【解析】2023年四川省中考数学真题分类汇编：锐角三角函数、投影与视图

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2023年四川省中考数学真题分类汇编：锐角三角函数、投影与视图

一、选择题

1．（2023·广元）某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（）

A．B．C．D．

2．（2023·泸州）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（）

A．圆柱B．圆锥C．长方体D．三棱柱

3．（2023·内江）如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其主视图是（）

A．B．

C．D．

4．（2023·广安）如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（）

A．B．

C．D．

5．（2023·南充）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（）

A．米B．米C．米D．米

6．（2023·眉山）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（）

A．6B．9C．10D．14

7．（2023·遂宁）生活中一些常见的物体可以抽象成立体图形，以下立体图形中三视图形状相同的可能是（）

A．正方体B．圆锥C．圆柱D．四棱锥

8．（2023·凉山）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）

A．B．

C．D．

9．（2023·自贡）如图中六棱柱的左视图是（）

A．B．C．D．

二、填空题

10．（2023·眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．

11．（2023·成都）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有个.

三、解答题

12．（2023·遂宁）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：

实践探究活动记录表

活动内容测量湖边A、B两处的距离

成员组长：×××组员：××××××××××××

测量工具测角仪，皮尺等

测量示意图说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得的度数．

测量数据角的度数

边的长度米

米

数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．

（1）已知：如图，在中，．____．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段的长．（为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．）

13．（2023·宜宾）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离，如图．在桥面上点处，测得到左桥墩的距离米，左桥墩所在塔顶的仰角，左桥墩底的俯角，求的长度．（结果精确到米．参考数据：，）

14．（2023·成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.

如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据：，，）

15．（2023·泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．

四、综合题

16．（2023·广元）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．

（1）已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算；

（2）求风叶的长度．

17．（2023·自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

（1）测量坡角

如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．

如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．

（2）测量山高

同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）

（3）测量改进

由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：这个几何体的左视图是：共2列，从左到右小正方形的个数依次为1、2；

故答案为：D.

【分析】这个几何体的左视图是：共2列，从左到右小正方形的个数依次为1、2，据此判断即可；

2．【答案】D

【知识点】由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：A、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，不符合题意；

B、圆锥的三视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及一点，不符合题意；

C、长方体的三视图都是矩形，不符合题意；

D、三棱柱的三视图为一个长方形里有一条竖直的线，左视图为一个长方形，俯视图为一个三角形，符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据圆柱，圆锥，长方体和三棱柱的三视图，结合图形判断即可。

3．【答案】A

【知识点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：由题意得其主视图是，

故答案为：A

【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可求解。

4．【答案】B

【知识点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：由题意得它的俯视图是，

故答案为：B

【分析】根据几何体的三视图即可求解。

5．【答案】B

【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：由题意得，

∴AC=，

故答案为：B

【分析】直接运用解直角三角形的知识即可求解。

6．【答案】B

【知识点】由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：由题意得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为6个，搭成该立体图形的小正方体第二层最少为2个，搭成该立体图形的小正方体第二层最少为1个，

∴搭成该立体图形的小正方体第二层最少为9个，

故答案为：B

【分析】根据三视图即可结合题意即可判断出小立方体的个数。

7．【答案】A

【知识点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：

A、三视图都为正方形，A符合题意；

B、主视图是等腰三角形，左视图是等腰三角形，俯视图是圆，B不符合题意；

C、主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，C不符合题意；

D、主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是四边形，D不符合题意；

故答案为：A

【分析】根据三视图的定义对选项逐一进行判断即可求解。

8．【答案】B

【知识点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：由题意得这个几何体的主视图左边一列有两个小正方形，右边一列有一个小正方形，

故答案为：B

【分析】根据俯视图即可计算出主视图的小正方形个数和列数。

9．【答案】A

【知识点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：由题意得图中六棱柱的左视图是，

故答案为：A

【分析】根据几何体三视图的定义即可求解。

10．【答案】

【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如图所示：

由题意得，

设DC=a，则BD=a，，

∴，

解得a=，

∴渔船与灯塔C的最短距离是海里，

故答案为：

【分析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，先根据特殊三角函数值即可得到，设DC=a，再运用解直角三角形的知识即可求出a，进而即可求解。

11．【答案】6

【知识点】由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：根据所给的主视图和俯视图，可知这个几何体共有2层2列，且左边一列最少有3个小立方块，最多有4个小立方块，右边一列有2个小立方块，所以搭成这个几何体的小立方块最多有6个，

故答案为：6.

