第10次课23拉普拉斯方程分离变量法课件

数学表述如下:(在每个小区Vi)(在整个区域V的边界面S上给定,按约定,边界面法线指向V外)(在两种绝缘介质的分界面上)分界面法向单位矢量由指向)或惟一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域V中静电场分布的惟一解.复习数学表述如下:(在每个小区Vi)(在整个区域V的边界面S上1b）数学表示为:(在V′

内)(已知)(已知)（待定）或a）数学表示为:(在V′

内)(已知)(已知)或b）数学表示为:(在V′内)(已知)(已知)（待定）或a2§2.3拉普拉斯方程，分离变量法Laplace'sequation,methodofseparatevariation

第10次课23拉普拉斯方程分离变量法课件3基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方程+边界条件只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体情况不同而有不同解法本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法具体的工作：解泊松方程基本问题：电场由电势描述只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时4在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布．在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．例如电容器内部的5选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度ρ＝0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中、并若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为因此剩下的问题归结为：怎样利用边界条件及边值关系确定常数，得到满足边界条件的特解。选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度ρ＝0，泊松6利用边界条件定解说明两点：第一，如果考虑问题中有i个区域（均匀分布），必须有i个相应的Laplace'sequation.第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：边界条件：及导体的总电荷利用边界条件定解说明两点：第二，在每个区域73、举例说明定特解的方法[例3P68]半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中，求电势和导体上的电荷面密度。3、举例说明定特解的方法8第10次课23拉普拉斯方程分离变量法课件9[例1P64]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q。同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1<R2)，使半径R1的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。QR1R2R3Solution:

第一步：分析题意，找出定解条件。根据题意，具有球对称性，电势不依赖于极角，只与半径r有关。[例1P64]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带10即故定解条件为：边界条件：(i)因为导体球接地，有(ii)因整个导体球壳为等势体，有QR1R2R3即故定解条件为：边界条件：(ii)因整个导体球壳为等势体，11(iii)球壳带电量为Q，根据GausstheoremQR1R2R3第二步，根据定解条件确定通解和待定常数不依赖于θ，取,故得到导体球壳内、外空间的电势：(iii)球壳带电量为Q，根据GausstheoremQR12从而得到QR1R2R3从而得到QR1R2R313QR1R2R3QR1R2R314令因此得到：令因此得到：15导体球上的感应电荷为QR1R2R3导体球上的感应电荷为QR1R2R316zR[例2P66]介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场中，球外为真空。求电势分布。Solution:

第一步：根据题意，找出定解条件。

由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域—球内、球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势满足Laplace'sequation。以代表球外区域的电势，代表球内区域的电势，故zR[例2P66]介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被17

18第二步：根据定解条件确定通解和待定常数

由（2）式得比较两边系数，得第二步：根据定解条件确定通解和待定常数由（219由（6）式得从中可见故有：由（6）式得从中可见故有：20再由得:再由21比较的系数，得比较的系数，得22由此得到电势为由此得到电势为23zθrφyx其中zθrφyx其中24由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比原则外场为弱，这是极化电荷造成的。▲在球内总电场作用下，介质球的极化强度为▲介质球的总电偶极矩为由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比2