高等数学定积分的换元积分法课件

复习6.微积分基本公式4.积分上限函数5.积分上限函数的导数1.定积分定义2.定积分的思想和方法：分割,近似,取和,求极限.dx牛顿---莱布尼兹公式.3.定积分的值与积分变量使用的字母无关.1复习6.微积分基本公式4.积分上限函数5.积分上限函数的导数实例1：求曲边梯形的面积.一、问题的提出4-1定积分的概念(1)曲边梯形定义：条直线x=a,由一条连续曲线和三xoyabbaoyxx=b,y=0所围成的封闭图形.xyoab2实例1：求曲边梯形的面积.一、问题的提出4-1定积分的概念((2)求曲边梯形面积的意义：xoyxoyxoy由平面曲线所围成的平面图形的面积都可以转化为曲边梯形面积的代数和.abab(3)求由连续函数和三条直线x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积.ab3(2)求曲边梯形面积的意义：xoyxoyxoy由平面曲线所围用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然:（四个小矩形）（九个小矩形）矩形总面积越接近曲边梯形面积．小矩形越多，abxyoabxyo4用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然:（四个小矩形）（九个小矩曲边梯形如图所示，(1)分割：把区间[a,b]分成n个小区间长度为在每个小区间上任取一点以为底，为高的小矩形面积为则在区间[a,b]内插入若干个分点，(2)近似：5曲边梯形如图所示，(1)分割：把区间[a,b]分成n个小区间曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为:以上做法的步骤:当分割的无限细密，即最大的小区间的长度趋于零时，分割,求近似,取和,求极限.(3)作和式：(4)取极限：6曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为:以上做法的步骤:当分割实例2：求变速直线运动的路程.思路：设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上t的一个连续函数，且求物体在这段时间内所经过的路程.路程的精确值的近似值，看作不变，把整段时间分割成若干小段，每小段上速度便得到路程求出各小段的路程再相加，最后通过对时间的无限细分过程求得7实例2：求变速直线运动的路程.思路：设某物体作直线运动，已(1)分割部分路程近似值(3)求和(4)取极限路程的精确值t(2)近似而曲边梯形面积8(1)分割部分路程近似值(3)求和(4)取极限路程的精确值t二.定积分的定义定义在中任意插入若干个分点把区间各小区间的长度依次为在各小区间上任取一点作乘积并作和记怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限设函数在上有界，分成个小区间，如果不论对区间9二.定积分的定义定义在中任意插入若干个分点把区间各小区间的长被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和我们称这个极限为函数在区间积分区间dxdx.上的定积分，简称：积分10被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和我们称这注意：(5)是一个确定的常数.(3)定积分与区间的分割方法无关，(4)当函数在区间上的定积分存在时，称在区间上可积.(2)积分值与被积函数及积分区间有关，使用的字母无关.dxdtdudtdx.dx(1)而与积分变量的取法无关.与曲边梯形面积变速直线运动的路程11注意：(5)是一个确定的常数.(3)定积分与区间的分割方法无闭区间上的有界单调函数可积.以上定理的证明省略,只要求记住结论.定理1当函数在区间上连续时，称定理2且只有有限个间断点，定理3三.存在定理即dx存在.在区间上可积.设函数在区间上有界，则在区间上可积.12闭区间上的有界单调函数可积.以上定理的证明省略,只要求记住曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四.定积分的几何意义abxyoabxyodxdx1.当时，A2.当时，3.当在[a,b]上有正有负时，dx表示各部分面积的代数和.dxoab13曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四.定积分的几何意义abx即它是介于x轴、函数的图形及两条直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和.且x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号.的几何意义：dx4.dxab14即它是介于x轴、函数的图形及两条直线x=a，x=b之间的各部对定积分的补充规定:说明:在下面的性质中，假定定积分都存在，一.基本内容五.定积分的性质(1)当a=b时,dx(1)当a>b时,dx.dx且不考虑积分上下限的大小．