【重点突围】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质2(解析版)

二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（2）考点一二次函数图象判断各项系数与式子的符号考点二一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断考点三利用二次函数的对称性求最短路径考点四二次函数与几何图形的综合应用考点一二次函数图象判断各项系数与式子的符号例题：（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中已知二次函数的图象如图所示有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下∴a＜0∵对称轴在y轴右侧∴对称轴为x＝＞0∵a＜0∴b＞0∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上∴c＞0∴abc＜0故①错误；②∵对称轴为x＝＝1∴b＝﹣2a∴2a+b＝0故②错误；③由图象的对称性可知：当x＝3时y＜0∴9a＋3b+c＜0故③错误；④由图象可知该抛物线与x轴有两个不同的交点∴b2﹣4ac＞0即b2＞4ac；故④正确；⑤由图象可知当x＝﹣1时y＜0∴a﹣b+c＜0∴故⑤正确．综上所述正确的结论是：④⑤．故选：B．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础数形结合的方法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·内蒙古·包头市第三十五中学三模）已知二次函数的图象如图所示有下列结论：①②③④⑤（m为实数）其中正确的结论有（

）个．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】【分析】直接根据二次函数的图像与系数的关系及性质进行求解即可．【详解】解：由图像可知：对称轴为直线即∴①故错误．②由二次函数的图像可知与x轴的一个交点在0和之间根据二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另外一个交点在2和3之间∴当时即故正确．③时即故正确．④时即又∵对称轴故错误．⑤由图像可得当时函数取得最大值即当时故正确．所以正确的有：②③⑤．故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的图像跟性质熟练掌握二次函数的图像与系数的关系及性质是解题的关键．2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）二次函数的图象如图所示对称轴为x=且经过点（20）．下列结论：①abc<0；②-2b+c=0；③6a+c>0；④若（y1）（y2）是抛物线上的两点则y1<y2；⑤b>m（am+b）（其中m≠）．正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】【分析】抛物线开口向下且交y轴于正半轴及对称轴为x=推导出a＜0b＞0、c＞0以及a与b之间的关系：b=-a；根据二次函数图象经过点（20）可得出0=4a+2b+c；再由二次函数的对称性当a＜0时距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下对称轴是直线x=可知当x=时y有最大值．【详解】解：∵抛物线开口向下且交y轴于正半轴∴a＜0c＞0∵对称轴x=-=即b=-a∴b＞0∴abc＜0故①正确；又可知b=-a∴0=-4b+2b+c即-2b+c=0故②正确；∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（20）∴根据对称性可得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-10）∴当x=-2时∵∴故③不正确；∵抛物线开口向下对称轴是直线x=且−(−)=1-=2∴y1＞y2故④不正确；∵抛物线开口向下对称轴是直线x=∴当x=时抛物线y取得最大值ymax=（）2a+b+c=b+c当x=m时ym=am2+bm+c=m（am+b）+c且m≠∴b+c＞m(am+b)+c（其中m≠）．故⑤正确综上结论①②⑤正确共3个故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征需要充分掌握二次函数各系数的意义以及它们跟二次函数图象之间的联系．考点二一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知函数（其中）的图象如图所示则函数的图象可能正确的是（

