭曲线Cs上任一式中，P和Z分别是被封闭曲线Cs包围的特征方程函数F(s)的极点数和零点数。当s平面上的试验点s1沿封闭曲线Cs顺时针方向绕行一圈时，F(s)平面上对应的封闭曲线将按逆时针方向包围坐标原点（P-Z）圈。式中，P和Z分别是被封闭曲线Cs包围的特征方程函数例：N＝P－Z=-1即F(s)曲线绕原点顺时针转一圈。例：N＝P－Z=-1即F(s)曲线绕原点顺时针转一圈。2.奈式判据若开环传函在s的右半平面有p个极点，则为使闭环系统稳定，当从变化时，的轨迹必逆时针包围GH平面上的点次。即：2.奈式判据若开环传函在s的右半平面z—闭环传递函数在s右半平面的极点数。（F(s)在s右平面的零点数）p—开环传函在s右半平面的极点数。N—绕点逆时针转的次数。若N为顺时针旋转圈数，则有

z—闭环传递函数在s右半平面的极点数。（F(s)在s右平面的为将映射定理与控制系统稳定性分析联系起来，适当选择s平面的封闭曲线Cs：由整个虚轴和半径为∞的右半圆组成，试验点按顺时针方向移动一圈，该封闭曲线称为Nyquist轨迹（路径）。Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一条封闭曲线，称为Nyquist曲线。

s平面上的Nyquist轨迹Nyquist轨迹及其映射为将映射定理与控制系统稳定性分析联系起来，适当选择s平面的Nyquist轨迹Cs由两部分组成，一部分沿虚轴由下而上移动，试验点s=jω在整个虚轴上的移动，在F平面上的映射就是曲线F(jω)(ω由-∞→+∞)。

F(jω)=1+G(jω)H(jω)Nyquist轨迹Cs的另一部分为s平面上半径为∞的右半圆，映射到F(s)平面上为F(∞)=1+G(∞)H(∞)根据映射定理可得，s平面上的Nyquist轨迹在F平面上的映射F(jω)，(ω从-∞→+∞)F平面上的Nyquist曲线Nyquist轨迹Cs由两部分组成，一部分沿F平面上的Nyquist曲线Z——F(s)位于右半平面的零点数，即闭环右极点个数；P——F(s)位于右半平面的极点数，即开环右极点个数；N——Nyquist曲线逆时针包围坐标原点的次数。F(s)=1+G(s)H(s)闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面。即Z=0或

N=P。由幅角定理可得F(s)逆时针包围坐标原点的次数N为N=P-Z

F平面上的Nyquist曲线Z——F(s)位于右半平面的零点Nyquist稳定判据一由G(jω)H(jω)的Nyquist曲线

(ω从0→+∞)判别闭环系统稳定性的Nyquist判据为G(jω)H(jω)曲线(ω：0→+∞)逆时针包围(-1，j0)的次数为。当系统的开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上无极点时，Nyquist稳定判据可表示为：当ω从-∞→+∞变化时G(jω)H(jω)的Nyquist曲线逆时针包围(-1，j0)点的次数N，等于系统G(s)H(s)位于右半s平面的极点数P，即N=P，则闭环系统稳定,否则(N≠P)闭环系统不稳定。Nyquist稳定判据一由G(jω)H(jω)的Ny极坐标图例

已知单位反馈系统，开环极点均在s平面的左半平面，开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。解：系统开环稳定，即P=0；从图中看到ω由-∞→+∞变化时，G(jω)H(jω)曲线不包围(-1，j0)点，即N=0；

Z=P-N=0；所以，闭环系统是稳定的。极坐标图例已知单位反馈系统，开环极点均在s平面的左半平面，作出ω=0→+∞变化时G(jω)H(jω)曲线如图所示，镜像对称得ω：-∞→0变化时G(jω)H(jω)如图中虚线所示。系统开环不稳定，有一个位于s平面的右极点，即P=1。例单位反馈系统，其开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。解系统开环频率特性为作出ω=0→+∞变化时G(jω)H(jω)曲线如图极坐标图从G(jω)H(jω)曲线看出，当K>1时，Nyquist曲线逆时针包围(-1，j0)点一圈，即N=1，Z=N-P=0则闭环系统是稳定的。当K<1时，Nyquist曲线不包围(-1，j0)点，N=0，Z=N-P=1则闭环系统不稳定，闭环系统有一个右极点。极坐标图从G(jω)H(jω)曲线看出，当K>1时，NNyquist稳定判据二

设系统开环传递函数为：

式中υ——开环传递函数中位于原点的极点个数。Nyquist稳定判据二设系统开环传递函数为：式中υ—绕过原点的Nyquist轨迹1.以原点为圆心,以无限大为半径的大半圆；2.由-j∞到j0-的负虚轴；3.由j0+沿正虚轴到+j∞；4.以原点圆心，以(→0)为半径的从j0-到j0+的小半圆。需对Nyquist轨迹进行修正，它由四部分组成：绕过原点的Nyquist轨迹1.以原点为圆心,以无限大为半s平面上有位于坐标原点的γ个极点时，Nyquist稳定判据为：

