人教版高中数学必修一 第二章 基本初等函数知识点总结

人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1.根式的概念：注意：(1)$n^a=a$，(2)当$n$是奇数时，$a^n=a$，当$n$是偶数时，$a^n=|a|$。2.分数指数幂正数的正分数指数幂的意义：$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$，负分数指数幂没有意义。3.实数指数幂的运算性质（1）$a^a=a^{r+s}$，（2）$(a^r)^s=a^{rs}$，（3）$(ab)^r=a^rb^r$。注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如$[(1-2)]\neq1-2$而应为$2^{-1}$。（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数$y=a^x$叫做指数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域为$R$。注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1。即$a>0$且$a\neq1$。2、指数函数的图象和性质图像：定义域$R$，值域$(0，+\infty)$。性质：当$0<a<1$时，函数$y=a^x$是减函数；当$x>0$时，$0<y<1$；当$x<0$时，$y>1$。当$a>1$时，函数$y=a^x$是增函数；当$x>0$时，$y>1$；当$x<0$时，$0<y<1$。函数性质：函数的定义域为$R$，函数的值域为$R^+$，非奇非偶函数，过定点$(0，1)$。共性：$0<a<1$时，函数图象向$x$轴正负方向无限延伸，函数图象都在$x$轴上方，图象关于原点和$y$轴不对称，函数图象都过定点$(0，1)$，自左向右看，图象逐渐下降，在第一象限内的图象纵坐标都小于1，在第二象限内的图象纵坐标都大于1，图象上升趋势是越来越缓。$a>1$时，自左向右看，图象逐渐上升，在第一象限内的图象纵坐标都大于1，在第二象限内的图象纵坐标都小于1，图象上升趋势是越来越陡。注意：指数增长模型：$y=N(1+p)^x$，指数型函数：$y=ka^x$。1.对数的概念当ax=N时，x称为以a为底N的对数，记作logaN。需要注意的是，底数a必须大于0且不等于1，真数N必须大于0。2.两个重要对数常用对数是以10为底的对数，记作lgN；自然对数是以无理数e为底的对数，记作lnN。3.对数式与指数式的互化对数式和指数式可以相互转化，即logaN=x等价于ax=N。需要注意的是，负数和零没有对数，logaa=1，loga1=0。特别地，lg10=1，lg1=0，lne=1，ln1=0。此外，对数恒等式是aa=N。4.对数的运算性质对于a>0且a≠1，M>0，N>0，有以下运算性质：logaM•N=logaM+logaNlogaM/N=logaM-logaNlogaM^n=n•logaM需要注意的是，真数的取值必须是(0,＋∞)。5.换底公式换底公式是logab=logcb/logca。可以利用换底公式推导出一些结论，例如logab=1n(b)/1n(a)和logab•logbc•logca=logac•logcb。幂函数是一种函数，通常写成y=x^α的形式，其中x是自变量，α是常数。幂函数有几个性质，可以逐一归纳。首先，在区间（0，+∞）中，所有的幂函数都有定义，并且它们的图像都经过点（1，1）；其次，当α>0时，幂函数的图像经过原点，并且在区间[0，+∞)上是单调递增的。特别地，当α>1时，幂函数的图像是下凸的，而当0<α<1时，幂函数的图像是上凸的；最后，当α<0时，幂函数的图像在区间（0，+∞）上是单调递减的。在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右侧无限地逼近y轴正半轴，而当x趋于+∞时，图像在x