第12讲：简单的逻辑联结词（且或非）讲义 高三艺考数学一轮复习

第12讲：简单的逻辑联结词（且或非）【课型】复习课【教学目标】1.了解逻辑联结词2.掌握复合命题的形式及真假判断【预习清单】【基础知识梳理】1．常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．2．命题p且q、p或q、﹁p的真假判断pqp且qp或q﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真真假口诀：p且q：一假即假；p或q：一真即真；非p：真假相反3．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语等于(＝)大于(＞)小于(＜)是都是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的一定否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定注意：①“p且q”的否定为：﹁p或﹁q”；②“p或q”的否定为：﹁p且﹁q”；【引导清单】考向一：含有逻辑联结词的命题的真假判断例1：（1）命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A．p或q B．p且qC．q D．﹁p（2）记不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面区域为D.命题p：存在(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：对任意的(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p或q②﹁p或q③p且﹁q④﹁p且﹁q这四个命题中，所有真命题的编号是()A．①③B．①②C．②③D．③④【解析】（1）取x＝eq\f(π,3)，y＝eq\f(5π,6)，可知命题p是假命题；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故﹁p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．（2）在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7，0)不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p或q和p且﹁q正确．故选A.考向二：由命题的真假确定参数的取值范围例2：已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围．【解析】若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q假时eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜0，,m≥2或m≤－2，))所以m≤－2；当p假q真时eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥0，,－2＜m＜2，))所以0≤m＜2.所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．【训练清单】【变式训练1】设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题是________．(填序号)①p1且p4②p1且p2③﹁p2或p3④﹁p3或﹁p4【解析】对于p1，由题意设直线l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，则A，B，C三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A∈α，B∈α，C∈α，所以AB⊂α，BC⊂α，CA⊂α，即l1⊂α，l2⊂α，l3⊂α，所以p1是真命题．以下同方法一．答案：①③④【变式训练2】已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________．【解析】命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－eq\f(a,4)≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．【巩固清单】1．已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p且q是真命题”的()条件。A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解析】选B.充分性：若﹁p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p且q是真命题．必要性：p且q是真命题，则p，q均为真命题，则﹁p为假命题．所以“﹁p为假命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是()A．“p或q”为真命题B．“p且q”为真命题C．“﹁p”为真命题D．“﹁q”为假命题【解析】选A.由a＞|b|≥0，得a2＞b2，所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x＝±2，所以命题q为假命题．所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“﹁p”为假命题，“﹁q”为真命题．综上所述，可知选A.3．已知命题p：对任意的x∈R，x2－x＋1＜0；命题q：存在x∈R，x2＞2x.则下列命题中为真命题的是()A．p且qB．(﹁p)且qC．p且(﹁q)D．(﹁p)且(﹁q)【解析】选B.当x＝1时，x2－x＋1＝1＞0，所以p为假命题，﹁p为真命题．当x＝3时，x2＞2x，所以q为真命题，﹁q为假命题．所以p且q为假命题，(﹁p)且q为真命题，p且(﹁q)为假命题，(﹁p)且(﹁q)为假命题，故选B.4．已知命题p：f(x)＝x3－ax的图像关于原点对称；命题q：g(x)＝xcosx的图像关于y轴对称．则下列命题为真命题的是()A．﹁pB．QC．p且qD．p且(﹁q)【解析】选D.对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图像关于原点对称，所以p为真命题；对于g(x)＝xcosx，有g(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcosx＝－g(x)，为奇函数，其图像关于原点对称，所以q为假命题，则﹁p为假命题，p且q为假命题，p且(﹁q)为真命题，故选D.5．设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则对任意的x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是()A．p为假命题B．﹁q为真命题C．p或q为真命题D．p且q为假命题【解析】选C.函数f(x)不是偶函数，仍然有存在x∈R，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；f(x)＝x|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2（x≥0），,－x2（x＜0）))在R上是增函数，q为假命题．所以p或q为假命题，故选C.6．已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)的最小值为4.给出下列命题：①p且q；②p或q；③p且(﹁q)；④(﹁p)或(﹁q)，其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】选C.由于Δ＝4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋eq\f(4,x)的值为负值，故命题q为假命题．所以p或q，p且(﹁q)，(﹁p)或(﹁q)是真命题，故选C.7．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p或q是真命题，p且q是假命题，(﹁q)且r是真命题，则选拔赛的结果为()A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名【解析】选D.由(﹁q)且r是真命题，得﹁q为真命题，q为假命题(乙没得第二名)，且r为真命题(丙得第三名)；p或q是真命题，由于q为假命题，只能p为真命题(甲得第一名)，这与p且q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.8．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若eq\f(1,x)＞eq\f(1,y)，则x＜y.在命题①p且q；②p或q；③p且(﹁q)；④(﹁p)或q中，真命题是________．(填序号)【解析】由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p且q为假命题；②p或q为真命题；③﹁q为真命题，则p且(﹁q)为真命题；④﹁p为假命题，则(﹁p)或q为假命题．答案：②③9．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p且q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝________．【解析】若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p且q”为假，所以p为假，故－3<x<－1，得x＝－2.10．已知命题p：f(x)＝eq\f(1－2m,x2)在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式x2－2x>m－1的解集为R.若命题“p或q”为真，则实数m的取值范围是________；若“p且q”为假，则实数m的取值范围是________．【解析】对于命题p，由f(x)＝eq\f(1－2m,x2)在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，解得m<eq\f(1,2)；对于命题q，不等式x2－2x>m－1的解集为R等价于不等式(x－