当系统的开环传递函数有γ个极点位于s平面坐标原点时，如果增补开环频率特性曲线G(jω)H(jω)（ω从-∞→+∞）逆时针包围（-1，j0）点的次数N等于系统开环右极点个数P，则闭环系统稳定，否则系统不稳定。s平面上有位于坐标原点的γ个极点时，Nyquist稳解系统的频率特性为例

系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。解系统的频率特性为例系统开环传递函数为试判断闭环系统作出ω=0＋→+∞变化时G(jω)H(jω)的曲线；根据镜像对称得ω=-∞→0-变化时G(jω)H(jω)的曲线；从ω=0－到ω=0＋以无限大为半径顺时针转过π，得封闭曲线(或辅助圆)。极坐标曲线作出ω=0＋→+∞变化时G(jω)H(jω)的曲线；极坐标曲当时，G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)曲线穿越(-1，j0)点，系统处于临界稳定状态。从Nyquist曲线可以看出：当时，G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，即N=-2，而开环系统稳定，即P=0，所以闭环系统右极点个数Z=P-N=2闭环系统不稳定，有两个闭环右极点，系统不稳定。当时，G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)曲线不包围（-1，j0）点，闭环系统稳定。当时，G(jω应用Nyquist稳定判据判别闭环系统的稳定性，就是看开环频率特性曲线对负实轴上(-1,-∞)区段的穿越情况。穿越伴随着相角增加称之为正穿越，记作N+，穿越伴随着相角减小，称为负穿越，记作N-。临界放大倍数Nyquist判据可描述为：当ω由-∞→+∞变化时，系统开环频率特性曲线在负实轴上(-1，-∞)区段的正穿越次数N+与负穿越次数N-之差等于开环系统右极点个数P时，系统稳定。应用Nyquist稳定判据判别闭环系统的稳定P＝0N+＝N-=1N+-N-=P频率特性曲线P＝0N+＝N-=1N+-N-=P频率特性曲线例5－7已知系统开环传递函数

试应用奈氏判据判别K=0.5和K=2时的闭环系统稳定性。例5－7已知系统开环传递函数

试应用奈氏判据判别K=0.分别作出K=0.5和K=2时开环幅相特性曲线K=0.5时，闭环系统不稳定。K=2时，闭环系统稳定。系统开环幅相特性曲线分别作出K=0.5和K=2时开环幅相特性曲线K=0.5时，闭二、对数频率稳定判据若开环系统稳定（p=0），则闭环系统稳定的充要条件是：在的所有频段内，正负穿越线的次数差为0。注意：在开环对数幅频特性大于零的频段内，相频特性曲线由下（上）往上（下）穿过负1800线为正（负）穿越。N+（N-）为正（负）穿越次数，从负1800线开始往上（下）称为半个正（负）穿越。二、对数频率稳定判据若开环系统稳定（p=0），则闭环系统稳定幅相曲线（a)及对应的对数频率特性曲线(b)幅相曲线（a)及对应的对数频率特性曲线(b)系统闭环稳定的条件是：在开环对数幅频的频段内，对应的开环对数相频特性曲线对线的正、负穿越次数之差为。即:

p为系统开环传递函数位于S右半平面的极点数。

注：，Bode图只讨论ω从0到＋∞变化；

，讨论，即(-1,-∞)区段。

系统闭环稳定的条件是：注：例5－8已知系统开环传递函数

试用对数判据判别闭环稳定性。例5－8已知系统开环传递函数

试用对数判据判别闭环稳定性。解：绘制系统开环对数频率特性如图由开环传递函数可知P=0所以闭环稳定解：绘制系统开环对数频率特性如图由开环传递函数可知P=0例5-9

已知系统开环传递函数试用对数判据判别闭环稳定性。例5-9已知系统开环传递函数试用对数判据判别闭环稳定性。解：绘制系统开环对数频率特性如图解：绘制系统开环对数频率特性如图闭环不稳定。闭环特征方程的正根数为在处振荡环节的对数幅频值为:闭环不稳定。闭环特征方程的正根数为在处三、稳定裕度

——衡量闭环系统稳定程度的指标相位裕度极坐标图的矢量与负实轴的夹角。即对数坐标图上处与的差

系统稳定（对最小相位系统）三、稳定裕度

——衡量闭环系统稳定程度的指标相位裕度极坐标图系统稳定（对最小相位系统）

模稳定裕度：对数图上时的系统稳定（对最小相位系统）模稳定裕度：对数图上相稳定裕度和模稳定裕度相稳定裕度和模稳定裕度一般要求/jixie/courseware/Control/s5.htm一般要求/ji5－5闭环频率特性5－5闭环频率特性图示单位反馈系统的闭环传递函数为图示单位反馈系统的闭环传递函数为由开环幅相特性曲线确定闭环频率特性由开环幅相特性曲线确定闭环频率特性由开环频率特性求取闭环频率特性开环传递函数G(s)，系统的闭环传递函数

