灰色系统-序列算子课件

第二章序列算子与灰色序列生成第二章序列算子与灰色序列生成12.1序列算子(sequenceoperator)一、冲击扰动系统预测陷阱定义2.1.1设为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为其中为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列.要从冲击扰动序列X出发实现对真实行为序列X(0)的系统之变化规律的正确把握和认识,必须首先跨越障碍.如果不事先排除干扰,而用失真的数据X直接建模、预测，则会因模型所描述的并非由X(0)所反映的系统真实变化规律而导致预测的失败。2.1序列算子(sequenceoperator)2二、缓冲算子公理(theaxiomsofbufferoperator)定义2.1.2设系统行为数据序列为X=(x(1),x(2),…,x(n)),若k=2,3,…,n,x(k)-x(k-1)>0则称X为单调增长序列;1中不等号反过来成立,则称X为单调衰减序列;存在k,k1,有x(k)-x(k-1)>0x(k1)-x(k1-1)<0则称X为随机振荡序列.设M=max{x(k)|k=1,2,…,n},m=min{x(k)|k=1,2,…,n}称M-m为序列X的振幅.二、缓冲算子公理(theaxiomsofbuffer3定义2.1.3设X为系统行为数据序列,D为作用于X的算子,X经过算子D作用后所得序列记为XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)称D为序列算子,称XD为一阶算子作用序列.序列算子的作用可以进行多次,若D1,D2,D3皆为序列算子,称D1D2为二阶算子,并称XD1D2=(x(1)d1d2,x(2)d1d2,…,x(n)d1d2)为二阶算子作用序列.定义2.1.3设X为系统行为数据序列,D为作用于X的算子4公理2.1.1(不动点公理,AxiomofFixedPoints)设X为系统行为数据序列,D为序列算子,则D满足x(n)d=x(n)公理2.1.2(信息充分利用公理,AxiomonSuffi-cientUsageofInformation)系统行为数据序列X中的每一个数据x(k),k=1,2,…,n,都应充分参与算子作用的全过程.公理2.1.3(解析化、规范化公理,AxiomofAna-lyticRepresentations)任意的x(k)d，皆可由一个统一的x(1),x(2),…,x(n)的初等解析式表达。公理2.1.1(不动点公理,AxiomofFixed5定义2.1.4称上述三个公理为缓冲算子三公理(threeaxiomsofbufferoperators),满足缓冲算子三公理的序列算子,称为缓冲算子,一阶、二阶、……缓冲算子作用序列称为一阶、二阶、……缓冲序列(buffersequences)。定义2.1.5设X为原始数据序列,D为缓冲算子,当X分别为增长序列,衰减序列或振荡序列时:若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)减缓或振幅减小,我们称缓冲算子D为弱化算子;若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)加快或振幅增大,则称缓冲算子D为强化算子.定义2.1.4称上述三个公理为缓冲算子三公理(three6三、缓冲算子的性质定理2.1.1设X为单调增长序列,XD为其缓冲序列,则有D为弱化算子x(k)≤x(k)dD为强化算子x(k)≥x(k)d定理2.1.2设X为单调衰减序列,XD为其缓冲序列,则有D为弱化算子x(k)≥x(k)dD为强化算子x(k)≤

x(k)d定理2.1.3设X为振荡序列,XD为其缓冲序列,则有D为弱化算子max{x(k)}≥max{x(k)d}min{x(k)}≤min{x(k)d}2D为强化算子max{x(k)}≤

max{x(k)d}min{x(k)}≥min{x(k)d}三、缓冲算子的性质7四、实用缓冲算子的构造定理2.1.4设原始数据序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),令XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)其中则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为弱化算子(weakeningoperator).推论6.1.1对于定理2.1.4中定义的弱化算子D,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d2)则D2对于单调增长、单调衰减或振荡序列，皆为二阶弱化算子。四、实用缓冲算子的构造则D2对于单调增长、单调衰减或振荡序列8定理2.1.5设原始序列和其缓冲序列分别为X=(x(1),x(2),…,x(n))XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)其中x(n)d=x(n)则当X为单调增长序列或单调衰减序列时,D皆为强化算子(strengtheningoperator).推论2.1.2设D为定理2.1.5中定义的强化算子,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d2)其中x(n)d2=x(n)d=x(n)则D2对于单调增长序列和单调衰减序列皆为二阶强化算子.定理2.1.5设原始序列和其缓冲序列分别为9定理2.1.6

