高中不等式证明例题一题多解文档资料

高中不等式证明例题(一题多解)纵观高中数学，每一道所谓的难题都有至少两种以上的方法去解决它。高考客观压轴题也是如此。一种是常规解题思路的方法。学生容易思考，但是运算量大，耗时比较久。一种是非常经典的方法，可以秒杀，但是学生如果不经过长期的训练很难想到此种方法。一题多解旨在开发学生的思维，激发学生潜能，举一反三，灵活应用，达到完全驾驭数学的目的。例题一方法1方法2点评求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．例题二例题三方法1:方程思想(换元)方法2:待定系数法方法3:数形结合(线性规划)点评利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.例题四总结升华例题五不等式选讲部分内容专项1方法1方法2方法32方法1方法23方法1：放缩法方法2：数学归纳法45方法1：放缩法方法2：反证法PAGE1高中不等式习题精选精解一、求取值范围1、已知，求的取值范围。解：根据已知条件：所以的取值范围是2、已知，且，求的取值范围。解：由已知条件，显然综上所述的取值范围是3、正数满足，求的最小值。解：（为正数）4、设实数满足，当时，求的取值范围。y解：方程表示的是以点（0，1）为圆心的圆，根据题意当直线（为常数）与圆在第二象限相切时，取到最小值；（此时，切点的坐标满足，其它圆上的点都满足（因为在直线的上方），当增大，直线向下方平移，圆上的全部点满足，y因此：x所以的取值范围是x5、已知函数满足，，求的取值范围。解：由习已知得：设：所以的取值范围是6、已知：、都是正数，且，，，求的最小值解：是正数，的最小值是5，（当且仅当时）。o14X1x2xy7、已知集合与，若，求o14X1x2xy解：设（*）当Ø，即方程（*）无解，显然成立，由得，解得当Ø，且成立，即：根据图像得出：，解得综合（1）（2）两式，得的取值范围为。8、若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。oyxoyx解一：设，，原题转换为求方程在上有解。oyxoyx共有两种情况，一种是有两个根，一种是只有一个根（如图所示），由二次函数的图像和性质，得方程在上有实数解的充要条件为：注：两组不等式分别对应两个图解得所以的取值范围是解二：由方程得函数的值域就是的取值范围。所以的取值范围是二、解不等式1、解：不等式与或同解，也可以这样理解：符号“”是由符号“>”“=”合成的，故不等式可转化为或。解得：原不等式的解集为2、.解：+，用根轴法（零点分段法）画图如下：+++++11231123原不等式的解集为。3、解：原式等价于，即注：此为关键原不等式等价于不等式组解得：4、解：当时，原不等式化为，得；当时，原不等式化为，得；当时，原不等式化为，得；当时，原不等式化为，得；当时，原不等式化为，得综合上面各式，得原不等式的解集为：5、关于的不等式的解集为，求的解集。解：由题意得：，且则不等式与不等式组同解得所求解集为6、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。解：关于的不等式的解集是，，或原不等式的解集是。三、证明题1、已知，求证：证一：，证毕。证二：，证毕。2、设,为偶数,证明证：.①当时,,0,∴0,故;②当有一个负值时,不妨设,且,即.∵为偶数时,∴0,且∴0,故.综合①②可知,原不等式成立注：必须要考虑到已知条件，分类讨论，否则不能直接得出03、求证：证：设向量,由,得注意：当∥时，即，，，、方向相同，取等号。当利用公式证明时，会得：的错误结论，因为这里取等号的条件是∥，且、方向相反，根据题设条件，∥时，方向相同，故取不到等号，计算的结果也使不等式范围缩小了。4、求证：（）证一：（）原不等式成立，证毕。证二：当时，原不等式为：，显然成立；假设当取-1时，原不等式成立，即成立，则，即取时原不等式也成立。综上，对于任意（）原不等式成立，证毕。注意：此类证明方法称为数学归纳法5、设，实数满足，求证：证：=当，当，当，综合式情况，原不等式成立。证毕注：式的最后一步省略了对的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用同号异号6、已知：，求证：证：由已知得：，即，及基本不等式，代入式得：解得；