即dx15对定积分的补充规定:说明:在下面的性质中，假定定积分都存在，证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1dxdxdxdxdxdx16证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1dxdxd证性质2性质1.2称为定积分的线性性质.dxdx.dxdx(k为常数)17证性质2性质1.2称为定积分的线性性质.dxdx.dxdx(若定积分对于积分区间具有可加性则性质3abxyodxdxdx.dxdxdxdxdxdxdxdx若(定积分的可加性)证由定义当时，dxdxdx.c得18若定积分对于积分区间具有可加性则性质3abxyodxdxdx证性质4性质5dxdx如果在区间上则dxoyxaboyxab1dx19证性质4性质5dxdx如果在区间上则dxoyxaboyxab性质5的推论：证oyxab则(1)如果在区间上dxdx.dxdxdx于是：dxdx.20性质5的推论：证oyxab则(1)如果在区间上dxdx.dx解于是例1比较积分值dx和dx的大小.dxdxdxdxdxdx21解于是例1比较积分值dx和dx的大小.dxdxdxdxdxd证性质5的推论：(2)dxdxdxdxdxdxdx.即22证性质5的推论：(2)dxdxdxdxdxdxdx.即22证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6abxyomM则设M及m分别是函数在区间[a,b]上的最大值及最小值，dxdxdxdxdx(估值定理)23证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6abxyomM则解dxdxdxdx例2估计积分的值.dx24解dxdxdxdx例2估计积分的值.dx24证由闭区间上连续函数的介值定理知，性质7积分中值公式如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点使上至少存在一点使在即dxdxdx.dxdx(定积分中值定理)25证由闭区间上连续函数的介值定理知，性质7积分中值公式如果函数积分中值公式的几何解释：dx在区间[a,b]上至少存在一个点使得以区间[a,b]为底边，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边，而高为的一个矩形的面积.26积分中值公式的几何解释：dx在区间[a,b]上至少存在一个点六、小结１．定积分的定义：3．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分以不变代变.取极限dx2．定积分的实质：特殊和式的极限．近似以直代曲27六、小结１．定积分的定义：3．定积分的思想和方法：分割化整为4．定积分的性质：(注意估值性质、积分中值定理的应用)5．典型问题(1)估计积分值；(2)不计算定积分比较积分大小．作业:理解并熟记概念和性质预习P204~211线性性质，可加性，大小比较，估值定理，定积分中值定理.284．定积分的性质：(注意估值性质、积分中值定理的应用)5．典解例如计算令则dx29解例如计算令则dx29x49t23另解令则2330x49t23另解令则23305-3定积分的换元法一、换元公式则有：定理假设在区间(1)函数上连续；(2)函数在区间上单值的且有连续的导数；(3)当t在区间上变化时，的值在区间上变化时，且315-3定积分的换元法一、换元公式则有：定理假设在区间(1)函证证毕设注意：换元公式仍然成立.当时，(1)上限与上限对应，(3)(2)换元的同时应换限.下限与下限对应.则对a>b仍成立.32证证毕设注意：换元公式仍然成立.当时，(1)上限与上限对应，解例1计算令则0t½0x33解例1计算令则0t½0x33解例2计算原式xln3ln8t23注意：换元公式可反过来用，边对调地位，令令则只须把公式左右两改记为同时把34解例2计算原式xln3ln8t23注意：换元公式可反过来例3计算解令另解说明：不换元时不换限，换元的同时应换限.35例3计算解令另解说明：不换元时不换限，换元的同时应换限.解例4

计算令则注意：能凑微分就不换元，这样就不换限.36解例4计算令则注意：能凑微分就不换元，这样就不换限.36例5计算解由于原式=注意：去绝对值或去根号时，应注意其正负，否则就会出错.37例5计算解由于原式=注意：去绝对值或去根号时，应注意其正负，即例6当在上连续，且有为偶函数，则(2)为奇函数，则奇偶oxy-aaa-axy0(1)38即例6当在上连续，且有为偶函数，则(2)为奇函数，则奇偶ox证证毕x-a0ta0在中，令(1)为偶函数，则(2)为奇函数，则39证证毕x-a0ta0在中，令(1)为偶函数，则(2)为奇函数奇函数解例7计算原式偶函数单位圆的面积40奇函数解例7计算原式偶函数单位圆的面积40证令0t0x即证明例841证令0t0x即证明例841证令0t0x即设f(x)在[0,1]上连续，证明例942证令0t0x即设f(x)在[0,1]上连续，证明例942证*令则例10证明atax43证*令则例10证明atax43证则例11计算令44证则例11计算令44例12