【分析】观察所给的左视图和俯视图，求解即可。

12．【答案】（1）当填入米时：

解：作于点D，

在中，，，

∴，，

在中，，，

∴，

∴，

∴(米)，

答：线段的约长为77米．

当填入米时：

解：作于点D，

在中，，，

∴，

∴，

在中，，，

∴，

∴(米)，

答：线段的约长为77米．

【知识点】解直角三角形

【解析】【分析】当填入米时：作于点D，运用解直角三角形的知识即可求解；当填入米时：作于点D，运用解直角三角形的知识即可求解。

13．【答案】解：如图所示，上截取，使得，

∴，

∵

∴，

设，在中，，

∴

又

∴

∴

即米.

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】上截取，使得，进而得到，设，在中，，，从而即可表示AD的长，进而得到x即可求解。

14．【答案】阴影CD的长约为2.2米

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AF⊥BC，过点C作DG⊥AF交AF于点G，

∴∠GFC=∠FGC=90°，

∵∠C=90°，

∴四边形CDGF是矩形，

∴CF=GD，FG=CD，

∵AB=5米，∠BAF=16°，

∴BF=sin16°·AB≈0.28×5=1.4（米），AF=cos16°·AB≈0.96×5=4.8（米），

∴GD=CF=BC-BF=4-1.4=2.6（米），

∵∠ADE=45°，

∴∠GAD=45°，

∴AG=GD=2.6米，

∴CD=FG=AF-AG=4.8-2.6=2.2（米），

即阴影CD的长为2.2米.

【分析】利用矩形的判定方法求出四边形CDGF是矩形，再利用锐角三角函数求出BF和AF的值，最后计算求解即可。

15．【答案】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：

则，

∵斜面的坡度为，

∴设，则，

在中，根据勾股定理得：，

即，

解得：，负值舍去，

即，

∵为水平方向，为竖直方向，

∴，

∵，

∴四边形为矩形，

∴，

∵，

∴在中，，

∵，

∴在中，，

∴．

答：古树的高度为．

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出x=20，再求出四边形为矩形，最后利用矩形的性质和锐角三角函数计算求解即可。

16．【答案】（1）解：由题意可得：，

∴；

（2）解：过点A作，连接，，如图所示，

由题意得：米，，

∴米，，

∵三片风叶两两所成的角为，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴米，

∵，，

∴，

由（1）得：，

∴米，

∴米，

∵，，，

∴四边形是矩形，

∴米，

∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，

∴，

∴米，

∴风叶的长度为米．

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】（1）由，利用α，β两角和的余弦公式长并计算即可；

（2）过点A作，连接，，先求出∠AED=75°，从而求出米，即得DF=DE-EF=90-米，易证四边形是矩形，可得米，结合题意可得，根据OA=即可求解.

17．【答案】（1）解：由题意得，

∴；

（2）解：在中，．

∴，

在中，，米，

∴(米)，

在中，，米，

∴(米)，

在中，，米，

∴(米)，

∴山高(米)，

答：山高为69米；

（3）解：如图，由题意得，，

设山高，则，

在中，，，

∴，

∴，

在中，，，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

解得，山高

答：山高的高为米．

【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形

【解析】【分析】（1）直接根据题意即可求解；

（2）先运用锐角三角函数的定义得到，再分别解直角三角形即可求解；

（3）先根据题意得到，，设山高，则，再结合题意分别求出，，进而根据即可求解。

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2023年四川省中考数学真题分类汇编：锐角三角函数、投影与视图

一、选择题

1．（2023·广元）某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：这个几何体的左视图是：共2列，从左到右小正方形的个数依次为1、2；

故答案为：D.

【分析】这个几何体的左视图是：共2列，从左到右小正方形的个数依次为1、2，据此判断即可；

2．（2023·泸州）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（）

A．圆柱B．圆锥C．长方体D．三棱柱

【答案】D

【知识点】由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：A、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，不符合题意；

B、圆锥的三视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及一点，不符合题意；

C、长方体的三视图都是矩形，不符合题意；

D、三棱柱的三视图为一个长方形里有一条竖直的线，左视图为一个长方形，俯视图为一个三角形，符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据圆柱，圆锥，长方体和三棱柱的三视图，结合图形判断即可。

3．（2023·内江）如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其主视图是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：由题意得其主视图是，

故答案为：A

【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可求解。

4．（2023·广安）如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：由题意得它的俯视图是，

故答案为：B

【分析】根据几何体的三视图即可求解。

5．（2023·南充）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（）

A．米B．米C．米D．米

【答案】B

【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：由题意得，

∴AC=，

故答案为：B

【分析】直接运用解直角三角形的知识即可求解。

6．（2023·眉山）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（）

A．6B．9C．10D．14

【答案】B

【知识点】由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：由题意得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为6个，搭成该立体图形的小正方体第二层最少为2个，搭成该立体图形的小正方体第二层最少为1个，