设X=(x(1),x(2),…,x(n)),令XDi=(x(1)di,x(2)di,…,x(n)di)其中

x(1)d1=x(1),x(1)d2=(+1)x(1)

x(n)di=x(n)i=1,2则D1对单调增长序列为强化算子,D2对单调衰减序列为强化算子.推论2.1.3对于定理2.1.6中定义的D1,D2,则,分别为单调增长,单调衰减序列的二阶强化算子.定理2.1.6设X=(x(1),x(2),…,x(n)102.2均值生成(GenerationsBasedonAverage)

在收集数据时,常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺(也称空穴,blank)也有一些数据序列虽然数据完整,但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据,给研究工作带来很大困难,这时如果剔除异常数据就会留下空穴.因此,如何有效的填补空穴,自然成为数据处理过程中首先遇到的问题,均值生成是常用的构造新数据,填补老序列空穴,生成新序列的方法.2.2均值生成(GenerationsBasedon11定义2.2.1设序列X=(x(1),x(2),…,x(k),x(k+1),…,x(n))x(k)与x(k+1)为X的一对紧邻值,x(k)称为前值,x(k+1)称为后值,若x(n)为新信息,则对任意k<=n-1,x(k)为老信息.定义2.2.2设序列X在k处有空穴,记为(k),即X=(x(1),x(2),…,x(k-1),(k),x(k+1),…,x(n))则称x(k-1)和x(k+1)为(k)的界值,x(k-1)为前界,x(k+1)为后界,当(k)由x(k-1)与x(k+1)生成时,称生成值x(k)为[x(k-1),x(k+1)]的内点.定义2.2.3设x(k)和x(k-1)为序列X中的一对紧邻值,若有x(k-1)为老信息,x(k)为新信息X*(k)=x(k)+(1-)x(k-1)则称X*(k)为由新信息与老信息在生成系数下的生成值(generatedvalue).定义2.2.1设序列X=(x(1),x(2),…,x12定义2.2.4设序列X=(x(1),x(2),…,x(k-1),(k),(k+1),…,x(n)),为在k处有空穴(k)的序列,而X*(k)=0.5x(k+1)+0.5x(k-1)为非紧邻均值生成数,用非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序列(generatedmeansequenceofnonconsecutiveneighbors).定义2.2.5设序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),若X*(k)=0.5x(k)+0.5x(k-1)则称X*(k)为紧邻均值生成数.由紧邻均值生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列(generatedmeansequenceofconsecutiveneighbors).在GM建模中,常用紧邻信息的均值生成.它是以原始序列为基础构造新序列的方法.定义2.2.4设序列132.3级比与光滑比(StepwiseandSmoothRatios)当序列的起点和终点为空穴,这时,就无法采用均值生成填补空缺,只有转而考虑别的方法.级比生成和光滑比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法.定义2.3.1设序列X=(x(1),x(2),…,x(n))我们称为序列的级比(stepwiseratio).称为序列的光滑比(smoothratio).2.3级比与光滑比(StepwiseandSmoot14定义2.3.2设X为端点是空穴的序列:X=((1),x(2),…,x(n-1),(n))若用(1)右邻的级比(或光滑比)生成x(1),用(n)左邻的级比(或光滑比)生成x(n),则称x(1)和x(n)为级比(或光滑比)生成;按级比生成(或光滑比生成)填补空穴所得的序列成为级比生成(或光滑比生成)序列.命题2.3.1设X是端点为空穴的序列,那么若采取级比生成,则x(1)=x(2)/(3)x(n)=x(n-1)(n-1)2若采取光滑比生成,则定义2.3.2设X为端点是空穴的序列:15命题2.3.2级比与光滑比有下述关系:命题2.3.3若X=(x(1),x(2),…,x(n))为递增序列,且有对于k=2,3,…,n,(k)<2对于k=2,3,…,n,(即光滑比递减)则对指定的实数∈[0,1]和k=2,3,…,n,当(k)∈[0,]时,必有(k+1)∈[0,1+].命题2.3.2级比与光滑比有下述关系:命题2.3.31623<0.5则称X为准光滑序列(quasi-smoothsequence).定义2.3.4设X为有空穴的序列,若新序列生成满足准光滑条件,则称此生成为准光滑生成.定义2.3.3若序列X满足1定义2.3.3若序列X满足172.4累加生成算子(AccumulatingGenerationOperator)与累减生成算子(InverseAccumulatingGenerationOperator)

