高等数学模型-微分方程模型（数学建模课件）

给药方案微分方程模型知识点一、问题的提出二、问题分析三、模型假设四、模型建立与求解一、问题的提出如果生病了，怎么办？吃药，打针！一、问题的提出

药物进入机体后随着血液输送到各个器官和组织，在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。血药浓度太高太低不能达到预期的效果可能会导致药物中毒、副作用太强、造成浪费动态过程与药理反应间的定量关系一、问题的提出血药浓度1.在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律。2.给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长？给药方案建立模型二、问题分析药物进入机体输送过程复杂，采用“房室系统”的观点来考察问题。室内血药浓度是均匀的。临床上，每种药物有一个最小有效浓度c1和一个最大有效浓度c2。设计给药方案时，要使血药浓度保持在c1~c2之间。本题设c1=10，c2=25(ug/ml).整个机体看作一个房室（中心室）给药排出吸收、分布、代谢单房室系统二、问题分析

在实验方面,对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg后,在一定时刻t(小时)采集血样,测得血药浓度c(ug/ml)如下表:t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01

要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。从实验和理论两方面着手：二、问题分析实验：利用matlab软件对血药浓度数据作图符合负指数变化规律二、问题分析理论上：用一室模型研究血药浓度变化规律整个机体看作一个房室（中心室）给药排出注射剂量血液体积排出速率血药浓度血药浓度的分布三、模型假设排出速率：药物排出速率与血药浓度成正比(比例系数k)注射剂量血液体积血液体积v,t=0时注射剂量d,血药浓度为d/v.血药浓度的分布：机体看作一个房室，室内血药浓度均匀分布四、模型建立与求解整个机体看作一个房室（中心室）给药排出动态平衡

快速静脉注射的给药方式下,只输出，不输入d=300mg，t及c（t）在某些点处的值见前表，经拟合求出参数k、v四、模型建立与求解计算结果：d=300;t=[0.250.511.523468];c=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2))程序：四、模型建立与求解cc2c10t

设每次注射剂量D,间隔时间

血药浓度c(t)

应c1c(t)c2

初次剂量D0应加大计算结果：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02给药方案记为：2、1、四、模型建立与求解14故可制定给药方案：首次注射375mg其余每次注射225mg注射的间隔时间为4小时人口问题——

逻辑斯谛模型微分方程模型知识点一、逻辑斯谛模型二、模型检验与人口预测三、模型的应用一、逻辑蒂斯模型人口增长到一定数量后增长率下降的原因阻滞作用随人口增加而变大资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用简单、便于应用的线性函数r是

x的减函数系数a,b？内禀(固有)增长率r~

理论上x=0时的增长率.人口容量xm~

资源和环境对人口的最大容量.r(0)=rr(xm)=

0一、逻辑蒂斯模型r(0)=r,

r(xm)=0

a=rb=r/xm

(1-x/xm)~资源和环境阻滞人口增长rx~自身增长一、逻辑蒂斯模型tx0xmx0xm/2logistic曲线求解t1/2

dx/dtxOxmxm/2一、逻辑蒂斯模型用数据和非线性最小二乘估计参数.模型年实际人口（百万）logistic模型17903.97.718005.39.518107.211.7………1980226.5228.31990248.7252.02000281.4275.1误差平方和

458.2r=0.2155/10年,x0=7.6962,xm=443.9931一、逻辑蒂斯模型指数模型logistic模型34742458指数模型与logistic模型计算结果比较(误差平方和)对1790年至2000年美国人口数据的拟合，logistic模型比指数增长模型有很大改善.二、模型检验和人口预测用1790年至2000年美国人口估计参数代入模型，计算2010年人口与实际值比较作为模型检验2010年实际人口加入重估参数预测2020年人口年17901800181018201830184018501860人口(百万)3.95.37.29.612.917.123.231.4增长率/10年0.29490.31130.29860.29690.29070.30120.30820.2452年18701880189019001910192019301940人口(百万)38.650.262.976.092.0105.7122.8131.7增长率/10年0.24350.24200.20510.19140.16140.14570.10590.1059年19501960197019801990200020102020