）A． B． C．D．=【答案】D【解析】【分析】根据题意可得二次函数与x轴的交点为（m0）（n0）从而得到进而得到函数经过第一三四象限且与y轴的交点位于点（0-1）的下方即可求解．【详解】解：令y=0则解得：∴二次函数与x轴的交点为（m0）（n0）∵∴∴函数经过第一、三、四象限且与y轴的交点位于点（0-1）的下方．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·九年级课时练习）函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示则选项中函数y＝a（x﹣b）2＋c的图象正确的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况从而得到函数y＝a（x﹣b）2+c的图象的开口方向和顶点坐标所在的位置分析判断即可得到正确的函数图象．【详解】解：由y＝ax2+bx+c的图象可得a＜0b＞0c＞0∵函数y＝a（x﹣b）2+c∴该函数的图象开口向下顶点坐标为（bc）且该函数图象的顶点在第一象限故选：B【点睛】本题考查由二次函数图象判断各项系数的符号牢记相关知识点是解题关键．2．（2021·全国·九年级专题练习）二次函数的图象如下左图则一次函数与反比例函数．在同一坐标系内的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数图像确定二次函数系数的符号再确定一次函数与反比例函数的系数即可求得．【详解】解：二次函数图像开口向上得到二次函数图像与轴有两个交点得到二次函数的与轴交点在轴的下方得到二次函数的对称轴得到∴∴一次函数图像经过一、二、三象限反比例函数的图像经过二、四象限故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数、反比例函数与二次函数图像与系数的关系熟练掌握相关知识是解题的关键．考点三利用二次函数的对称性求最短路径例题:（2022·全国·九年级课时练习）已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于AB两点其中A点坐标为（﹣30）与y轴交于点C点D（﹣2﹣3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P求△PAD周长的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据的坐标待定系数法求解析式即可；（2）先求得点的坐标根据抛物线的对称性可得当△PAD周长确定最小值时三点共线进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值．(1)在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上解得抛物线的解析式为(2)对称轴为如图连接关于轴对称的周长等于当三点共线时的周长取得最小值最小值为由抛物线解析式令即解得的周长的最小值为【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式根据抛物线的对称性求线段和的最小值掌握二次函数图象的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东临沂·一模）如图抛物线与x轴交于A、B两点与y轴交于点C直线过B、C两点连接AC．(1)求抛物线的解析式．(2)点M(31)是抛物线上的一点点D为抛物线上位于直线BC上方的一点过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E点P为抛物线对称轴上一动点当线段DE的长度最大时求PD+PM的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据一次函数解析式可求出点BC的坐标再代入抛物线解析式进而求解即可；（2）设点D的坐标为（x）则点E的坐标为（x）由坐标得DE＝－（）=当x＝2时线段DE的长度最大此时点D的坐标为（2）点C和点M关于对称轴对称连接CD交对称轴于点P此时PD＋PM最小连接CM交直线DE于点F则∠DFC＝90°由勾股定理得CD＝根据PD＋PM＝PC＋PD＝CD即可求解．(1)解：∵直线过B、C两点且BC分别在x轴和y轴上当x=0时y=1当y=0时x=4∴点B（40）点C（01）∵抛物线与x轴交于点B与y轴交于点C∴解得∴抛物线的解析式为：．(2)解：设点D的坐标为（x）则点E的坐标为（x）∵点D为抛物线上位于直线BC上方的一点∴DE＝－（）=∵＜0∴当x＝2时线段DE的长度最大此时点D的坐标为（2）∵C（01）M（31）∴点C和点M关于对称轴对称连接CD交对称轴于点P此时PD＋PM最小连接CM交直线DE于点F则∠DFC＝90°点F的坐标为（21）∴CD＝==∵PD＋PM＝PC＋PD＝CD∴PD＋PM的最小值为．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质解决本题的关键是数形结合思想熟练掌握二次函数的性质、二次函数的对称性．2．（2022·天津滨海新·二模）已知：抛物线（bc为常数）经过点A（－20）C（04）点B为抛物线与x轴的另一个交点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点当△PBC的面积最大时求点P的坐标；(3)设点MN是该抛物线对称轴上的两个动点且点M在点N下方求四边形AMNC周长的最小值．【答案】(1)(2)（35）(3)【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；(2)首先点B的坐标再求出直线BC的解析式过点P作PF⊥x轴于F交于点Q设点,当时有最大值,即可求出点P的坐标；（3）由四边形AMNC的周长得到当AM+CN最小时四边形AMNC的周长最小得出AM+CN=AM+DM求出的最小值即可得到结论.(1)解：∵抛物线经过点A（-20）C（04）∴解得∴该抛物线的解析式：(2)解：∵点B是抛物线与x轴的交点∴∴

∴点B的坐标为（60）设直线BC的解析式为y=kx+n

∵点B（60）C(04)∴解得∴直线解析式为：

如图过点P作PF⊥x轴于F交于点Q设点

∴∴∴当时有最大值∴点P的坐标为（35）．(3)解：∵A（-20）C（04）∴∵四边形AMNC的周长∴当AM+CN最小时四边形AMNC的周长最小.将CN向下平移2个单位长度得到对应线段DM∴点C的对应点D的坐标为（02）∴AM+CN=AM+DM可知抛物线的对称轴为直线如图作点D关于对称轴的对称点可求得（42）连接则

