2021-2023年高考数学真题分类汇编专题04 导数及其应用（解答题）（理）（解析版）

专题04导数及其应用（解答题）（理）知识点目录知识点1：恒成立与有解问题知识点2：极最值问题知识点3：证明不等式知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）知识点5：零点问题近三年高考真题知识点1：恒成立与有解问题1．（2023•甲卷（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）已知SKIPIF1<0，函数定义域为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；（2）不妨设SKIPIF1<0，函数定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递增，此时SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，此时SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，符合题意；②当SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，所以在区间SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，可得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符合题意，综上，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．（2021•天津）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0．（1）求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线方程；（2）证明函数SKIPIF1<0存在唯一的极值点；（3）若SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0；（2）证明：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，作出图象，如图，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0仅有一个交点，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数；所以SKIPIF1<0时是SKIPIF1<0的极大值点，故SKIPIF1<0仅有一个极值点；（3）由（2）知SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，则等价于存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单调减函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单调增函数，所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3．（2023•上海）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的“控制函数”，且对所有满足条件的函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得的最小值记为SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试判断函数SKIPIF1<0是否为函数SKIPIF1<0的“控制函数”，并说明理由；（2）若SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线为直线SKIPIF1<0，证明：函数SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的“控制函数”，并求SKIPIF1<0的值；（3）若曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：当且仅当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（c）SKIPIF1<0（c）．【解析】（1）SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，易知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0单调减，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“控制函数“；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的“控制函数“，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；证明：（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，函数SKIPIF1<0必是函数SKIPIF1<0的“控制函数“，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的“控制函数“，此时“控制函数“SKIPIF1<0必与SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处相切，且过点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0之间的点不可能使得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0切线下方，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．知识点2：极最值问题4．（2023·北京·统考高考真题）设函数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)设函数SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；(3)求SKIPIF1<0的极值点个数．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0恒成立，所以令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，即SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.（3）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个极小值点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个极大值点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个极小值点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无极值点；综上：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上各有一个极小值点，在SKIPIF1<0上有一个极大值点，共有SKIPIF1<0个极值点.5．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；参考答案（2）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极大值点，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综合可得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，易知存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，这显然与SKIPIF1<0为函数的极大值点相矛盾，故舍去；②若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，满足SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极大值点，符合题意；③若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0只考虑SKIPIF1<0的情况，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，与显然与SKIPIF1<0为函数的极大值点相矛盾，故舍去．综合可得：SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．6．（2023•乙卷（理））已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线方程；（2）是否存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得曲线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，若存在，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，若不存在，说明理由；（3）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在极值，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使函数SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0对称，则由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．综上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在极值点，则方程SKIPIF1<0有正根，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，不符合题意；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，不符合题意；③当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，不符合题意；易知SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故只需SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，故取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，符合题意；综上所述，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在极值点．知识点3：证明不等式7．（2022•新高考Ⅱ）已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；（3）设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减．（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，使得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内递增，所以SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0矛盾，故舍去；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，符合题意．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，符合题意．综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．另SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，所以SKIPIF1<0，与题意矛盾；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，所以SKIPIF1<0，满足题意；．③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，所以SKIPIF1<0，满足题意；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0递减，SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，此时SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，所以SKIPIF1<0，与题意矛盾．综上可得，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）由（2）可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．另运用数学归纳法证明．当SKIPIF1<0时，左边SKIPIF1<0成立．假设当SKIPIF1<0时，不等式成立，即SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，要证SKIPIF1<0，只要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0．可令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则需证明SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，则需证明SKIPIF1<0．构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上递减，则SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，所以原不等式成立，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立．综上可得，SKIPIF1<0成立．8．（2023•新高考Ⅰ）已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增．证明：（2）由（1）可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（a）单调递减，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（a）单调递增，所以SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得证，即SKIPIF1<0得证．9．（2021•乙卷（理））已知函数SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的极值点．（1）求SKIPIF1<0；（2）设函数SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）由题意，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个极大值点．综上所述，SKIPIF1<0；（2）证明：由（1）可知，SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，即需证明SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以需证明SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极小值点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．10．（2023•天津）已知函数SKIPIF1<0．（Ⅰ）求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0；（Ⅲ）证明：SKIPIF1<0．【解析】（Ⅰ）对函数SKIPIF1<0求导，可得SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0；（Ⅱ）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，因此SKIPIF1<0，原不等式得证；（Ⅲ）证明：设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由（2），SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，不等式右边得证；要证SKIPIF1<0，只需证：对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，累加得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即得证．知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）11．（2021•新高考Ⅰ）已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两个不相等的正数，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）由函数的解析式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减．（2）证明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的两根，其中SKIPIF1<0．不妨令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，先证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得证．同理，要证SKIPIF1<0，（法一）即证SKIPIF1<0，根据（1）中SKIPIF1<0单调性，即证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0得证，（法二）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得证，则SKIPIF1<0．12．（2022•天津）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线方程；（2）若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共点．（ⅰ）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的取值范围；（ⅱ）求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0；（2）（ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共点，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0有解，显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（ⅱ）证明：令交点的横坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由柯西不等式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又易证SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．13．（2022•浙江）设函数SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的单调区间；（Ⅱ）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0上不同的三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线都经过点SKIPIF1<0．证明：（ⅰ）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0；（ⅱ）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（注SKIPIF1<0是自然对数的底数）【解析】（Ⅰ）SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．（Ⅱ）SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0过SKIPIF1<0有三条不同的切线，设切点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0有3个不同的根，该方程整理为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上为减函数，在SKIPIF1<0上为增函数，SKIPIF1<0有3个不同的零点，SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（a）为SKIPIF1<0上的减函数，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当