∴搭成该立体图形的小正方体第二层最少为9个，

故答案为：B

【分析】根据三视图即可结合题意即可判断出小立方体的个数。

7．（2023·遂宁）生活中一些常见的物体可以抽象成立体图形，以下立体图形中三视图形状相同的可能是（）

A．正方体B．圆锥C．圆柱D．四棱锥

【答案】A

【知识点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：

A、三视图都为正方形，A符合题意；

B、主视图是等腰三角形，左视图是等腰三角形，俯视图是圆，B不符合题意；

C、主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，C不符合题意；

D、主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是四边形，D不符合题意；

故答案为：A

【分析】根据三视图的定义对选项逐一进行判断即可求解。

8．（2023·凉山）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：由题意得这个几何体的主视图左边一列有两个小正方形，右边一列有一个小正方形，

故答案为：B

【分析】根据俯视图即可计算出主视图的小正方形个数和列数。

9．（2023·自贡）如图中六棱柱的左视图是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：由题意得图中六棱柱的左视图是，

故答案为：A

【分析】根据几何体三视图的定义即可求解。

二、填空题

10．（2023·眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．

【答案】

【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如图所示：

由题意得，

设DC=a，则BD=a，，

∴，

解得a=，

∴渔船与灯塔C的最短距离是海里，

故答案为：

【分析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，先根据特殊三角函数值即可得到，设DC=a，再运用解直角三角形的知识即可求出a，进而即可求解。

11．（2023·成都）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有个.

【答案】6

【知识点】由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：根据所给的主视图和俯视图，可知这个几何体共有2层2列，且左边一列最少有3个小立方块，最多有4个小立方块，右边一列有2个小立方块，所以搭成这个几何体的小立方块最多有6个，

故答案为：6.

【分析】观察所给的左视图和俯视图，求解即可。

三、解答题

12．（2023·遂宁）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：

实践探究活动记录表

活动内容测量湖边A、B两处的距离

成员组长：×××组员：××××××××××××

测量工具测角仪，皮尺等

测量示意图说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得的度数．

测量数据角的度数

边的长度米

米

数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．

（1）已知：如图，在中，．____．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段的长．（为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．）

【答案】（1）当填入米时：

解：作于点D，

在中，，，

∴，，

在中，，，

∴，

∴，

∴(米)，

答：线段的约长为77米．

当填入米时：

解：作于点D，

在中，，，

∴，

∴，

在中，，，

∴，

∴(米)，

答：线段的约长为77米．

【知识点】解直角三角形

【解析】【分析】当填入米时：作于点D，运用解直角三角形的知识即可求解；当填入米时：作于点D，运用解直角三角形的知识即可求解。

13．（2023·宜宾）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离，如图．在桥面上点处，测得到左桥墩的距离米，左桥墩所在塔顶的仰角，左桥墩底的俯角，求的长度．（结果精确到米．参考数据：，）

【答案】解：如图所示，上截取，使得，

∴，

∵

∴，

设，在中，，

∴

又

∴

∴

即米.

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】上截取，使得，进而得到，设，在中，，，从而即可表示AD的长，进而得到x即可求解。

14．（2023·成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.

如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据：，，）

【答案】阴影CD的长约为2.2米

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AF⊥BC，过点C作DG⊥AF交AF于点G，

∴∠GFC=∠FGC=90°，

∵∠C=90°，

∴四边形CDGF是矩形，

∴CF=GD，FG=CD，

∵AB=5米，∠BAF=16°，

∴BF=sin16°·AB≈0.28×5=1.4（米），AF=cos16°·AB≈0.96×5=4.8（米），

∴GD=CF=BC-BF=4-1.4=2.6（米），

∵∠ADE=45°，

∴∠GAD=45°，

∴AG=GD=2.6米，

∴CD=FG=AF-AG=4.8-2.6=2.2（米），

即阴影CD的长为2.2米.

【分析】利用矩形的判定方法求出四边形CDGF是矩形，再利用锐角三角函数求出BF和AF的值，最后计算求解即可。

15．（2023·泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．

【答案】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：

则，

∵斜面的坡度为，

∴设，则，

在中，根据勾股定理得：，

即，

解得：，负值舍去，

即，

∵为水平方向，为竖直方向，

∴，

∵，

∴四边形为矩形，

∴，

∵，

∴在中，，

∵，

∴在中，，

∴．

答：古树的高度为．

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出x=20，再求出四边形为矩形，最后利用矩形的性质和锐角三角函数计算求解即可。

四、综合题

16．（2023·广元）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．

（1）已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算；

（2）求风叶的长度．

【答案】（1）解：由题意可得：，

∴；

（2）解：过点A作，连接，，如图所示，

由题意得：米，，

∴米，，