2023学年九年级数学上册从重点到压轴（人教版） 一元二次方程（压轴题综合测试卷）（解析版）

专题21.6一元二次方程（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022春•雨山区校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．4（x+2）＝25 B．2x2+3x﹣1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．1x+2【思路点拨】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解题过程】解：A．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．该方程是分式方程，故本选项不符合题意．故选：B．2．（2022•安庆一模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2021x＝0 B．（x+1）2＝0 C．x2+4＝2x D．x2+2＝3x【思路点拨】求出一元二次方程根的判别式，根据符号即可得到结论．【解题过程】解：A、方程x2﹣2021x＝0，∵Δ＝20212﹣4×1×0＝4084441＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B、∵方程（x+1）2＝0，∴x1＝x2＝﹣1，∴方程有两个相等的实数根，不故本选项不符合题意；C、方程整理得x2﹣2x+4＝0，∵Δ＝4﹣4×1×4＝4﹣16＝﹣12＜0，∴方程没有实数根，故本选项符合题意；D、方程整理得x2﹣3x+2＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．故选：C．3．（2021秋•瓦房店市期末）目前电影《长津湖》票房已突破57亿元．第一天票房约4.1亿元，三天后票房累计总收入达8.22亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x．则可列方程为（）A．4.1（1+x）＝8.22 B．4.1（1+x）2＝8.22 C．4.1+4.1（1+x）2＝8.22 D．4.1+4.1（1+x）+4.1（1+x）2＝8.22【思路点拨】设增长率为x，根据第一天的票房收入及前三天的票房收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解题过程】解：根据题意知4.1+4.1（1+x）+4.1（1+x）2＝8.22，故选：D．4．（2021秋•泉州期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（）A．62 B．63 C．64 D．65【思路点拨】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．【解题过程】解：∵a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的一个根，∴a2+a﹣8＝0∴a2+a＝8，∴a4+a3+8a﹣1＝a2（a2+a）+8a﹣1＝8a2+8a﹣1＝64﹣1＝63，故选：B．5．（2022•南平模拟）已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣5【思路点拨】把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，则利用方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4得到x+1＝2或x+1＝﹣4，然后解一次方程即可．【解题过程】解：把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，∵方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，∴x+1＝2或x+1＝﹣4，解得x＝1或x＝﹣5，∴方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解为x1＝1，x2＝﹣5．故选：B．6．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．b＝c≠a B．a＝b≠c C．a＝c≠b D．a＝b＝c【思路点拨】利用根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝0，再把b＝﹣（a+c）代入得到（a+c）2﹣4ac＝0，所以a＝c，b＝﹣2a，由于a≠0，则a≠b，从而可对各选项进行判断．【解题过程】解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，∵a+b+c＝0，即b＝﹣（a+c），∴（a+c）2﹣4ac＝0，∴（a﹣c）2＝0，∴a﹣c＝0，即a＝c，∴b＝﹣2a，而a≠0，∴a≠b．故选：C．7．（2022•任城区一模）已知a、b、5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（）A．3 B．7 C．3或7 D．﹣3或7【思路点拨】讨论：当a＝5或b＝5，则把x＝5代入方程得k＝3，当a＝b时，利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4（k+2）＝0，解得k＝7，解此时方程得到a＝b＝3，利用三角形三边的关系可判断k＝7符合条件．【解题过程】解：当a＝5或b＝5，把x＝5代入方程x2﹣6x+k+2＝0得25﹣30+k+2＝0，解得k＝3，当a＝b时，Δ＝（﹣6）2﹣4（k+2）＝0，解得k＝7，此时方程为x2﹣6x+9＝0，解方程得a＝b＝3，则a+b＞5，所以k＝7符合条件，综上所述，k的值为3或7．故选：C．8．（2022春•余杭区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，且ac≠0，a≠c．下列说法正确的是（）A．若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0没有实数根 B．