过点作⊥x轴于点E∴的最小值为∴四边形周长的最小值为．【点睛】本题为二次函数中考压轴题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最短路线问题等知识点正确作出辅助线是解题的关键．考点四二次函数与几何图形的综合应用例题：（2022·吉林·长春市绿园区教师进修学校二模）如图在平面直角坐标系中抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形延长交抛物线于点再以为边向上作正方形．则点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】先将点A（30）代入求出关系式由正方形的性质可知点D的纵坐标是3即可求出点D的横坐标可得答案．【详解】将点A（30）代入得解得∴抛物线的关系式为．∵四边形OABC是正方形∴CO=AO=3∴点D的纵坐标是3．当y=3时解得或（舍）∴点D的横坐标是．∵四边形EFBD是正方形∴∴点E的坐标是．故答案为：．【点睛】这是一道二次函数和正方形的综合问题考查了正方形的性质求二次函数关系式等．【变式训练】1．（2022·山东烟台·中考真题）如图已知直线y＝x+4与x轴交于点A与y轴交于点C抛物线y＝ax2+bx+c经过AC两点且与x轴的另一个交点为B对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点设点D的横坐标为m求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上是否存在点PQ使以点ACPQ为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在请求出PQ两点的坐标；若不存在请说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4(2)S最大＝D（﹣5）(3)存在Q（﹣2）【解析】【分析】（1）先求得ACB三点的坐标将抛物线设为交点式进一步求得结果；（2）作DF⊥AB于F交AC于E根据点D和点E坐标可表示出DE的长进而表示出三角形ADC的面积进而表示出S的函数关系式进一步求得结果；（3）根据菱形性质可得PA＝PC进而求得点P的坐标根据菱形性质进一步求得点Q坐标．(1)解：当x＝0时y＝4∴C（04）当y＝0时x+4＝0∴x＝﹣3∴A（﹣30）∵对称轴为直线x＝﹣1∴B（10）∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3）∴4＝﹣3a∴a＝﹣∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；(2)如图1作DF⊥AB于F交AC于E∴D（m﹣﹣m+4）E（m﹣m+4）∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m∵S△ABC＝＝＝6∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+∴当m＝﹣时S最大＝当m＝﹣时y＝﹣＝5∴D（﹣5）；(3)设P（﹣1n）∵以ACPQ为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形∴PA＝PC即：PA2＝PC2∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2∴n＝∴P（﹣1）∵xP+xQ＝xA+xCyP+yQ＝yA+yC∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2yQ＝4﹣＝∴Q（﹣2）．【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质勾股定理菱形性质等知识解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质2．（2022·内蒙古·包头市第三十五中学三模）如图抛物线交x轴于两点交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式和对称轴．(2)若R为抛物线上一点满足求R的坐标．(3)若点P在抛物线的对称轴上点Q是平面直角坐标系内的任意一点是否存在点P

使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形若存在请直接写出所有符合条件的点Q的坐标若不存在请说明理由．【答案】(1)对称轴为直线(2)（4-5）(3)存在（41）或（-21）或或【解析】【分析】（1）利用待定系数解答即可求解；（2）过点B作BM⊥BC交CR于点M过点M作ME⊥x轴于点E证明△BOC≌△MBE可得点E（2-1）然后求出直线CR的解析式再与抛物线解析式联立即可求解；（3）设点Q（mn）分两种情况讨论：然后分两种情况讨论：当AC为边时当AC为对角线时即可求解．(1)解：∵抛物线交x轴于两点∴解得：∴该抛物线的解析式为∴对称轴为直线；(2)解：当x=0时∴OC=3∵点B（-10）∴OB=1如图过点B作BM⊥BC交CR于点M过点M作ME⊥x轴于点E∵∠BCR=45°∴△BCM为等腰直角三角形∠CBO+∠EBM=90°∴BM=BC∵∠EBM+∠BME=90°∴∠CBO=∠BME∵∠BEM=∠BOC=90°∴△BOC≌△MBE∴EM=BO=1BE=OC=3∴OE=2∴点E（2-1）设直线CR的解析式为把点C（03）M（2-1）代入得：解得：∴直线CR的解析式为联立得：解得：0或（舍去）∴点R（4-5）；(3)解：存在．设点Q（mn）当以AC为边时点C向点P（或点Q）平移的方向和距离与点A向点Q（或点P）平移的方向和距离相同且AP=CQ（或AQ=CP）∴或解得：或∴此时点Q的坐标为（41）或（-21）如图当AC为对角线时AC=PQ且PQ与AC的中点重合如图PQ=AC∴解得：或∴此时点Q的坐标为或；综上所述点Q的坐标为（41）或（-21）或或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题一次函数的图像和性质矩形的性质熟练掌握二次函数的综合题一次函数的图像和性质矩形的性质利用数形结合思想解答是解题的关键是中考的压轴题．一、选择题1．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数其中、则该函数的图象可能为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用排除法由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上排除A选项和D选项根据B选项和C选项中对称轴得出抛物线开口向下排除B选项即可得出C为正确答案．【详解】解：对于二次函数令则∴抛物线与y轴的交点坐标为∵∴∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上∴可以排除A选项和D选项；B选项和C选项中抛物线的对称轴∵∴∴抛物线开口向下可以排除B选项故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．2．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的图像顶点为P（1m）经过点A（21）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t总有at2+bt≤a+b其中正确的有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．【详解】解：①由抛物线的开口方向向下则a＜0故①正确；②∵抛物线的顶点为P（1m）∴b=-2a∵a＜0∴b＞0∵抛物线与y轴的交点在正半轴∴c＞0∴abc＜0故②错误；③∵抛物线经过点A（21）∴1＝a·22+2b+c即4a+2b+c＝1故③正确；④∵抛物线的顶点为P（1m）且开口方向向下∴x>1时y随x的增大而减小即④正确；⑤∵a＜0∴at2+bt-（a+b）=at2-2at-a+2a=at2-2at+a=a（t2-2t+1）=a（t-1）2≤0∴at2+bt≤a+b则⑤正确综上正确的共有4个．故答案为C．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）在同一平面直角坐标系中函数与y＝ax＋b的图象不可能是(

