ch15-02一般周期函数的傅里叶级数课件

第二节以2l为周期的函数的傅里叶展开第15章*二、傅里叶级数的复数形式一、以2l

为周期的函数的傅里叶级数第二节以2l为周期的第15章*二、傅里叶级数的复数形一、以2l

为周期的函数的傅里叶级数周期为2l函数f(x)周期为2

函数F(t)变量代换将F(t)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式一、以2l为周期的函数的傅里叶级数周期为2l函数f设f(x)是以2l为周期的函数，则它的傅里叶其中定理.展开式为设f(x)是以2l为周期的函数，则它的傅里叶其中定理证明:,则令则所以那么F的傅里叶展开式为:变成是以2为周期的周期函数,令证明:,则令则所以那么F的傅里叶展开式为:变成是以2其中令证毕.其中令证毕.说明:1)如果f(x)按段光滑，则有说明:1)如果f(x)按段光滑，则有2)其中如果

f(x)

为偶函数,则有其中如果f(x)为奇函数,则有2)其中如果f(x)为偶函数,则有其中如果f(x例1.(－1,1]上的表达式为将f(x)

展开成傅里叶级数，并作出级数和函数的图形.设函数f(x)是周期为2的周期函数，它在区间解：例1.(－1,1]上的表达式为将f(x)展开成傅里ch15-02一般周期函数的傅里叶级数ppt课件由收敛定理可知故级数和函数的图形为由收敛定理可知故级数和函数的图形为例2.经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解:这个半波整流函数,它在傅里叶级数.上的表达式为的周期是交流电压例2.经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解:这个半ch15-02一般周期函数的傅里叶级数ppt课件n>1

时n>1时由于半波整流函数f(t)直流部分说明:交流部分由收收敛定理可得2k次谐波的振幅为

k越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.由于半波整流函数f(t)直流部分说明:交流部分由收收例3.展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k处级数收敛于何值?将例3.展开成(1)正弦级数;(2)(2)将作偶周期延拓,则有(2)将作偶周期延拓,则有例4.期的傅里叶级数,并由此求级数解:为偶函数,因f(x)周期延拓后在展开成以2为周的和.故得例4.期的傅里叶级数,并由此求级数解:为偶函数,因f(得故得故注:方法1令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:当函数定义在任意有限区间上时,注:方法1令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅方法2令在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将代入展开式在即上的正弦或余弦级数方法2令在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将例5.

展成傅里叶级数.解:令设将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故则它满足收敛定将函数例5.展成傅里叶级数.解:令设将F(z)延拓成周期为利用欧拉公式*二、傅里叶级数的复数形式设f(x)是周期为2l的周期函数,则利用欧拉公式*二、傅里叶级数的复数形式设f(x)是周期为注意到同理注意到同理傅里叶级数的复数形式:因此得傅里叶级数的复数形式:因此得式的傅里叶级数.例6.

解:在一个周期它的复数形式的傅里叶系数为内矩形波的函数表达式为把宽为,高为h,周期为T的矩形波展成复数形式的傅里叶级数.例6.解:在一个周期它的复数形式的ch15-02一般周期函数的傅里叶级数ppt课件为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x

间断点)其中当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓*3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出为正弦级数.内容小结1.周期为2思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:用系数公式计算如分母中出现因子n－k从而便于计算系数和写出收敛域.必须单独计算.思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其作业

P771(1),(3);

2;4;6.作业

P771(1),(3);

2第三节收敛定理的证明第15章二、收敛定理的证明一、预备定理第三节收敛定理的证明第15章二、收敛定理的证明一、预备定预备定理1(贝塞耳(Bessel)不等式)证：令考察积分预备定理1(贝塞耳(Bessel)不等式)证：令考察积分利用三角函数系的正交性，又有利用三角函数系的正交性，又有所以因而进而所以因而进而推论1推论2推论1推论2预备定理2预备定理2收敛定理的证明.证:收敛定理的证明.证:ch15-02一般周期函数的傅里叶级数ppt课件ch15-02一般周期函数的傅里叶级数ppt课件ch15-02一般周期函数的傅里叶级数ppt课件ch15-02一般周期函数的傅里叶级数ppt课件习题课傅立叶级数一、基本概念二、傅里叶级数展开法第15章习题课傅立叶级数一、基本概念二、傅里叶级数展开法第15章一、主要内容求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;时为三角级数;一、主要内容求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；(1)三角函数系三角函数系1.傅里叶级数(1)三角函数系三角函数系1.傅里叶级数其中称为傅里叶级数.(2)傅里叶级数定义三角级数其中称为傅里叶级数.(2)傅里叶级数定义三角级数上的表达式将其展为傅氏级数.设f(x)是周期为2的函数,它在解：例1.为上的表达式将其展为傅氏级数.设f(x)是周期为2的函解:周期的正弦级数,,展开成以为将函数并在内写出其和函数.将函数在内进行奇延拓,以为继而周期进行周期延拓.例2.解:周期的正弦级数,,展开成以为将函数并在内写ch15-02一般周期函数的傅里叶级数ppt课件ch15-02一般周期函数的傅里叶级数ppt课件例3.并由此求级数解:在区间上的傅里叶级数,的和.求将f(x)延拓为周期为的周期函数,例3.并由此求级数解:在区间上的傅里叶则f(x)的傅里叶系数为所以f(x)的傅里叶级数为则f(x)的傅里叶系数为所以f(x)的傅里叶级数当时，级数收敛于即当时，有于是有当时，级数收敛于即当例4.

设是周期为的周期函数，在上的表达式为(1)求傅里叶系数.(2)写出上傅里叶系数的和函数的表达式解:分段表示.(略)(1)例4.设是周期为的周期函数，在上的表达式为(1)求傅里叶(3)求时的值解：由图与函数的周期性可知：(3)求时的值解：由图与函数的周期性可知：例5.设周期函数的周期为2π，证明:如果则傅立叶系数证:例5.设周期函数的周期为2π，证明:如果则同理所以同理所以例6.设是以2为周期的函数,其傅氏系数为则为常数)的傅氏系数解:令例6.设是以2为周期的函数,其傅氏系数为则为常数例7.为区间上可积函数.

设f证明：若f的傅里叶级数在上一致收敛于f，则成立

帕塞瓦尔(Parseval)等式：这里an,bn为f的傅里叶系数.证：在上可积，

因为f(x)例7.为区间上可积函数.设f证明由于f的傅里叶级数在上一致收敛于f，因此由此得即由于f的傅里叶级数在上一致收敛于f，因此由此得即例8.为区间上可积函数,

设fa0,ak,bk(k=1,2,…)为f的傅里叶系数,试证明：当时，积分

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