若方程ax2+bx+c＝0的两根符号相同，则方程cx2+bx+a＝0的两根符号也相同 C．若5是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则5也是方程cx2+bx+a＝0的一个根 D．若方程ax2+bx+c＝0和方程cx2+bx+a＝0有一个相同的根，则这个根必是x＝1【思路点拨】利用根的判别式与根与系数的关系判断即可．【解题过程】解：A、若方程程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则有b2﹣4ac＝0，可得方程cx2+bx+a＝0也有两个相等的实数根，不符合题意；B、若方程ax2+bx+c＝0的两根符号相同，即ca则方程cx2+bx+a＝0的两根符号也相同，符合题意；C、把x＝5代入方程得：25a+5b+c＝0，而25c+5b+a不一定为0，即x＝5不一定是方程cx2+bx+a＝0的一个根，不符合题意；D、若方程ax2+bx+c＝0和方程cx2+bx+a＝0有一个相同的根，则有ax2+bx+c＝cx2+bx+a，即（a﹣c）x2＝a﹣c，由a≠c，得到x2＝1，即x＝±1，不符合题意．故选：B．9．（2021秋•毕节市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1x1+A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3【思路点拨】根据根与系数关系得出：x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，代入1x1+【解题过程】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，∴x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，∴1x解得：m＝3或m＝﹣1，把m＝3代入方程得：x2﹣9x+9＝0，Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；把m＝﹣1代入方程得：x2+x+1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m＝﹣1舍去．故选：D．10．（2022春•汉阳区校级月考）已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m3+5n2−16A．57 B．58 C．59 D．60【思路点拨】将代数式的次数化为一次，然后将m，n的值代入求解即可．【解题过程】解：∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，∴m=2+2n=2−2∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，∴m2﹣4m+2＝0，∴m2＝4m﹣2，同理可得：n2＝4n﹣2，∴2m3+5n2−16＝2m2•m+5（4n﹣2）−16＝2m（4m﹣2）+20n﹣10−16＝8m2﹣4m+20n﹣10−16＝8（4m﹣2）﹣4m+20n﹣10−16＝28m﹣16+20n﹣10−16＝28m+20n−16将①代入上式可得：28（2+2）+20（2−2）＝56+282+40﹣202＝74+82−8（2+＝58，将②代入上式，同理可得：原式＝58，故选：B．评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022春•九龙坡区校级月考）若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1+6x﹣7＝0是一元二次方程，则k＝﹣1．【思路点拨】根据二次项次数不等于0，未知数最高次数是2可列出关于k的关系式，计算即可．【解题过程】解：由题意得：k−1≠0|k|+1=2∴k＝﹣1．12．（2022春•雨山区校级月考）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片，这个团队有10人．【思路点拨】设这个团队有x人，则每人需送出（x﹣1）张名片，根据在参加会议前该团队共送出90张名片，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解题过程】解：设这个团队有x人，则每人需送出（x﹣1）张名片，依题意得：x（x﹣1）＝90，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去），∴这个团队有10人．故答案为：10．13．（2022春•余杭区月考）关于x的方程ax2﹣2bx﹣3＝0（ab≠0）两根为m，n，且（2am2﹣4bm+2a）（3an2﹣6bn﹣2a）＝54，则a的值为32【思路点拨】由方程的解得出am2﹣2bm＝3，an2﹣2bn＝3，将其代入（2am2﹣4bm+2a）（3an2﹣6bn﹣2a）＝54，得2（3+a）（9﹣2a）＝54，解之可得答案．【解题过程】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2bx﹣3＝0两个根为m，n，∴am2﹣2bm＝3，an2﹣2bn＝3，∵（2am2﹣4bm+2a）（3an2﹣6bn﹣2a）＝54，∴2（am2﹣2bm+a）[3（an2﹣2bn）﹣2a]＝54，即2（3+a）（9﹣2a）＝54，解得a＝0或a=3∵a，b均为非零实数，∴a=3故答案为：3214．（2021秋•昌江区校级期末）若实数x满足2x2+5x+5x+2x2【思路点拨】把1写成4与﹣3的和，利用完全平方公式构造关于（x+1x）的二次方程，利用整体的思想先求解，再求x2【解题过程】解：∵2x2+2x2+∴2x2+4+2x2+∴2（x2+2+1x2）+5（∴2（x+1x）2+5（x∴[2（x+1x）﹣1][（x∴x+1x=1∴（x+1x）2=14或（x∴x2+2+1x2=14∴x2+1x2=−7故答案为：7．15．（2021秋•昌江区校级期末）已知关于x的一元二次方程（3a2+4）x2﹣18ax+15＝0有两个实根x1，x2，则下列结论正确的有①②④．①a≥153或a≤−153；②1x1+1x2=【思路点拨】由判别式大于等于0求解a的范围判断A；利用根与系数的关系计算判断B，C，D．