)A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可．【详解】解：当a>0b>0时y=ax2+bx的开口上与x轴的一个交点在x轴的负半轴y=ax+b经过第一、二、三象限且两函数图象交于x的负半轴无选项符合；当a>0b<0时y=ax2+bx的开口向上与x轴的一个交点在x轴的正半轴y=ax+b经过第一、三、四象限且两函数图象交于x的正半轴故选项A正确不符合题意题意；当a<0b>0时y=ax2+bx的开口向下与x轴的一个交点在x轴的正半轴y=ax+b经过第一、二、四象限且两函数图象交于x的正半轴C选项正确不符合题意；当a<0b<0时y=ax2+bx的开口向下与x轴的一个交点在x轴的负半轴y=ax+b经过第二、三、四象限B选项正确不符合题意；只有选项D的两图象的交点不经过x轴故选D.【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．4．（2022·天津和平·三模）二次函数（abc为常数）的图像开口向下与x轴交于和且．有下列结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根则；④当时若方程有四个根则这四个根的和为-1．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据图像得到a<0对称轴在y轴左侧图像与x轴有两个交点即为b<0c>0由此判断①正确；根据图像与x轴交点可知a+b+c=

0-2<m<-1且抛物线开口向下得到当x=-2时y=4a-2b+c<0当x=-1时y=a-b+c>0联立a+

b+c=

0和y=

4a-

2b+c

<

0可得2a+c

<

0故结论②正确；若a(x-

m)(x-

1)

-

1

=

0有两个不相等的实数根则a(x

-

m)(x-

1)

=

1有两个不相等的实数根则原抛物线的顶点纵坐标大于1即由此判断③错误；当时利用公式求出抛物线的对称轴再根据抛物线的对称性得到四个根的和为由此判断④正确．【详解】解：∵二次函数（abc为常数）的图像开口向下与x轴交于和且．∴a<0对称轴在y轴左侧图像与x轴有两个交点∴b<0c>0∴故①正确；根据交点(10)可知a+b+c=

0根据交点(m0)可知am2

+

bm

+c=

0∵-2<m<-1且抛物线开口向下∴当x=-2时y=4a-2b+c<0当x=-1时y=a-b+c>0联立a+

b+c=

0和y=

4a-

2b+c

<

0可得

4a-

2(-a-c)+c<

0化简得

2a+c

<

0故结论②正确；若a(x-

m)(x-

1)

-

1

=

0有两个不相等的实数根∴a(x

-

m)(x-

1)