人口(百万)150.7179.3203.2226.5248.7281.4308.7

增长率/10年0.15790.14640.11610.10040.11040.1349

美国人口数据二、模型检验和人口预测上面表、图给出的结果是利用1790年至2000年美国人口数据估计的参数代入模型计算得到的这些结果与同期实际数据比较虽能反映模型与数据的拟合程度,但不是真正意义上的模型检验在估计指数模型和逻辑蒂斯模型参数时未用2010年的美国人口，留下这个实际数据用于模型检验二、模型检验和人口预测模型检验的误差在5%以内，可以接受预测准确性需等2020年美国人口调查结果公布

实际人口（百万）指数模型logistic模型2010年308.7515.0297.0误差

66.8%-3.8%2020年？

326.8拭目以待三、逻辑蒂斯模型的应用logistic模型

~

欧洲生物数学家Verhulst19世纪提出生态、医疗领域中的应用鱼塘中鱼群数量森林中树木数量

传染病传播人数的变化规律三、逻辑蒂斯模型的应用经济、社会领域中的应用耐用消费品销售量消息传播范围的变化规律人口问题——

马尔萨斯模型微分方程模型知识点一、问题的提出二、问题分析三、模型建立与求解四、模型检验五、模型评价一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出想一想：未来的人口数据怎么来的呢？如何预测未来人口数量？认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报二、问题分析外来人口自然灾害出生，死亡，迁入，迁出国家政策婚姻试想一下：影响我国人口数变化的因素有哪些呢？战争出国定居医疗水平二、问题分析我们知道，人口数量本应取离散值是时间t的不连续函数，但由于人口数量一般较大，为建立模型，可将人口数量看作连续变量，关于时间t的连续可微函数。人口的变化出生率死亡率迁入率迁出率人口增长率=出生率-死亡率+迁入率-迁出率二、问题分析符号说明

三、模型建立与求解

得到微分方程

三、模型建立与求解

17世纪末，英国神父马尔萨斯调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，忽略迁入率和迁出率，出版了属于他自己的人口增长理论著作——《人口论》。其中人口自然增长率即为出生率与死亡率的差值

三、模型建立与求解

指数增长模型——马尔萨斯模型

三、模型建立与求解求解结果

四、模型检验

在实际应用时人们常以年为单位来考察人口的变化情况，例如，取t-t0=0，1，2，3，……n，，这样就得到了以后各年的人口数为：

四、模型检验

年17901800181018201830184018501860人口(百万)3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口(百万)38.650.262.976.092.0105.7122.8131.7年1950196019701980199020002010

人口(百万)150.7179.3203.2226.5248.7281.4308.7

用美国人口数据进行验证四、模型检验直接用人口数据和线性最小二乘法.1790年(t=0)至2000年美国人口数据

MATLAB编程计算最小二乘法

r=0.2053/10年，x0=5.9251程序t=0:1:21;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.97692105.7122.8131.7150.7179.3203.2248.7281.4308.7];y=log(x);a=polyfit(t,y,1)x0=exp(a(2));四、模型检验

美国人口用马尔萨斯模型计算结果的比较程序：r=0.022;x0=5.9551;t=1:10:200;x=x0*exp(r*t)x1=[5.37.29.612.917.123.231.438.650.262.97692105.7122.8131.7150.7179.3203.2248.7281.4];yi=(abs(x1-x))./x1年实际人口（百万）马尔萨斯模型相对误差17903.918005.35.10.0318107.27.60.0518209.69.40.02183012.911.80.09………1960179.3187.60.131970203.2229.60.151980226.5281.00.261990248.7343.80.282000281.4420.80.41五、模型评价人口增长率不变？短期人口预测可行长期人口预测不可行小结分析了影响人口数量变化的因素。1建立了指数变化模型即马尔萨斯模型2用实际数据检验了模型发现模型可用于短期人口预测，不适用于长期人口预测。3崖高的估算微分方程模型知识点一、问题的提出二、模型一自由落体模型三、模型二线性微分方程模型四、模型三非线性微分方程组模型一、问题的提出一、问题的提出

嵩山的意外之旅一、问题的提出假如你站在崖点A处，身上有一个带秒表功能的手机及纸笔，你会怎么来估算山崖的高度呢？A?我有一个带秒表功能的手机，我中学学过物理。一、问题的提出

假如你站在崖顶且身上有一个带秒表功能的手机以及纸笔，你可以用扔下一块石头听声音的方法来估计石头从山崖落到地面的时间的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢？假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式我学过微积分、常微分方程，我可以做得更好，呵呵。

二、模型一（自由落体模型）

来计算。例如，设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5米。三、模型二（线性微分方程模型）mgf空气阻力

除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：

令