累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要的地位.通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来.累减生成是在获取增量信息时常用的生成,累减生成对累加生成起还原作用.累减生成与累加生成是一对互逆的序列算子.2.4累加生成算子(AccumulatingGener18则称D为X(0)的一次累加生成算子,记为1-AGO.称r阶算子Dr为X(0)的r次累加生成算子,记为r-AGO.定义2.4.2设X(0)为原始序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),D为序列算子,X(0)D=(x(0)(1)d,x(0)(2)d,…,x(0)(n)d),其中x(0)(k)d=x(0)(k)-x(0)(k-1)则称D为X(0)的一次累减生成算子,称r阶算子Dr为X(0)的r次累减生成算子.定义2.4.1设X(0)为原始序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),D为序列算子,X(0)D=(x(0)(1)d,x(0)(2)d,…,x(0)(n)d),其中定义2.4.1设X(0)为原始序列X(0)=(x(0)(19定理2.4.1累减算子是累加算子的逆算子,即(r)X(r)=x(0)鉴于累减与累加互逆,我们将累减生成算子记为IAGO.命题2.4.1设X(0)为非负序列,X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),其中,x(0)(k)>=0,且x(0)(k)∈[a,b]X(r)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n))为X(0)的r次累加生成序列,则当r充分大时,对于>0,存在N,使k,N<k<=n,有下式成立:这就是说,对于有界非负序列,经过多次累加生成后,所得序列可充分光滑,且光滑比(k)→0定理2.4.1累减算子是累加算子的逆算子,即这就是说,对20命题2.4.2设X(0)为非负序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),其中,x(0)(k)>=0,且x(0)(k)∈[a,b]X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))为X(0)的1次累加生成序列z(1)=(z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(n))为X(1)的紧邻均值生成序列,则对于>0,存在N,使k,N<k<=n,有下式成立:命题2.4.2设X(0)为非负序列212.5累加生成的灰指数律(GreyExponen-tialityofAccumulatingGenerations)

一般的非负准光滑序列经过累加生成后,都会减少随机性,呈现出近似的指数增长规律.原始序列越光滑,生成后指数规律也越明显.2.5累加生成的灰指数律(GreyExponen-ti22定义2.5.1设原始序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),

(1)X(0)=((1)x(0)(1),(1)x(0)(2),…,(1)x(0)(n))为X(0)的一次累减生成序列,若1有k,使(1)x(0)(k)=x(0)(k)-x(0)(k-1)>0,则称序列X(0)在第k步是增长的,反之,称X(0)在第k步是衰减的对于k=1,2,…,n,恒有(1)x(0)(k)>0,则称序列X(0)为非波动增长序列对于k=1,2,…,n,恒有(1)x(0)(k)<0,则称序列X(0)为非波动衰减序列存在k1,k2,使(1)x(0)(k1)>0,(1)x(0)(k2)<0则称X(0)为随机序列.定义2.5.1设原始序列23定义2.5.2若X(0)为非波动序列,(1)X(0)为随机序列,则称X(0)为一阶弱随机序列;对于i=0,1,2,…,r-1,(i)X(0)皆为非波动序列,而(r)X(0)为随机序列,则称X(0)为r阶弱随机序列;对于r,r∞,(r)X(0)为非波动序列,则称X(0)为非随机序列.定理2.5.1设X(0)为正序列,即X(0)=(x(0