【解题过程】解：由Δ＝（﹣18a）2﹣60（3a2+4）＝144a2﹣240≥0，解得a≥153或ax1十x2=18a3a2+4，x则1x1|x1﹣x2|=(ax∴结论正确的有①②④．故答案为：①②④．评卷人得分三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（2020秋•武侯区校级月考）解方程：（1）2（x+1）2−9（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣2；（3）x（x+3）＝5（x+3）；（4）（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0．【思路点拨】（1）移项，方程两边除以2，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）整理后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）设2x+1＝a，得出方程a2﹣3a﹣28＝0，求出a的值，再求出x即可．【解题过程】解：（1）2（x+1）2−92（x+1）2=9（x+1）2=9开方得：x+1=±3解得：x1=12，x2（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣2，整理得：x2﹣2x＝1，配方得：x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，开方得：x﹣1=±2解得：x1＝1+2，x2＝1−（3）x（x+3）＝5（x+3），x（x+3）﹣5（x+3）＝0，（x+3）（x﹣5）＝0，x+3＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝5；（4）（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0，设2x+1＝a，则原方程化为a2﹣3a﹣28＝0，解得：a＝7或﹣4，当a＝7时，2x+1＝7，解得：x＝3；当a＝﹣4时，2x+1＝﹣4，解得：x=−5所以原方程的解是：x1＝3，x2=−517．（2021秋•鄞州区校级期末）已知a，b是一元二次方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根，解方程组xa【思路点拨】将方程组中的两个方程相减可得（1a−1b−1）（x﹣y）＝0，再由a+b＝2021，ab＝﹣1，可知1【解题过程】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根，∴a+b＝2021，ab＝﹣1，xa①﹣②，得（1a−1b−当x＝y时，①得（1a+1b）∴a+babx＝x∴x=−2021∴方程组的解为x=−2021当x≠y时，1a∴b−aab∴a﹣b﹣1＝0，∵2021﹣2b﹣1＝2022﹣2b≠0，∴方程组的解为x=−202118．（2021秋•章贡区期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请说明方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，则a，b，c的等量关系是2b2＝9ac．（直接写出结果）【思路点拨】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根据“倍根方程”可判断方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；（2）利用因式分解法解方程得x1＝2，x2=−nm，再利用“倍根方程”的定义得到−nm=2×2或−（3）设方程的两根分别为t，2t，根据根与系数的关系得t+2t=−ba，t•2t=ca，然后消去t得到a、【解题过程】解：（1）（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，∴x1＝2，x2＝1，∴方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；（2）∵（x﹣2）（mx+n）＝0，∴x1＝2，x2=−n当−nm=2×2时，n＝﹣4m，即4m当−nm=12×2时，n＝﹣综上所述，m、n的关系式为4m+n＝0或m+n＝0．（3）∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，∴设方程的两根分别为t，2t，根据根与系数的关系得t+2t=−ba，t•2t∴t=−b∴2（−b3a）2∴2b2＝9ac．故答案为：2b2＝9ac．19．（2022•仁寿县模拟）先阅读理解下面的例题，再解答问题：例：解一元三次方程x3﹣x＝0∵x（x2﹣1）＝0即x（x+1）（x﹣1）＝0由“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”，得x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0∴x1＝0x2＝﹣1x3＝1根据以上解答过程，请你完成下列两个一元三次方程的解答：（1）解一元三次方程x3﹣2x2﹣x+2＝0；（2）解一元三次方程x3﹣6x2+11x﹣6＝0．【思路点拨】（1）方程按第一二项、三四项分组，分组后分解因式，利用“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”求解；（2）方程的11x拆分成9x与2x的和，这样方程按x3、6x2、9x与2x、6进行分组，分组后分解因式，利用“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”求解．【解题过程】解：（1）x3﹣2x2﹣x+2＝0，x2（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x2﹣1）＝0，（x﹣2）（x+1）（x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0或x﹣1＝0．∴x1＝2，x2＝﹣1，x3＝1．