=

1有两个不相等的实数根则原抛物线的顶点纵坐标大于1即∴故③错误；当时抛物线的对称轴为若方程有四个根则这四个根中有两个在x轴上方且关于对称轴对称；有两个在x轴下方且关于对称轴对称故四个根的和为故④正确；故选：C．【点睛】此题考查了抛物线的性质利用抛物线的图像判断式子的正负正确理解抛物线的图像得到相关信息是解题的关键．二、填空题5．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）已知二次函数的图象如图所示对称轴为直线经过点（01）．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①③④【解析】【分析】根据抛物线开口方向判断a的符号根据对称轴及与y轴交点坐标判断b和c的符号据此可判断③的正误；根据函数在x=1和x=－1时的函数值判断①②的正误；根据抛物线与x轴交点的个数判断④的正误．【详解】解：∵抛物线开口朝下∴a<0∵抛物线对称轴为x=-1过（01）∴b<0c>0∴abc>0③正确；由函数图象知x=1时y=a+b+c<0故①正确；当x=－1时y=a－b+c>0故②错误；∵抛物线与x轴有两个交点∴故④正确；综上所述正确答案的序号为：①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数间的关系掌握抛物线对称轴与a、b的关系及函数与方程间的转换是解题关键．6．（2022·全国·九年级课时练习）平面直角坐标系中将抛物线平移得到抛物线C如图所示且抛物线C经过点和点P是抛物线C上第一象限内一动点过点P作x轴的垂线垂足为Q则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】求得抛物线C的解析式设Q（x0）则P（x-x2+2x+3）即可得出OQ+PQ根据二次函数的性质即可求得．【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c∵抛物线C经过点A（-10）和B（03）∴解得∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3设Q（x0）则P（x-x2+2x+3）∵点P是抛物线C上第一象限内一动点∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）=-x2+3x+3∴OQ+PQ的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质平移二次函数图象与几何变换根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键．7．（2022·安徽合肥·模拟预测）如图在平面直角坐标系中正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上顶点C在y轴正半轴上抛物线经过点B、C．（1）点B的坐标为______．（2）若抛物线的顶点在正方形OABC的内部则a的取值范围是______．【答案】

