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MathematicsLaboratory阮小娥博士多元函数微积分与线性常微分方程Spring2014化三重积分为单积分与二重积分的累次积分柱面坐标与球面坐标系下三重积分的计算法小结第六章多元函数积分学及其应用第三节三重积分的计算(4学时)1作业:1382,4(1)(4)(7)(10)(13),5,6(2)(3),7在此首先复习：定积分是如何寻求计算方法的?

二重积分是如何解决计算问题的？三重积分又将通过什么思想寻求计算途径？2第一部分化三重积分为单积分与二重积分的累次积分3体积微元三重积分:在直角坐标系中，若用平行于坐标平面的平面族划分积分域则体积微元从而4如图，直角坐标系中将三重积分化为三次积分令则即将三重积分化为先单积分后二重积分的累次积分例1

解闭区域在xoy平面上的投影为从而56解例2

则得交线投影区域

解如图：例3

7（总结：在什么条件下将三重积分化成“先单后重”也称投影法）即将三重积分化为先二重积分后单积分的累次积分直角坐标系中也可将三重积分化为“先二重后单”积分8（通过下面两道例题体会在什么情况下将三重积分化成“先重后单”的累次积分；也称截面法）例4

解因此9解：课堂讲例5

10（P126页例6.3.2）第二部分柱面坐标与球面坐标系下三重积分的计算法11一、利用柱面坐标计算三重积分规定：柱面坐标与直角坐标的关系为三组坐标面为：柱面坐标系下的体积微元12如图，因此体积微元为用三组坐标面把区域分成许多小闭区域，除了含边界点的一些不规则小闭区域外，这些小闭区域都是柱体，现考虑由各取得微小增量所成的柱体的体积，这个体积等于高与底面积的乘积。现在高为，底面积在不计高阶无穷小时为故解13例6

得交线为由柱面坐标变换即从而解1所围成的立体如图所示

.14例7

旋转面方程为所围成立体的投影区域如图.

15考虑如下区域:则因此（教材P131页例6.3.6）解2二、利用球面坐标计算三重积分16则数组称为点P的球面坐标.设点如图,球面坐标的三组坐标面为：球面坐标系下的体积微元如图，17因此其体积微元为用三组坐标面将积分区域分成许多小闭区域.所成的六面体的体积.不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体.18例8

解1采取球面坐标变换:则从而19解2采取柱面坐标变换:几何体在xoy平面上的投影区域为:解一：20例9

采用球面坐标变换:（教材P134例6.3.8）解二：补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标面的奇偶性．21积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,22解例10

所以解23例11

24由对称性知

则采用柱面坐标变换,则有区域在xoy平面上的投影区域为所以（用球面坐标如何？）25第三部分小结三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积微元

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