（2）x3﹣6x2+11x﹣6＝0，x3﹣6x2+9x+2x﹣6＝0，x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）＝0，x（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0，（x﹣3）[x（x﹣3+2）]＝0，（x﹣3）（x2﹣3x+2）＝0，（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣2＝0或x﹣1＝0．∴x1＝3，x2＝2，x3＝1．20．（2021秋•千山区月考）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．（1）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；（2）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．【思路点拨】若设BC＝x米，则AB＝（51﹣3x）米．（1）根据矩形围栏ABCD的面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长25米，即可得出栅栏BC的长为10米；（2）矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米，根据矩形围栏ABCD的面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣31＜0，可得出原方程没有实数根，即矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米．【解题过程】解：若设BC＝x米，则AB＝（49+1+1﹣3x）＝（51﹣3x）米．（1）依题意得：x（51﹣3x）＝210，整理得：x2﹣17x+70＝0，解得：x1＝7，x2＝10．当x＝7时，51﹣3x＝51﹣3×7＝30＞25，不合题意，舍去；当x＝10时，51﹣3x＝51﹣3×10＝21＜25，符合题意．答：栅栏BC的长为10米．（2）矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米，理由如下：依题意得：x（51﹣3x）＝240，整理得：x2﹣17x+80＝0．∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，∴原方程没有实数根，∴矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米．21．（2021秋•九龙坡区校级期中）某电商公司推出A、B两种类型的超薄全面屏电视机，已知售出2台A型电视机，3台B型电视机的销售额为35500元：售出1台A型电视机，2台型电视机的销售额为20500元．（1）求每台A型电视机和B型电视机的售价分别是多少元；（2）该电商公司在8月实行“满减促销”活动，活动方案为：单台电视机满4000元减500元，满9000元减1500元（每台电视机只能参加一次最高满减活动）结果8月A型电视机的销量是B型电视机的34，9月该电商公司加大促销活动力度，每台A型电视机按照8月满减后的售价再降14a%，销量比8月增加2a%；每台B型电视机按照8月满减后的售价再降a%，销量比8月销量增加25a%，结果9月A和B的销售总额比8月A和B的销售总额多711【思路点拨】（1）设每台A型电视机的售价为x元，每台B型电视机的售价为y元，根据“售出2台A型电视机，3台B型电视机的销售额为35500元：售出1台A型电视机，2台型电视机的销售额为20500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每台A型电视机和B型电视机的售价；（2）设8月B型电视机的销售量为m台，则A型电视机的销售量为34m，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合9月A和B的销售总额比8月A和B的销售总额多711a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出【解题过程】解：（1）设每台A型电视机的售价为x元，每台B型电视机的售价为y元，依题意得：2x+3y=35500x+2y=20500解得：x=9500y=5500答：每台A型电视机的售价为9500元，每台B型电视机的售价为5500元．（2）设8月B型电视机的销售量为m台，则A型电视机的销售量为34m依题意得：（9500﹣1500）×（1−14a%）×（1+2a%）×34m+（5500﹣500）×（1﹣a%）×（1+25a%）m＝[（9500﹣1500）×3整理得：0.5a2﹣5a＝0，解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为10．22．（2021•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为6cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【思路点拨】（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为6cm，根据勾股定理列式求解即可；（2）设经过y秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由三角形的面积公式列式并求解即可；（3）分三种情况列方程求解即可：①点P在线段AB上，点Q在射线CB上；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上．【解题过程】解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为6cm，则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），∵AB＝6cm，BC＝8cm∴PB＝（6﹣x）（cm），∵在△ABC中，∠B＝90°∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6化简得：5x2﹣12x+30＝0∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0∴点P，Q之间的距离不可能为6cm．（2）设经过x