上海市市东中学高三数学文模拟试卷含解析

上海市市东中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点F1，F2为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点P使得，则此椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，） B．（0，] C．（，] D．[，1）参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】分类讨论；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得||=，||=，当P与两焦点F1，F2能构成三角形时，由余弦定理可得ac的不等式，可得离心率的范围；当P与两焦点F1，F2共线时，可e==；综合可得．【解答】解：由题意设=2x，则2x+x=2a，解得x=，故||=，||=，当P与两焦点F1，F2能构成三角形时，由余弦定理可得4c2=+﹣2×××cos∠F1PF2，由cos∠F1PF2∈（﹣1，1）可得4c2=﹣cos∠F1PF2∈（，），即＜4c2＜，∴＜＜1，即＜e2＜1，∴＜e＜1；当P与两焦点F1，F2共线时，可得a+c=2（a﹣c），解得e==；综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[，1）故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想，属中档题．2.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是

A．

B．C．

D．参考答案：D略3.集合，则

(A)(-∞,1]U(2,+∞)

(B)

(C)[1，2)

(D)(1，2]参考答案：【知识点】集合

A1D解析：所以D正确.【思路点拨】根据交集的概念可求出正确结果.4.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线C的离心率为2，△AOB的面积为，则△AOB的内切圆半径为(

) A．﹣1 B．+1 C．2﹣3 D．2+3参考答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的离心率公式及a，b，c的关系可得b=a，由双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程解得A，B，求出三角形AOB的面积，进而解得p=2，即有A，B的坐标，进而得到三角形AOB的三边，再由内切圆的半径与三角形的面积之间的关系，计算即可得到r．解答： 解：由e====2，可得=．由，求得A（﹣，），B（﹣，﹣），所以S△AOB=??=．将=代入，得p2=4，解得p=2．所以A（﹣1，），B（﹣1，﹣），则△AOB的三边分别为2，2，2，设△AOB的内切圆半径为r，由（2+2+2）r=，解得r=2﹣3，故选C．点评：本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，然后利用图形中的平面几何性质解答问题．5.

复数z1=2+i,z2=1+i,则复数在复平面内的对应点位于A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

参考答案：答案：D6.学校高中部共有学生2000名，高中部各年级男、女生人数如下表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0．18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为

高一高二高三女生373yx男生327Z340A．14

B．15

C．16

D．17参考答案：B略7.要得到函数的图象，只需将函数的图象

(A)向左平移个单位(B)向右平移单位

(C)向左平移个单位(D向右平移个单位参考答案：B8.函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上（其中m，n＞0），则4m+2n的值等于(

)A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】直线的一般式方程；对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题．【分析】由对数函数的特点可得点A的坐标，代入直线方程可得2m+n=1，进而可得4m+2n的值．【解答】解：由题意当x=﹣2时，无论a为何值，总有y=﹣1即点A的坐标为（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，所以﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，故4m+2n=2（2m+n）=2故选C【点评】本题为对数函数过定点的问题，准确找到定点是解决问题的关键，属基础题．9.已知i是虚数单位，则复数的值为A．i

B.－i

C.1

D．－1参考答案：A10.曲线的极坐标方程化为直角坐标为（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果直线AB与平面相交于B，且与内过点B的三条直线BC,BD,BE所成的角相同，则直线AB与CD所成的角=_________.参考答案：

12.某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买

吨．参考答案：3013.展开式中常数项为

参考答案：14.已知角α的终边上一点的坐标为（﹣sin25°，cos25°），则角α的最小正值为．参考答案：115°【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得角α的最小正值．【解答】解：∵角α的终边上一点的坐标为（﹣sin25°，cos25°），为第二象限角，且tanα==﹣cot25°=﹣tan65°=tan=tan115°，则角α的最小正值为115°，故答案为：115°．15.焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于的椭圆的标准方程为________．参考答案：【分析】由短轴长等于16可得，联立离心率及即可求得，问题得解。【详解】由题可得：，解得：又，解得：所以所求椭圆的标准方程为.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查计算能力，属于基础题。16.若圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m=．参考答案：±3考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：先求出圆的圆心和半径，根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，求得m的值．解答：解：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）、半径为2；圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0，即（x﹣m）2+y2=1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆．根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3，故答案为：±3．点评：本题主要考查圆的标准方程，两个圆相外切的性质，属于基础题．17.若命题“是真命题”，则实数a的取值范围是