系统的闭环频率特性

由开环频率特性求取闭环频率特性开环传递函数G(s)，系统的闭等M圆（等幅值轨迹）定义

整理得：(1-M2)x2+(1-M2)y2

-2M2x=M2

设开环频率特性G(jω)为:

G(jω)=p(ω)+jθ(ω)=x+jy

令M=|M(jω)|，则:等M圆（等幅值轨迹）定义整理得：(1-M2)x2+(对于给定的M值（等M值），上式是一个圆方程式，圆心在处，半径。当M=1时，由上式可求得x=-1/2，这是通过点（-1/2，j0）且与虚轴平行的一条直线

。当M≠1时，由上式可化为所以在G(jω)平面上，等M轨迹是一簇圆，见下图。对于给定的M值（等M值），上式是一个圆方程式，等M圆等M圆当M>1时，随着M值的增大，等M圆半径愈来愈小，最后收敛于（-1,j0）点，且这些圆均在M=1直线的左侧；当M<1时，随着M值的减小，M圆半径也愈来愈小，最后收敛于原点，而且这些圆都在M=1直线的右侧；当M=1时，它是通过（-1/2，0j）点平行于虚轴的一条直线。等M圆既对称于M=1的直线，又对称于实轴。分析当M>1时，随着M值的增大，等M圆半径愈来愈小等N圆（等相角轨迹）令整理得：定义：闭环频率特性的相角为：G(jω)=p(ω)+jθ(ω)=x+jy

等N圆（等相角轨迹）令整理得：定义：G(jω)=p(ω等N圆等分析等N圆实际上是等相角正切的圆，当相角增加±180°时，其正切相同，因而在同一个圆上；当给定N值(等N值)时，上式为圆的方程，圆心在处，半径为,称为等N圆。所有等N圆均通过原点和（-1，j0）点；对于等N圆，并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧；分析等N圆实际上是等相角正切的圆，当相角利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的闭环频率特性意义：有了等M圆和等N圆图，就可由开环频率特性求单位反馈系统的闭环幅频特性和相频特性。将开环频率特性的极坐标图G(jω)叠加在等M圆线上，如图(a)所示。G(jω)曲线与等M圆相交于ω1，ω2，ω3...。利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的闭环频率特性意义：有了等（a）等M圆（b）等N圆（a）等M圆（b）等N圆在ω=ω1处，G(jω)曲线与M=1.1的等M圆相交表明在ω1频率下，闭环系统的幅值为M(ω1)=1.1依此类推从图上还可看出，M=2的等M圆正好与G(jω)曲线相切，切点处的M值最大，即为闭环系统的谐振峰值Mr，而切点处的频率即为谐振频率ωr。此外，G(jω)曲线与M=0.707的等M圆交点处的频率为闭环系统的截止频率ωb，0＜ω＜ωb称为闭环系统的频带宽度。在ω=ω1处，G(jω)曲线与M=1.1将开环频率特性的极坐标图G(jω)叠加在等N圆线上，如图(b)所示。G(jω)曲线与等N圆相交于ω1，ω2，ω3...如ω=ω1处，G(jω)曲线与-10°的等N圆相交，表明在这个频率处，闭环系统的相角为-10°，依此类推得闭环相频特性。将开环频率特性的极坐标图G(jω)叠加一、等M圆图和等N圆图的应用根据开环幅相曲线，应用等M圆图，可以作出闭环幅频特性曲线，应用等N圆图，可以作出闭环相频特性曲线。一、等M圆图和等N圆图的应用根据开环幅相曲线，应用等M圆图，令M为常数，得到等M圆图令M为常数，得到等M圆图因此因此令N为常数，得到等N圆图令N为常数，得到等N圆图二、尼科尔斯图（N.b.Nichols)如果将开环频率特性表示为:则二、尼科尔斯图（N.b.Nichols)如果将开环频率特性表做变换得由等M线和等线组成的图，称为尼科尔斯图。如图所示。做变换得由等M线和等线组成的图，称为尼科尔斯图。如图尼科尔斯图尼科尔斯图三、利用闭环幅频特性分析和估算系统的性能闭环幅频特性曲线在已知闭环系统稳定的条件下，可以只根据系统闭环幅频特性曲线，对系统的动态响应过程进行定性分析和定量估算。三、利用闭环幅频特性分析和估算系统的性能闭环幅频特性曲线定性分析零频的幅值反映系统在阶跃信号作用下是否存在静差。谐振峰值反映系统的平稳性。带宽频率反映系统的快速性。闭环幅频在处的斜率反映系统抗高频干扰的能力。定性分析零频的幅值反映系统在阶跃信号作用下是否存开环频率特性与时域响应的关系开环频率特性与时域响应的关系通常分为三个频段加以分析，下面介绍“三频段”的概念。低频段低频段通常指的渐近线在第一个转折频率以前的频段，这一段特性完全由积分环节和开环放大倍数决定。开环四、用频率特性分析系统品质开环频率特性与时域响应的关系开环频率特性与时域响应的关系通低频段低频段中频段中频段特性集中反映了系统的平稳性和快速性。中频段中频段特性集中反映了系统的平稳性和快速性。高频段系统开环对数幅频在高频段的幅值，直接反映了