2022-2023学年江西省吉安三中（艺术类）高二（下）期末数学试卷（含解析）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.直线的倾斜角为()

A.B.C.D.

2.将圆平分的直线是()

A.B.C.D.

3.抛物线：过点，则的准线方程为()

A.B.C.D.

4.已知向量，则向量在向量上的投影向量()

A.B.C.D.

5.两个数，的等差中项是()

A.B.C.D.

6.在等比数列中，已知，，则等于()

A.B.或C.或D.

7.曲线在处的切线方程为()

A.B.C.D.

8.若函数在上存在极值，则正整数的最小值为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.以下函数求导正确的有()

A.B.C.D.

10.对于数列，若，，则下列说法正确的是()

A.B.数列是等差数列

C.数列是等差数列D.

11.已知数列的前项和为，且满足，，则()

A.B.

C.数列为等差数列D.为等比数列

12.古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，比如图中的，，，，，，这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数，类似地，把，，，，叫做正方形数，如图，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是()

A.B.C.D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.等比数列的前项和，则．

14.曲线在点处的切线方程为______．

15.一支车队有辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息已知每辆车行驶的速度都是，则这个车队当天一共行驶了______千米？

16.如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知直线：和直线：．

若，求实数的值；

若，求实数的值．

18.本小题分

圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．

求圆的方程；

求圆在轴截得的弦长．

19.本小题分

已知甲书架上有本英文读物和本中文读物，乙书架上有本英文读物和本中文读物．

Ⅰ从甲书架上无放回地取本书，每次任取本，求第一次取到英文读物的条件下第二次仍取到英文读物的概率；

Ⅱ先从乙书架上随机取本书放在甲书架上，再从甲书架上随机取本书，求从甲书架上取出的是本英文读物的概率．

20.本小题分

如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点．

求线段的长度；

求．

21.本小题分

已知等差数列的首项为，其前项和为，且是与的等比中项．

求数列的通项公式；

若是数列的前项和，求证：．

22.本小题分

已知函数．

若在处取得极值，求的值；

若有两个零点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：设直线的倾斜角为，

直线的斜率为，

则，

，

．

故选：．

根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．

本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：圆的圆心坐标，

显然满足，

故选：．

求出圆的圆心坐标，代入直线方程验证即可．

本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系的应用，是基础题．

3.【答案】

【解析】解：抛物线：的焦点坐标为，

所以，

解得．

所以抛物线的准线方程为：．

故选：．

利用抛物线的焦点坐标，列出方程求解即可．

本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，属基础题．

4.【答案】

【解析】解：向量，

则，，

故向量在向量上的投影向量．

故选：．

根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：两个数，的等差中项，

故选：．

利用等差中项的定义即可得出结论．

本题考查了等差中项的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为，

由于，则，解可得，

又由，

若，则，则，，

若，则，则，，

故．

故选：．

根据题意，设等比数列的公比为，由等比中项的性质可得的值，由此分析的值，计算可得答案．

本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：，

由导数的几何意义可得，

在处的切线的斜率为，

又，

所以在点处的切线方程为，

即．

故选：．

求导得，由导数的几何意义可得，，又，进而可得答案．

本题考查导数的几何意义，切线方程的求解，属基础题．

8.【答案】

【解析】解：，

，

函数在上存在极值，

函数在上不是单调函数，

可得有两个不等的根，

即，

解得，或，

正整数的最小值为．

故选：．

求出函数的导数，由题意得函数的导数在上有两个不等实数根，再由判别式大于求出实数的取值范围，即可得到正整数的最小值．

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查化归与转化思想，是中档题．

9.【答案】

【解析】解：，A正确；

，常数的导数为，B错误；

，C错误；

，D正确．

故选：．

利用基本初等函数的求导公式及运算法则即可逐一求导得出结论．

本题主要考查导数的运算，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：对于数列，已知，，

则，

由可得：，

又，

即数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公差的等差数列，

则，，

对于选项A，，即选项A正确；

对于选项B，，，，数列不是等差数列，即选项B错误；

对于选项C，数列是以为首项，为公差的等差数列，即选项C正确；

对于选项D，数列是以为首项，为公差的等差数列，则，即选项D正确．

故选：．

由数列的递推式可得数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公差的等差数列，然后结合等差数列通项公式的求法逐一判断即可得解．