B（22）

0<a<2【解析】【分析】（1）观察图象即可得到求得对称轴为直线即可求得即可求出点B的坐标；（2）易求得得到抛物线为根据题意得到即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线开口向上∴．∵对称轴为直线且经过点B、C∴∴正方形的边长为2∴故答案为：B（22）；（2）可求得点C坐标为（02）∴．∴抛物线为．∵抛物线的顶点在正方形OABC的内部∴解得∴．故答案为：.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系坐标与图形、二次函数图象上点的坐标特征正方形的性质、解一元一次不等式组根据题意得到关于a的不等式组是解题的关键．8．（2022·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）已知二次函数的图象如图所示有下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数）其中正确结论的序号有____．【答案】①③④【解析】【分析】根据图象开口方向与y轴交点及对称轴判断①；由x=-1时y<0判断②；由图象与x轴的另一个交点在2与3之间由此判断③；由对称轴得到代入a-b+c<0得到由此判断④；由x=1时函数有最大值判断⑤．【详解】解：由图象得a<0c>0∵对称轴在y轴右侧a<0∴b>0∴abc<0故①正确；由图象知当x=-1时y<0即a-b+c<0故②错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1图象与x轴的一个交点在-1与0之间∴图象与x轴另一个交点在2与3之间∴当x=2时y>0即故③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1即∴∵a-b+c<0∴∴故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1∴当x=1时函数有最大值即最大值为y=a+b+c∴当x=m（）时a+b+c>am2+bm+c∴a+b>m（am+b）故⑤错误故答案为：①③④．【点睛】此题考查了二次函数的性质二次函数的图象二次函数的最值二次函数的对称轴熟记二次函数的综合知识是解题的关键．三、解答题9．（2022·重庆市涪陵第十八中学校九年级阶段练习）如图已知抛物线与x轴交于A(﹣20)B(60)两点与y轴交于点C(0﹣2)点P是抛物线上位于直线BC下方的一点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1连接AC过点P作PGAC交BC于点G求PG长度的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2将抛物线沿射线CB的方向平移使得新抛物线y'经过点（2﹣）并记新抛物线y'的顶点为D若点M为新抛物线y′对称轴上的一动点点N为坐标平面内的任意一点直接写出所有使得以ADMN为顶点的四边形是菱形的点N的坐标并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．【答案】(1)(2)PG最大长度为此时点P的坐标为(3)当点N的坐标为（100）或（-2-10）或或时以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴交于A(﹣20)B(60)两点可设两点式再把点C(0﹣2)代入即可得；（2）先求出直线BC的解析式过点P作直线只有当直线l与抛物线相切PG有最大值此时P、G的位置分别为抛物线与直线联立令可求出直线的解析式从而求得点P的坐标在求出AC的解析式由直线PG与AC平行可求得直线PG的解析式与直线BC联立可求得点G的坐标从而求得PG的长度；（3）过点C作直线轴过点B作CE的垂线垂足为E求出设抛物线沿射线CB的方向平移使点C平移到点G过点G作可证则可以设抛物线沿着射线CB方向向右平移t个单位长度向上平移个单位长度即可求出平移后的抛物线的解析式可求得D点的坐标然后根据菱形的性质分别讨论：当DMAN以A、D、M、N为顶点的菱形的对角线时当DMMA以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时当ADMD以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时进行求解即可得．(1)解：∵抛物线与x轴交于A(﹣20)B(60)两点∴设抛物线解析式为：把点C(0﹣2)代入得解得则抛物线的解析式为：．(2)解：设直线BC的解析式为：把B(60)点C(0﹣2)代入中得解得即直线BC的解析式为：如图所示过点P作直线只有当直线l与抛物线相切PG有最大值此时P、G的位置分别为设此时直线l的解析式为：联立得解得即解得即的横坐标为3代入直线l解析式得其纵坐标为故的坐标为：即PG长度最大时点P的坐标为设直线AC的解析式为把点A（-20）点C（0-2）代入可得解得即直线AC的解析式为：∵∴设直线PG的解析式为：把点P代入得∴此时PG的解析式为：联立直线PG直线BC得解得∴点的坐标为∴此时的长度为：∴PG最大长度为此时点P的坐标为．(3)解：如图所示过点C作直线轴过点B作CE的垂线垂足为E由点C（0-2）点B（60）可得∴设抛物线沿射线CB的方向平移使点C平移到点G过点G作∵∴∴∴∵抛物线沿射线CB的方向平移可以看作向右平移再向上平移∴可以设抛物线沿着射线CB方向向右平移t个单位长度向上平移个单位长度得到抛物线其中∵抛物线经过点∴即解得∴∴点D的坐标为（4-2）；如图所示当DMAN以A、D、M、N为顶点的菱形的对角线时设AN与DM交于点Q则点Q的坐标为（40）∴且∴此时N点的坐标为（100）如图所示设点M的坐标为（4m）当DMMA以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时则有∴点N在直线x=2上由题意得∴解得∴MD=10∴∴点N的坐标为（-2-10）如图所示当ADMD以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时同理可得点N在直线x=2上∴∴点N的坐标为或综上所述当点N的坐标为（100）或（-2-10）或或时以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题考查了二次函数的性质一次函数的性质菱形的性质两点间的距离解题的关键是掌握这些知识点．10．（2022·重庆巴蜀中学八年级期中）如图在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C连接BC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上（不与BC重合）一点连接PCPBAC当求点P的坐标；(3)将抛物线沿射线CB方向平移个单位点F是平移后新抛物线的顶点M是y轴正半轴上一点点N是平面内任意一点当以A、F、M、N为顶点的四边形是菱形时请直接写出所有符合条件的N点的坐标；并任选其中一个N点写出求N点的坐标的过程．【答案】(1)抛物线的解析式为(2)点P的坐标为（3）(3)点N的坐标为或【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式求出点C的坐标再根据可以求得点B的坐标把点A、B的坐标代入解析式可求得抛物线的解析式；（2）用待定系数法求出直线CB的解析式过点P作PD⊥x轴交CB于点D设点P的横坐标为t由点P、D的横坐标相同分别代入抛物线和直线的解析式可得点P、D的纵坐标则根据条件列方程可求得t的值进而可求得点P的坐标；（3）根据平移的性质可以确定抛物线向右平移1个单位向下平移个单位可求得平移后的抛物线的解析式进而可得到点F的坐标分情况进行讨论根据菱形的性质可得点N的坐标．(1)解：抛物线与y轴交于点C令x=0则∴点C的坐标为（0）∴OC=∵∴BC=2OC=则∴点B的坐标为（60）将点点B（60）代入二次函数解析式可得解得∴抛物线的解析式为(2)解：设直线CB的解析式为把点B、C的坐标代入得解得∴直线CB的解析式为设点P的横坐标为t（0<t<6）则其纵坐标为如图过点P作PD⊥x轴交CB于点D则点D的坐标为则PD=由题意可得当时即则解得t=3∴点P的坐标为（3）(3)解：设点C沿射线CB方向平移个单位即CE=如图分别过点E作x轴y轴的垂线由题意可得∠CEG=∠ABC=30°∴CG=GE=1即点C沿射线CB方向平移个单位时就是向右平移了1个单位向下平移了个单位将抛物线沿射线CB方向平移个单位即抛物线上所有的点向右平移了1个单位向下平移了个单位抛物线的顶点式为则平移后的抛物线的解析式为∴点F的坐标为（3）设点M