。参考答案：或若命题为真，则对应方程有解，即，解得或。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，、是单位圆上的动点，是单位圆与轴的正半轴的交点，且，记，，的面积为.（Ⅰ）若，试求的最大值以及此时的值.（Ⅱ）当点坐标为时，求的值.参考答案：【解】（Ⅰ）………………2分则，…………4分，故时，…6分（Ⅱ）依题由余弦定理得：…略19.已知函数．（I）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；（II）设F（x）=aln（x﹣1）﹣f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I）由函数，知f（x）的定义域为（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，由此利用导数性质能求出当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值．（II）由F（x）是单调递增函数，知f′（x）＞0恒成立，所以（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．再由分类讨论思想能求出a的取值范围．解答： 解：（I）∵函数，∴f（x）的定义域为（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，又∵f′（x）=，∴，解得t=3．∴=，∴当2＜x＜4时，f′（x）＜0；当x＞4时，f′（x）＞0．∴f（x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，∴f（x）在[3，7]上的最大值在应在端点处取得．∵f（3）﹣f（7）=（3ln5﹣ln1）﹣（3ln9﹣ln5）=（ln625﹣ln729）＜0，∴f（3）＜（7），故当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值．（II）∵F（x）是单调递增函数，∴f′（x）＞0恒成立．又∵=，在f（x）的定义域（2，+∞）上，（x﹣1）（x2﹣4）＞0恒成立，∴（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．下面分类讨论（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况：当a﹣1＜0时，不可能有（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立；当a﹣1=0时，（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）=5x﹣5＞0在（2，+∞）恒成立；当a﹣1＞0时，又有两种情况：①52+16（a﹣1）（a+1）＜0；②，且（a﹣1）x2+5×2﹣4（a+1）＞0．由①得16a2+9＜0，无解；由②得a＞﹣，∵a﹣1＞0，∴a＞1．综上所述，当a≥1时，（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．∴a的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查函数的最大值的求法及应用，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．20.如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB的大小．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD是⊙O的切线．（Ⅱ）利用射影定理，求出AD，即可求∠AEB的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（Ⅱ）解：设OA=1，AD=x，则AB=2，AE=x+3，由AB2=AD?AE得x（x+3）=4，∴x=1，∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及射影定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．21.已知数列{an}中，a1=1，且点（an，an+1）在函数y=x+1的图象上（n∈N*），数列{bn}是各项都为正数的等比数列，且b2=2，b4=8．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}满足cn=（﹣1）nan+bn，记数列{cn}的前n项和为Tn，求T100的值．参考答案：考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由于点（an，an+1）在函数y=x+1的图象上（n∈N*），可得an+1=an+1，利用等差数列的通项公式即可得出．数列{bn}为等比数列，设公比为q，由于b2=2，b4=8，可得b4=b1q3=8，b1q=2．解出即可．（II）数列{cn}满足cn=（﹣1）nan+bn=（﹣1）nn+2n﹣1，可得T100=（﹣1+2﹣3+4+…+100）+（1+2+22+…+299），利用分组求和与等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）∵点（an，an+1）在函数y=x+1的图象上（n∈N*），∴an+1=an+1，即an+1﹣an=1，∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．故数列{an}的通项公式为an=n．数列{bn}为等比数列，设公比为q，∵b2=2，b4=8，∴b4=b1q3=8，b1q=2．bn＞0，∴b1=1，q=2．∴bn=2n﹣1（n∈N*）．（Ⅱ）∵数列{cn}满足cn=（﹣1）nan+bn=（﹣1）nn+2n﹣1，∴T100=（﹣1+2﹣3+4+…+100）+（1+2+22+…+299）=50+=50+2100﹣1=22100+49．点评：本题考查了“分组求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解析：（Ⅰ）当时，，解得；当时，，∴，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，故．·····························································································4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴·······················5分令，则，两式相减得∴，·····················