本题考查了数列的递推式，重点考查了等差数列通项公式的求法，属基础题．

11.【答案】

【解析】解：，

当时，，解得，故A正确；

当时，，

由得，即，

，

又，则数列是首项为，公差为的等差数列，故C正确；

，即，

，故D错误；

，故B正确；

故选：．

根据与的关系变形可得，利用等差数列的定义，可得，求出，即可得出答案．

本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：设三角形数从小到大排序，构成数列，正方形数从小到大排序，构成数列，

则，，

对于，，，既是三角形数又是正方形数，A正确；

对于，，无正整数解，

是正方形数，不是三角形数，B错误；

对于，，无正整数解，

是正方形数，不是三角形数，C错误；

对于，，，

既是三角形数又是正方形数，D正确．

故选：．

设三角形数从小到大排序，构成数列，正方形数从小到大排序，构成数列，根据题意分别求出两个数列的通项，再逐一检验即可．

本题主要考查归纳推理，属于基础题．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列的前项和公式．

方法一：令分别取、、，可得关于的方程，求解即得答案方法二：可根据求得数列的通项公式，进而求得，再根据求得．

【解答】

解：方法一：设等比数列的公比为，

由题可知：，，

，

，

，

，．

故答案为．

方法二：，，，

，

又，由通项得：，公比为，

，

．

故答案为．

14.【答案】

【解析】解：由，

所以，

所以，

所以曲线在点处的切线斜率为，

所以所求切线方程为，即．

故答案为：．

根据导数的几何意义求解即可．

本题考查利用导数求函数的切线问题，化归转化思想，属中档题．

15.【答案】

【解析】解：由题意知，第一辆车行程为，

且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走，

这辆车的行驶路程可以看作首项为，公差为的等差数列，

则辆车的行程路程之和为．

故答案为：．

通过分析，这辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解即可．

本题主要考查了等差数列的应用，考查了等差数列的前项和公式，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：由题意得，，由，得，

解得或．

当时，，当时，，

则在区间上单调递增，不满足条件，舍去；

当时，，

当时，，当时，，

满足在区间上单调递减，在区间上单调递增，故．

故答案为：

根据题意得到，求出或，排除不合要求的解．

本题考查导数的综合应用，属中档题．

17.【答案】解：若，则

，解得或；

若，则

，解得或．

时，：，：，满足，

时，：，：，此时与重合，

所以．

【解析】根据两直线垂直的公式，即可求解；

根据两直线平行，，求解，再代回直线验证．

本题考查直线平行与垂直的计算，属于基础题．

18.【答案】解：设圆心的坐标为，

则．

化简，得，解得．

所以点坐标为，

半径．

故圆的方程为．

令，得，

或，

故与轴的两交点坐标为，，

圆在轴截得的弦长为．

【解析】利用圆心到直线的距离，求出，然后求解圆的半径，得到圆的方程．

求得圆与轴的交点即可．

本题考查求圆的方程，考查求圆的弦长，属中档题．

19.【答案】解：Ⅰ从甲书架上无放回地取本书，每次任取本，

则第一次取到英文读物的条件下第二次仍取到英文读物的概率为；

Ⅱ先从乙书架上随机取本书放在甲书架上，再从甲书架上随机取本书，

则从甲书架上取出的是本英文读物的概率为．

【解析】Ⅰ根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解；

Ⅱ根据已知条件，结合古典概型的概率公式，并分类讨论，即可求解．

本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．

20.【答案】解：，

，，

建立空间直角坐标系如图：

则，，，，，，，，

，，．

，则，即的长度是．

，．

则．

【解析】建立坐标系求出点的坐标，利用向量长度公式进行计算即可．

求出点的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解即可．

本题主要考查向量数量积的计算，建立空间坐标系求出点的坐标，利用向量长度和向量数量积公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．

21.【答案】解：设等差数列的公差为，由题意，

即，解得，

，

即数列的通项公式为．

证明：，

．

【解析】设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，再由等差数列的通项公式和前项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式；

由裂项相消法求和即可；

本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．

22.【答案】解：，可

则函数的定义域为，

故，

因为函数在处取得极值，所以，解得，

当时，可得，

当时，，单调递减，

当时，，单调